MOS 晶体管模型与特性

MOS 晶体管是现代 VLSI 和绝大多数模拟集成电路的核心器件。其大信号模型描述漏极电流与栅极/漏极电压之间的非线性关系，小信号模型则用于线性化分析。理解 MOS 晶体管的 I-V 特性、跨导、输出电阻、体效应和频率响应，是设计 CMOS 模拟电路（运放、电流镜、开关电容电路）的基础。本文基于 Gray §1.5-§1.6 提炼。

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前后关系

前置知识：

• pn结耗尽区分析（§1.2）— 源/漏结耗尽电容、体效应中的耗尽区
• 半导体物理：反型层、载流子迁移率

本书内部链条：

• MOS晶体管模型与特性（本文，§1.5-§1.6）→ 短沟道效应与弱反型（§1.7-§1.8）— 短沟道修正长沟道模型
• → 单管与多管放大器（Ch.3）— CS/CG/CD 级分析使用 MOS 模型
• → 电流镜与有源负载（Ch.4）— MOS 电流镜输出阻抗由 g_m、r_o 决定
• → 运算放大器设计基础（Ch.6）— CMOS 运放（两级、Telescopic、Folded-Cascode）的设计
• → 集成电路频率响应（Ch.7）— MOS 寄生电容 C_gs/C_gd/C_db
• → 全差分运算放大器（Ch.12）— CMFB 分析中的 MOS 小信号参数

外部关联：

• 运算放大器设计 — CMOS 运放的偏置和小信号分析
• SCΔΣ调制器的高层设计与开关电容积分器 — MOS 开关和积分器中的 MOS 模型
• CT-ΔΣ积分器实现与OTA架构 — OTA 设计中 MOS 模型的应用
• Jitter对数据转换器的影响 — 采样开关的 MOS 导通电阻和噪声

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原理介绍

1.5.1 MOS 大信号转移特性

区域划分

以 n 沟道 MOS（NMOS）为例，漏极电流 $I_D$ 与栅源电压 $V_{GS}$、漏源电压 $V_{DS}$ 的关系分为三个工作区：

工作区	条件	I_D 表达式
截止区	$V_{GS}<V_{th}$	$I_D=0$
三极管区（线性区）	$V_{GS}>V_{th}$, $V_{DS}<V_{GS}-V_{th}$	$I_D=\mu C_{ox}\frac{W}{L}\left[(V_{GS}-V_{th})V_{DS}-\frac{1}{2}{V}_{DS}^2\right]$
饱和区（有源区）	$V_{GS}>V_{th}$, $V_{DS}\ge V_{GS}-V_{th}$	$I_D=\frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{th}{)}^2(1+\lambda V_{DS})$

其中：

• $\mu$：载流子迁移率（电子 μ_n ≈ 500 cm²/V·s，空穴 μ_p ≈ 200 cm²/V·s）
• $C_{ox}={ϵ}_{ox}/t_{ox}$：单位面积栅氧电容
• $W/L$：沟道宽长比
• $V_{th}$：阈值电压
• $\lambda$：沟道长度调制系数（类似 BJT 的 1/V_A）

饱和区简化模型

对于强反型、长沟道器件，饱和区常用平方律模型：

$$I_D=\frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{th}{)}^2$$

过驱动电压：

$$V_{ov}=V_{GS}-V_{th}$$

典型值：100~300 mV（模拟电路），为平衡速度、增益和摆幅而选择。

1.5.2 BJT 与 MOS 工作区对比

特性	BJT (npn)	MOS (NMOS)
控制方式	电流控制（$I_C=\beta I_B$）	电压控制（$I_D\propto (V_{GS}-V_{th}{)}^2$）
转移特性	指数：$I_C=I_S{e}^{V_{BE}/V_T}$	平方律：$I_D\propto (V_{GS}-V_{th}{)}^2$
跨导	$g_m=I_C/V_T$（大）	$g_m=2I_D/(V_{GS}-V_{th})$（相对小）
输入阻抗	有限（r_π = β/g_m）	极高（栅极绝缘）
输出阻抗	$r_o=V_A/I_C$	$r_o=1/(\lambda I_D)\approx L/(I_D)$
噪声	散粒噪声 + 1/f	热噪声 + 1/f（通常更大）

1.5.3 阈值电压与体效应

$$V_{th}=V_{th0}+\gamma \left(\sqrt{2{\varphi }_F+V_{SB}}-\sqrt{2{\varphi }_F}\right)$$

其中：

• $V_{th0}$：零偏阈值电压（$V_{SB}=0$）
• $\gamma =\sqrt{2qϵN_{sub}}/C_{ox}$：体效应系数
• ${\varphi }_F$：费米势
• $V_{SB}$：源-衬底反向偏压

体效应（背栅效应）使 $V_{th}$ 随源-衬偏压增大而增大，对模拟电路中的共源级和电流镜有重要影响。

1.5.4 温度特性

• $V_{th}$ 温度系数：约 $-1$ 到 $-2$ mV/°C
• 迁移率 $\mu$ 温度系数：约 $-1.5$ %/°C（$\mu \propto T^{-1.5}$）
• 综合效果：$I_D$ 的 TC 约 $-0.5$ %/°C（低压）到 $+0.3$ %/°C（高压）

1.5.5 电压限制

• 栅氧击穿：典型 $E_{ox,max}\approx (5\text{-}8)\times 10^6$ V/cm，对应 $V_{GS,max}\approx$ 几伏
• 源/漏结击穿：类似 pn 结雪崩击穿
• 穿通（punch-through）：短沟道中源漏耗尽区相连，导致电流失控

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1.6 MOS 小信号模型

1.6.1 跨导 g_m

定义：

$$g_m=\frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}{|}_{V_{DS}=const}$$

饱和区表达式（三种等价形式）：

$$g_m=\mu C_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{th})=\sqrt{2\mu C_{ox}\frac{W}{L}{I}_D}=\frac{2I_D}{V_{GS}-V_{th}}$$

设计权衡：

• 固定 $I_D$：增大 $W/L$ 可增大 $g_m$
• 固定 $W/L$：增大 $I_D$ 可增大 $g_m$（但 $V_{ov}$ 也增大，限制摆幅）

1.6.2 本征电容

基本本征电容（饱和区）：

电容	符号	近似值	说明
栅源电容	C_gs	$\frac{2}{3}WL{C}_{ox}$	沟道电荷的源端分配
栅漏电容	C_gd	$W{C}_{ov}$（交叠电容）	饱和区本征部分很小
栅衬电容	C_gb	很小	饱和区被反型层屏蔽

过渡频率：

$$f_T=\frac{g_m}{2\pi (C_{gs}+C_{gd})}\approx \frac{g_m}{2\pi C_{gs}}$$

对于长沟道器件：

$$f_T\approx \frac{3\mu (V_{GS}-V_{th})}{4\pi L^2}$$

关键结论：$f_T\propto 1/L^2$，缩小沟道长度是提高频率响应的最有效手段。

1.6.3 输入电阻

理想 MOS 的栅极是绝缘的，故低频输入电阻 $R_{in}\to \infty$（相比 BJT 的 r_π 是巨大优势）。但高频时通过 C_gs/C_gd 有容性耦合。实际栅极漏电流约 fA~pA 量级。

1.6.4 输出电阻 r_o

由沟道长度调制效应（类似 BJT 的 Early 效应）：

$$r_o=\frac{1}{\partial I_D/\partial V_{DS}}=\frac{1}{\lambda I_D}$$

其中 $\lambda \propto 1/L$（短沟道更小 r_o）。

也可表示为：

$$r_o\approx \frac{1}{\kappa I_{D}L}(\text{经验关系，}\kappa \text{ 为工艺参数})$$

与 BJT 对比：MOS 的 r_o 通常比 BJT 小（相同偏流时增益更低）。

1.6.5 基本小信号模型

G ———— g_m·v_gs ———— D
    |              |
   C_gs            r_o
    |              |
    +—— v_gs ——    |
    |              |
S ———————————————— S

参数总结（饱和区，长沟道）：

参数	表达式	与 I_D 的关系
g_m	$\sqrt{2\mu C_{ox}(W/L)I_D}$	∝ $\sqrt{I_D}$
g_m (近似)	$2I_D/(V_{GS}-V_{th})$	线性设计折中
r_o	$1/(\lambda I_D)$	∝ 1/I_D
C_gs	$\frac{2}{3}WL{C}_{ox}$	常数（与偏置无关）
f_T	$g_m/(2\pi C_{gs})$	∝ $\sqrt{I_D}$

1.6.6 体跨导 g_mb

衬底（body）可作为第二栅极，其跨导为：

$$g_{mb}=\frac{\partial I_D}{\partial V_{BS}}=\eta g_m$$

其中：

$$\eta =\frac{\partial V_{th}}{\partial V_{SB}}\cdot \frac{1}{g_m}\cdot \frac{\partial I_D}{\partial V_{th}}=\frac{\gamma }{2\sqrt{2{\varphi }_F+V_{SB}}}\approx 0.1\text{-}0.3$$

体效应在小信号模型中体现为一个压控电流源 $g_{mb}{v}_{bs}$ 并联在 g_m 源上。

重要影响：

• 共源级的衬底噪声耦合路径
• 差分对的共模增益（通过体效应）
• 源随器的输出阻抗

1.6.7 完整小信号模型（含寄生）

            C_gd
G ————————∥—————— D
    |    |         |
   C_gs  g_m·v_gs  r_o  C_db
    |    g_mb·v_bs |    |
S—————+—————+—————+—————+
    |         |
   C_sb       |
    |         |
    B—————— C_gb

寄生电容：

• $C_{db}$、$C_{sb}$：源/漏区与衬底间的耗尽电容（类似 pn 结）
• $C_{gd,ov}$、$C_{gs,ov}$：栅与源/漏的交叠电容

寄生电阻：

• 多晶硅栅电阻：高频时重要，可通过叉指结构降低
• 源/漏扩散区电阻

1.6.8 MOS 频率响应

单级放大器（共源级）的 -3dB 带宽简化估算：

$${\omega }_{-3dB}\approx \frac{1}{R_{eq}{C}_{eq}}$$

与 BJT 对比：

特性	BJT	MOS
g_m	38.5 mS/mA	~10 mS/mA (典型)
C_π vs C_gs	C_b ∝ I_C	C_gs ≈ 常数 × W
f_T	可到 >100 GHz	先进工艺 > 100 GHz
1/f 噪声	小	大（尤其 NMOS）

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公式推导：MOS 平方律的由来

从栅氧电容和反型层电荷出发：

$$Q_{inv}=W{C}_{ox}(V_{GS}-V_{th}-V(x))\cdot dx$$

沟道电流：

$$I_D=-W\mu Q_{inv}\frac{dV}{dx}$$

沿沟道积分（从 x=0, V=0 到 x=L, V=V_DS）：

$$I_D{\int }_0^{L}dx=W\mu C_{ox}{\int }_0^{V_{DS}}(V_{GS}-V_{th}-V)dV$$

得：

$$I_D=\mu C_{ox}\frac{W}{L}\left[(V_{GS}-V_{th})V_{DS}-\frac{1}{2}{V}_{DS}^2\right]$$

在饱和点 $V_{DS}=V_{GS}-V_{th}$ 代入得平方律方程。

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参考文献

1. P. R. Gray, P. J. Hurst, S. H. Lewis, R. G. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, 5th ed., Wiley, 2009, §1.5-§1.6.
2. Y. P. Tsividis, Operation and Modeling of the MOS Transistor, 2nd ed., Oxford, 1999.
3. B. Razavi, Design of Analog CMOS Integrated Circuits, McGraw-Hill, 2001, Ch.2.
4. R. J. Baker, CMOS: Circuit Design, Layout, and Simulation, 3rd ed., Wiley, 2010.
5. H. Shichman, D. A. Hodges, “Modeling and Simulation of Insulated-Gate Field-Effect Transistor Switching Circuits,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol. SC-3, pp. 285-289, Sep. 1968.

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📚 Razavi 补充

Razavi 第 2 章（Basic MOS Device Physics）在 Gray §1.5-1.6 的基础上，有以下差异和补充：

1. 教学方法差异

• Gray 的方法：深入覆盖 pn 结、BJT、MOS（三层），MOS 分析更数学化，适合有扎实器件物理基础的读者
• Razavi 的方法：快速覆盖器件物理，重点放在电路模型上。用最少必需的器件物理知识快速建立实用的电路模型
• Razavi 的”纳米设计笔记”侧边栏贯穿全书，标注纳米工艺中的关键注意事项

2. 覆盖范围差异

• Gray 同时覆盖 BJT 和 MOS，包含完整的 BJT Hybrid-π 模型、Ebers-Moll 方程
• Razavi 完全聚焦于 MOS（不含 BJT），对初学者更友好
• Razavi §2.3 的二级效应覆盖：体效应、沟道长度调制、速度饱和、FinFET（附录 2A）

3. Razavi 的独特内容

• FinFET 介绍（Razavi 附录 2A）：近乎平方律特性，是 16nm 以下制程的主力器件
• “选择器件模型的建议”（Razavi §3.7）：初学者用平方律模型，高级分析用更精确模型——这种”分阶段学习”建议在其他教材中少见
• 跨导的三种等价形式：$g_m={\mu }_n{C}_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{TH})=\sqrt{2{\mu }_n{C}_{ox}\frac{W}{L}{I}_D}=\frac{2I_D}{V_{GS}-V_{TH}}$（与 Gray 相同）

4. 小信号模型共性

• 两书的 MOS 小信号模型完全一致（g_m、g_mb、r_o、C_gs/C_gd/f_T）
• Razavi 的推导更简洁直观，Gray 的推导更严谨完整

建议：初学者从 Razavi Ch.2 入手（快速直观），然后通过 Gray §1.5-1.6 补充数学推导的严谨性。Razavi 的 FinFET 附录是 Gray 中没有的新内容。

关联页：Razavi Design of Analog CMOS ICs 深度解析 §2

双向链接

本文链接到

• pn结耗尽区分析 — 源/漏结耗尽电容
• 短沟道效应与弱反型 — 短沟道对平方律模型的修正
• Gray 模拟集成电路分析与设计 深度解析 — 来源导航页

链接到本文

• 单管与多管放大器 — CS/CG/CD 级分析使用 MOS 小信号模型
• 电流镜与有源负载 — MOS 电流镜输出阻抗
• 运算放大器设计基础 — CMOS 运放设计
• 集成电路频率响应 — MOS 寄生电容与极点
• 全差分运算放大器 — CMFB 分析
• 运算放大器设计 — CMOS 运放设计参考
• SCΔΣ调制器的高层设计与开关电容积分器 — MOS 开关和积分器
• CT-ΔΣ积分器实现与OTA架构 — OTA 设计中的 MOS 模型
• Allen CMOS Analog Circuit Design 深度解析 — Ch.3 模型对比

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📘 Allen 3e 补充（Ch.3 SPICE LEVEL 比较与速度饱和建模）

Allen 3e 在 MOS 建模方面的特色在于SPICE LEVEL 1-2-3 模型系统性对比和速度饱和建模扩展（3e 新增）。

SPICE LEVEL 1-2-3 对比（Allen 独有框架）：

模型	关键参数	沟道长度	精度	速度
LEVEL 1 (Shichman-Hodges)	$V_T,K^{\prime },\lambda ,\gamma$	$L>10\mu m$	低	最快
LEVEL 2 (Grove-Frohman)	$V_T,N_{SUB},X_j,\delta$	$L>2\mu m$	中	慢
LEVEL 3 (半经验)	$V_T,N_{SUB},X_j,\theta ,\eta$	$L>0.5\mu m$	较高	中

速度饱和建模（§3.2 3e 新增）：

• 载流子速度模型：$v=\frac{\mu E}{1+E/E_c}$
• 短沟道下 $E=V_{DS}/L$ 大 → 速度饱和 → $I_D\propto (V_{GS}-V_T)$（线性化）而非平方
• 迁移率退化：$\mu ={\mu }_0/[1+\theta (V_{GS}-V_T)]$，$\theta$ 为迁移率退化系数
• 沟道长度调制：$i_D=i_D^{\prime }(1+\lambda v_{DS})$

亚阈值模型（§3.5）：

• $i_D=I_{D0}(W/L)\exp (v_{GS}/n{V}_T)$，$n\approx 1.5$

• 弱反型跨导：$g_m=I_D/(n{V}_T)$，最大 $g_m/I_D\approx 38.5$ S/A

• 适用于微功耗运放设计（Ch.7 §7.4）

• 体效应（Allen 强调）：

• $V_T=V_{T0}+\gamma (\sqrt{2{\varphi }_F+V_{SB}}-\sqrt{2{\varphi }_F})$

• 体跨导：$g_{mb}=\eta g_m$，其中 $\eta =\gamma /(2\sqrt{2{\varphi }_F+V_{SB}})$

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📘 Baker 3e 补充（Ch.6 + Ch.9 BSIM4 模型与图形化设计）

Baker 对 MOS 建模的独特贡献在于BSIM4 完整参数模型和图形化设计直觉，与其他教材的纯数学推导导向形成互补。

1. BSIM4 SPICE 模型（Ch.6）—— 其他教材不提供的实用性

Baker §6 完整列出了 NMOS 和 PMOS 的 BSIM4 SPICE 模型参数（含典型值），并将每个参数与物理效应对应解释：

参数组	关键参数	物理效应
阈值电压	$VTH0$, $K1$, $K2$	长沟道 $V_{th}$、体效应系数
迁移率	$U0$, $UA$, $UB$, $UC$	零场迁移率、垂直电场退化
速度饱和	$VSAT$, $ESAT$	载流子饱和速度、临界电场
CLM/DIBL	$PCLM$, $DVT0$, $DVT1$	沟道长度调制、漏致势垒降低
噪声	$NOIA$, $NOIB$, $NOIC$	闪烁噪声模型参数
寄生	$RDSW$, $CJ$, $CJSW$	源/漏电阻、结电容

对比 Gray §1.5-1.6 使用简化的 LEVEL 1 平方律模型，Baker 更贴近工程实际。Razavi §17.3 也介绍 BSIM 演进史但非完整参数解读。

2. 图形化设计方法（Ch.9）—— 从曲线理解设计空间

Baker 强调”从图形理解设计”：

• $g_m/I_D$ 曲线：在固定 $L$ 下绘制 $g_m/I_D$ vs $V_{GS}$，直观显示弱反型（$g_m/I_D=1/(n{V}_T)$ 最大效率）到强反型（$g_m/I_D$ 递减）的过渡
• $f_T$ 与偏置关系：$f_T=g_m/(2\pi C_g)\approx 2\mu (V_{GS}-V_{TH})/(4\pi L^2)$，图形化显示沟道长度缩放对速度的平方收益
• 亚阈值 $g_m$：$g_m=I_D/(n{V}_T)$（最大 $g_m/I_D$ 效率），与 Gray §1.8 相同但 Baker 以曲线形式呈现

3. 温度效应的工程设计（Ch.9）

• $V_{TH}$ 降约 0.5 mV/°C，迁移率 $T^{-1.5}$
• 短沟道设计起点经验公式：$g_m$、$r_o$、$f_T$ 作为偏置的函数，直接用于手算

Baker 的建模 vs 其他教材：Gray 偏重数学推导（从 pn 结开始→BJT→MOS 三层）；Razavi 偏重快速直观（纳米设计笔记）；Allen 偏重 SPICE LEVEL 系统对比；Baker 最贴近工程实践——给出可立即用于仿真的 BSIM4 参数，并用图形化方法培养设计直觉。

关联页：Baker CMOS 电路设计版图与仿真 深度解析 §6, §9

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📗 Sansen 补充（Ch.1 MOST vs Bipolar Transistors——$g_m/I_D$ 设计法与反转系数）

Sansen Ch.1 的核心贡献是 $g_m/I_D$ 设计方法论和EKV 模型的反转系数法，与 Gray §1.5-§1.6 的简化平方律模型形成本质差异。

1. $g_m/I_D$ 设计方法学——Sansen 的标识性贡献

Sansen 将 $g_m/I_D$ 作为贯穿全书的统一设计变量，这一方法的核心在于将偏置选择从”选择 $V_{GS}-V_T$“转变为”选择 $g_m/I_D$”：

$$GBW=\frac{g_m}{2\pi C_L},\frac{g_m}{I_D}=\frac{q}{nkT}\frac{1-e^{-\sqrt{i}}}{\sqrt{i}}$$

其中反转系数 $i=I_{DS}/I_{DSt}$ 是归一化电流，$\frac{q}{nkT}\approx 1/(n{V}_T)$。设计者通过选择 $i$ 在弱反型（$i\ll 1$，最大 $g_m/I_D$）到强反型（$i\gg 1$，最大 $f_T$）的连续光谱上决定速度 vs 效率的权衡。

2. 三区工作模型（wi/si/vs）——Sansen 的独特分类

Gray §1.5 使用两区（线性/饱和）模型，Sansen 使用三区模型：

工作区	符号	$(V_{GS}-V_T)$ 条件	$I_D$ 形式	$g_m/I_D$
弱反型 (weak)	wi	$<0$	指数	$1/(n{V}_T)$
强反型 (strong)	si	适中，过渡点约 70mV	平方律	递减
速度饱和 (velocity sat.)	vs	$>5L$（与 $L$ 成正比）	线性	进一步降低

• wi-si 过渡电压：$(V_{GS}-V_T{)}_t=2n\cdot kT/q\approx 70$ mV（与沟道长度 $L$ 无关）
• vs 过渡电压：$(V_{GS}-V_T{)}_{vs}\approx 5L$（与 $L$ 成正比，如 $L=0.13\mu$m 时约 0.62V）

对比：Gray §1.5 的平方律模型仅覆盖 “si” 区，且假设 $(V_{GS}-V_T)$ 为设计变量而非 $g_m/I_D$。Sansen 的三区模型 + 光滑过渡覆盖了从亚阈值到速度饱和的完整设计空间。

3. EKV 模型与反转系数设计

Sansen 使用的 EKV 模型提供从弱反型到强反型的光滑过渡：

• 反转系数 $i=I_{DS}/I_{DSt}$，其中 $I_{DSt}=\mu C_{ox}(W/L)\cdot 2n(kT/q{)}^2$
• EKV 的统一 $I_{DS}$ 表达式：$I_{DS}=I_{DSt}\left[{\ln }^2\left(1+e^{(V_P-V_S)/(2kT/q)}\right)-{\ln }^2\left(1+e^{(V_P-V_D)/(2kT/q)}\right)\right]$
• 其中 $V_P\approx (V_G-V_T)/n$ 为夹断电压（pinch-off voltage）

4. MOST vs Bipolar 的全面对比

Sansen 在 Ch.1 中给出 MOST 和 Bipolar 晶体管在所有关键维度的系统对比：

维度	MOST	Bipolar
跨导效率	$g_m/I_D=2/(V_{GS}-V_T)$（si）~ $1/(n{V}_T)$（wi）	$g_m/I_C=1/V_T$
$f_T$ 最大值	$\mu V_{DS}/(2\pi L^2)$	$V_T/(2\pi C_{je}{L}_E^2)$
噪声	热噪声 $4kT\cdot \frac{2}{3}{g}_m$ + $1/f$	热噪声 $4kT\cdot \frac{1}{2}{g}_m$ + 散粒噪声 $2q{I}_C$
输出电阻	$r_o=V_E\cdot L/I_D$	$r_o=V_A/I_C$
跨导线性	$g_m=\sqrt{2\mu C_{ox}(W/L)I_D}$（si）	$g_m=I_C/V_T$（恒定）

5. 速度饱和效应

Sansen 定量处理速度饱和对 $g_m$ 和 $f_T$ 的影响：

$$v=\frac{\mu E}{1+E/E_{SAT}},g_{m,vs}=\frac{g_{m,si}}{1+V_{DS}/(2E_{SAT}L)}$$

其中 $E_{SAT}\approx 5\times 10^6$ V/m，在深亚微米工艺中速度饱和显著降低 $g_m$。

Sansen vs Gray/Razavi/Allen/Baker：Gray §1.5-1.6 使用简化平方律模型；Razavi §17.3 描述 BSIM 演进史；Allen §3.2 新增速度饱和（第 3 版）；Baker §9 使用图形化 $g_m/I_D$ 曲线。Sansen 的 EKV 反转系数方法学是唯一提供从弱反型到速度饱和的统一分析框架的教材。

关联页：Sansen 模拟集成电路设计精粹 深度解析 §1