半导体能带理论与带隙

能带结构（$E$-$k$ 关系）是理解半导体中载流子行为的核心框架。带隙 $E_g$ 是半导体最重要的参数之一，决定了器件的工作温度、光学特性和载流子浓度。直接/间接带隙的区分决定了辐射复合效率，有效质量则直接影响迁移率和器件速度。本文基于 Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 Ch.1 §1.3 提炼。

---

前后关系

前置知识：

• 半导体晶体结构与晶格 — 晶格结构、Brillouin 区
• 量子力学基础（Schrödinger 方程）

本书内部链条：

• 半导体能带理论与带隙（本文）→ 半导体载流子浓度与费米能级 — 带隙决定本征载流子浓度
• → 半导体声子光学与热学性质 — 光学跃迁依赖能带结构
• → 半导体发光二极管与激光器 — 直接/间接带隙决定发光效率

外部关联：

• MOS晶体管模型与特性 — 有效质量影响迁移率和 $g_m$
• pn结耗尽区分析 — 带隙影响内建电势和击穿

---

1. Bloch 定理与能带

1.1 Bloch 定理

若势能 $V(\mathbf{r})$ 在正格子空间具有周期性，则 Schrödinger 方程的解为 Bloch 函数：

$${\Psi }_b(\mathbf{r},\mathbf{k})=\exp (j\mathbf{k}\cdot \mathbf{r})u_b(\mathbf{r},\mathbf{k})$$

其中 $u_b(\mathbf{r},\mathbf{k})$ 在正格子中周期性，$b$ 为能带指标。

核心推论：

• 能量 $E(\mathbf{k})$ 在倒格子中周期性：$E(\mathbf{k})=E(\mathbf{k}+\mathbf{G})$
• 只需在第一 Brillouin 区中标记 $\mathbf{k}$ 即可唯一标记所有能量状态（简约区方案）

1.2 能带结构

固体中存在允许的能量带（导带、价带）和禁止的能量间隙（带隙 $E_g$）：

• 导带（Conduction Band）：$E\ge E_C$（导带底）
• 价带（Valence Band）：$E\le E_V$（价带顶）
• 带隙：$E_g=E_C-E_V$

---

2. 有效质量

在带边附近，$E$-$k$ 关系可近似为抛物线：

$$E(\mathbf{k})\approx E_0+\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m^{\ast }}$$

有效质量张量定义为：

$$\frac{1}{m_{ij}^{\ast }}=\frac{1}{{\hslash }^2}\frac{d^{2}E(\mathbf{k})}{d{k}_{i}d{k}_j}$$

2.1 价带结构

在闪锌矿结构中（如 GaAs），价带在 $k=0$（$\Gamma$ 点）处由四个子带组成（不考虑自旋），其中三个简并于带顶：

• 重空穴带（Heavy Hole, HH）：$k$ 轴方向更宽，$d^{2}E/d{k}^2$ 更小 → $m_{hh}^{\ast }$ 更大
• 轻空穴带（Light Hole, LH）：$k$ 轴方向更窄，$d^{2}E/d{k}^2$ 更大 → $m_{lh}^{\ast }$ 更小
• 自旋-轨道分裂带：自旋-轨道相互作用导致在 $k=0$ 处分裂

2.2 导带结构

参数	Si	GaAs
导带底位置	偏离中心，沿 $[100]$ 轴（$\Delta$ 轴）	区中心 $k=0$（$\Gamma$ 点）
等能面形状	6 个椭球体	球面
带隙类型	间接带隙	直接带隙
$E_g$ (300 K)	1.12 eV	1.42 eV
$E_g$ (0 K)	1.17 eV	1.52 eV
$m_e^{\ast }/m_0$（纵向）	$m_l^{\ast }=0.98m_0$	$0.063m_0$
$m_e^{\ast }/m_0$（横向）	$m_t^{\ast }=0.19m_0$	—

态密度有效质量：

$$m_{de}=(m_1^{\ast }{m}_2^{\ast }{m}_3^{\ast }{)}^{1/3}\text{（对椭球面）}$$

Si: $m_{de}=(m_l^{\ast }\cdot m_t^{\ast 2}{)}^{1/3}$

---

3. 直接带隙 vs 间接带隙

特征	直接带隙 (GaAs)	间接带隙 (Si)
导带底与价带顶	同一 $\mathbf{k}$ 值（$\Gamma$ 点）	不同 $\mathbf{k}$ 值
辐射复合	高效（动量自动守恒）	低效（需声子参与）
光吸收边	陡峭	平缓
适用场景	LED、激光器	集成电路（不发光）

---

4. 带隙的温度与压力依赖

4.1 温度依赖

$$E_g(T)=E_g(0)-\frac{\alpha T^2}{T+\beta }$$

材料	$E_g(0)$ (eV)	$\alpha$ ($10^{-4}$ eV/K)	$\beta$ (K)
Si	1.169	4.9	655
GaAs	1.519	5.4	204

温度系数 $d{E}_g/dT<0$（带隙随温度升高而减小）。

4.2 压力依赖

• GaAs: $d{E}_g/dP\approx +12.6\times 10^{-5}$ eV·cm²/N（带隙随压力增大）
• Si: $d{E}_g/dP\approx -2.4\times 10^{-5}$ eV·cm²/N（带隙随压力减小）

---

5. 群速度与动量

载流子的群速度：

$$v_g=\frac{1}{\hslash }\frac{dE}{dk}$$

载流子动量：$p=\hslash k$

---

📚 Sze 补充

本节基于 Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 Ch.1 §1.3。相比 MOS晶体管模型与特性 中仅使用有效质量作为模型参数，Sze 从 Bloch 定理出发系统推导了能带结构，给出了 Si/GaAs 的完整 $E$-$k$ 关系图和等能面形状，为理解载流子输运和光学性质提供物理基础。

---

参考文献

• Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 Ch.1 §1.3
• S. M. Sze & K. K. Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3rd Ed., Wiley, 2007, pp.12-16