放大器频率响应基础

放大器的增益随频率升高而滚降，带宽是模拟设计的核心约束。本章基于 Razavi 第 6 章（Frequency Response of Amplifiers）提炼，该章以独立一章（相较于 Gray 分散在各章）系统覆盖各拓扑的频率响应分析方法，包含密勒定理、极点关联法、各基本放大级的精确传递函数推导、以及增益-带宽权衡。

---

前后关系

前置知识：

• MOS晶体管模型与特性（§1.5-§1.6）— 寄生电容 C_GS、C_GD、C_DB、C_SB
• 单管放大级（Ch.3）— CS/CG/SF 的低频特性
• Cascode与多管放大级（Ch.3）— Cascode 的低频特性

本书内部链条：

• 放大器频率响应基础（本文）→ 反馈放大器稳定性与频率补偿（Ch.10）— 多极点系统的稳定性
• → 频率补偿技术 — 极点分裂、调零电阻
• → 运算放大器设计基础（Ch.9）— 运放的 GBW 优化

外部关联：

• 多路径频率补偿技术 — 快慢路径零点的推广
• 嵌套Miller与多级频率补偿 — 多级运放的频率补偿
• 反馈放大器稳定性与频率补偿 — 增益-带宽与稳定性的深层关系

---

密勒效应与极点关联法

密勒定理（§6.1.1, Fig. 6.2）

对于一个跨接在 X-Y 之间的浮空阻抗 Z，若电压增益 $A_v=V_Y/V_X$ 已知：

$$Z_1=\frac{Z}{1-A_v},Z_2=\frac{Z}{1-A_v^{-1}}$$

典型应用：CS 级中 C_GD 跨接在输入输出之间 → 输入电容倍增 $$C_{in} = C_{GD}(1 + |A_v|)

**密勒近似的三大局限性**（Razavi 独有强调）： 1. **可能消除零点**：如 Example 6.4 所示，CS 级的 RHP 零点 $$z = g_m/C_{GD}$$ 在 Miller 近似中丢失 2. **可能预测额外极点**：Miller 分解后的输入和输出各贡献一个极点，但实际 CS 级只有二阶 3. **不能同时用于输入和输出阻抗**：输入-输出传递函数和输出阻抗测量时的 Av 值不同 ### 极点与节点关联法（§6.1.2） 核心思想：每个节点 j 贡献一个极点 $$\omega_{pj} = 1/(R_{eq,j}C_{eq,j})$$。 **有效条件**：节点之间没有交叉连接阻抗。典型反例：R₃ 和 C₃ 链接两节点时交互使极点不可分离。 **纳米设计注释（§6.1）**：f_T ≈ g_m/(2πC_GS)，在 40nm 工艺中可超过 300GHz。低电压操作会降低 f_T，因为 f_T ∝ V_GS-V_TH。 --- ## 各拓扑的频率响应 ### CS 级频率响应（§6.2） **精确传递函数**（式 6.30）：

\frac{V_{out}}{V_{in}}(s) = \frac{(C_{GD}s - g_m)R_D}{R_S R_D \xi s^2 + [R_S(1+g_m R_D)C_{GD} + R_S C_{GS} + R_D(C_{GD}+C_{DB})]s + 1}

其中 $$\xi = C_{GS}C_{GD} + C_{GS}C_{DB} + C_{GD}C_{DB}$$。 **主极点**（式 6.35）：

\omega_{p1} = \frac{1}{R_S(1+g_m R_D)C_{GD} + R_S C_{GS} + R_D(C_{GD}+C_{DB})}

$$\ast \ast RHP零点\ast \ast （Fig.6.17-6.18）：$$

\omega_z = +\frac{g_m}{C_{GD}}

C_GD 提供前馈路径 → 在零点处使输出短路，C_GD 电流与 g_m V₁ 等大反向。 **输入阻抗的频率依赖**（式 6.47）： - 低频：纯容性，$$C_{eq} = C_{GS} + (1+g_m R_D)C_{GD}

• 高频：C_GD 提供低阻抗栅-漏路径 → 1/g_m 和 R_D 出现在输入端

Source Follower 频率响应（§6.3）

传递函数（式 6.51）：

$$\frac{V_{out}}{V_{in}}(s)=\frac{g_m+C_{GS}s}{R_S(C_{GS}{C}_L+C_{GS}{C}_{GD}+C_{GD}{C}_L)s^2+(g_m{R}_S{C}_{GD}+C_L+C_{GS})s+g_m}$$

• LHP 零点 ≈ f_T
• C_L = 0 时 C_GS 被完全自举（bootstrapped）→ 仅一个极点（Example 6.11）

负输入电阻（Fig. 6.26）：

$$Z_{in}\approx \frac{1}{C_{GS}s}+\frac{1}{C_{L}s}-\frac{g_m}{C_{GS}{C}_L{\omega }^2}$$

SF 驱动容性负载时输入呈现负电阻 → 可用于振荡器，但可能造成不稳定。

电感性输出阻抗（Fig. 6.28-6.29）：

$$Z_{out}=\frac{R_S{C}_{GS}s+1}{g_m+C_{GS}s}$$ $$L\approx \frac{C_{GS}}{g_m}\left(R_S-\frac{1}{g_m}\right)$$

SF 的输出阻抗随频率增加 → 感性成分 → 有源电感（Example 6.14）。

CG 级频率响应（§6.4）

$$\frac{V_{out}}{V_{in}}(s)=\frac{(g_m+g_{mb})R_D}{1+(g_m+g_{mb})R_S}\cdot \frac{1}{\left(1+\frac{C_S}{g_m+g_{mb}+R_S^{-1}}s\right)(1+R_D{C}_{D}s)}$$

• 无 Miller 效应 → 宽带宽
• 偏置阻抗 R_G 的影响（式 6.78）：$$\omega_p = (1 + g_m R_S)/[(R_G + R_S)C_{GS}]

### Cascode 级频率响应（§6.5） **三极点结构**（Fig. 6.34）： - 输入极点：$$\omega_{p,A} = 1/[R_S(C_{GS1} + (1 + g_{m1}/(g_{m2}+g_{mb2}))C_{GD1})]

• Miller 抑制因子 ≈ 2（而非 CS 级的 1+g_m R_D ≫ 1）
• 中间极点：$$\omega_{p,X} = (g_{m2} + g_{mb2})/(2C_{GD1} + C_{DB1} + C_{SB2} + C_{GS2})

- ≈ 2πf_T/2，通常为最高极点 - 输出极点：$$\omega_{p,Y} = 1/[R_D(C_{DB2} + C_L + C_{GD2})]

Cascode 的优势：屏蔽效应使 C_GD1 的 Miller 倍增从 1+g_m R_D 降至 ~2。

差分对频率响应（§6.6）

无源负载（§6.6.1）：

• 差模半电路 ≈ CS 级
• 共模节点 P 的电容 C_P = C_GD3 + C_DB3 + C_SB1 + C_SB2
• CMRR 频率退化（Fig. 6.37）：
  • 极点：$$\omega_p = 1/(r_{O3}C_P)

- 零点：$$\omega_z \approx 2g_{m3}/C_P

• 超过 ω_p 后 CMRR 开始以 -20dB/dec 下降
• 头屋权衡：宽 M₃ 减小 V_DS3(sat) → C_P 增大 → CMRR 退化

有源负载（§6.6.2）：

• PMOS 电流镜引入镜像极点：$$\omega_{p,mirror} \approx g_{mP}/C_E

- **快慢路径零点**：$$\omega_z \approx 2g_{mP}/C_E = 2\omega_{p2}$$（LHP，改善相位裕度） - 全差分版本（Fig. 6.39(a)）无镜像极点 → 带宽更高 ### 增益-带宽权衡（§6.7） **单极点**：$$GBW = g_m/(2\pi C_L)$$ — Cascoding 不增加 GBW（Example 6.18） **多极点级联**（N 级相同级）：

\omega_{-3dB} = \sqrt{2^{1/N} - 1} \cdot \omega_p

- N=2：ω_{-3dB} ≈ 0.64 ω_p，GBW 提升 0.64·A₀ 倍（但功耗加倍） - 多极点导致反馈系统中的稳定性问题 --- ## Razavi 特色贡献 1. **拍极点法（Pole Association with Nodes）**：将一个极点与一个电路节点关联，快速估算带宽 2. **密勒定理的严格局限性分析**：指出 Miller 近似可能消除零点、预测额外极点、错误计算输出阻抗 3. **快慢双路径模型**：解释有源负载差分对中零点的物理起源 4. **有源电感分析**：SF 输出阻抗的感性行为及其在带宽增强中的应用 5. **vs Gray 对比**：Razavi 用独立一章系统覆盖各拓扑的频率响应；Gray 的频率响应分布在 Ch.6（运放）和 Ch.9（反馈稳定性）中 > 与 Gray/Allen/Baker/Sansen 的对比详见 [[Razavi Design of Analog CMOS ICs 深度解析]] §6 --- ## 参考文献 1. B. Razavi, *Design of Analog CMOS Integrated Circuits*, 2nd ed., McGraw-Hill, 2016, Ch.6. 2. P. R. Gray, P. J. Hurst, S. H. Lewis, R. G. Meyer, *Analysis and Design of Analog Integrated Circuits*, 5th ed., Wiley, 2009, §6.1, §9.1-§9.5. --- ## 双向链接 ### 本文链接到 - [[MOS晶体管模型与特性]] — 寄生电容 - [[单管放大级]] — CS/CG/SF 低频特性 - [[Cascode与多管放大级]] — Cascode 低频特性 - [[差分放大器与失调分析]] — 差分对频率响应 ### 链接到本文 - [[频率补偿技术]] — 带宽拓展 - [[反馈放大器稳定性与频率补偿]] — 多极点的稳定性后果 - [[运算放大器设计基础]] — 运放的 GBW - [[Razavi Design of Analog CMOS ICs 深度解析]] — 来源导航页