晶体管老化紧凑模型

本页面基于 Maricau & Gielen《Analog IC Reliability in Nanometer CMOS》(Springer, 2013) Ch.3 全量内容。覆盖 HCI/BTI/TDDB 紧凑模型（支持时变应力）、物理模型基础、模型校准、老化等效晶体管模型、手算老化模型。

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紧凑模型设计原则

好的紧凑模型应满足：

1. 准确：捕获所有重要依赖关系
2. 易校准：参数可通过测量提取
3. 易评估：计算开销小，适合电路级仿真
4. 设计相关：使用可观测参数（电压、电流、尺寸、温度）而非内部物理量

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HCI 紧凑模型

Lucky Electron Model（LEM）基础

大多数 HCI 模型基于 LEM（Shockley 1961）。横向电场 near 漏端加速载流子 → 部分”幸运电子”获得足够能量越过 Si/SiO₂ 势垒 → 注入氧化层 → 产生界面态和氧化层电荷。

Hu 模型（1985，工业标准）：

$$\Delta N_{IT}=C_2{\left(\frac{I_{sub}}{W}\right)}^{\alpha }{T}_{str}^n\text{(Eq.3.2)}$$

问题：在纳米 CMOS 中，$I_{sub}$ 被栅极漏电、结电流、GIDL 等其他漏电成分主导 → 不再有效。

Maricau DC 模型

基于反应-扩散（RD）方法，从 Si-H 键断裂出发推导。

核心推导链：

1. 氢反应平衡：$N_{Hx}=k_H{N}_x^H$（Eq.3.7）
2. 扩散前沿：$\sqrt{D_{Hx}t}$
3. 界面陷阱数：$N_{IT}=N_{Hx}(0)\frac{\pi n_x}{12L}\sqrt{D_{Hx}t}$（Eq.3.8）
4. 最终 $V_{TH}$ 偏移：

$$\Delta V_{TH}=\underset{A_{HCI}}{\underbrace{C_{HCI}{\left(\frac{k_F{N}_0}{k_R}\right)}^{\frac{n_x}{1+n_x}}{\left(\frac{n_x\pi k_H}{12L{D}_{Hx}}\right)}^{\frac{1}{1+n_x}}}}\cdot t^{\frac{1}{1+n_x}}\text{(Eq.3.10)}$$

正向反应常数 $k_F$ 的依赖关系：

$$k_F\propto C_{ox}(V_{GS}-V_{TH})\cdot \exp \left(\frac{E_{ox}}{E_0}\right)\cdot \exp \left(\frac{-{\phi }_{IT}}{q\lambda E_{lat}}\right)\cdot \exp \left(\frac{-E_{kF}}{kT}\right)\text{(Eq.3.11)}$$

各项含义：

• $C_{ox}(V_{GS}-V_{TH})$：沟道中载流子数量
• $\exp (E_{ox}/E_0)$：栅氧电场依赖
• $\exp (-{\phi }_{IT}/q\lambda E_{lat})$：电子获得 ≥ ${\phi }_{IT}$ 能量的概率
• $\exp (-E_{kF}/kT)$：Arrhenius 温度依赖（$E_{kF}$ 为负值 → 高温增加晶格振动 → 减小自由程 → 减少热载流子）

65nm CMOS 校准参数（Table 3.1）：

参数	值	参数	值
$C_{HCI}$	1.5e-5	$n_x$	1.21
$E_0$	0.71e8 V/m	$E_a$	-0.06 eV
$t_{ox}$	2.2e-9 m	${\phi }_{IT}$	3.7 eV
$\lambda$	7.8e-9 m	$l$	45e-9 m
$v_{sat}$	1e5 m/s	${\mu }_0$	235 cm²/Vs
$\theta$	0.95 V⁻¹	$V_{TH,0}$	0.2 V

时间依赖形式为 $A_{HCI}{t}^{n_{HCI}}$，$n_{HCI}=1/(1+n_x)\approx 0.45$，与文献中 $n\approx 0.5$ 一致。

AC 时变应力模型

DC 模型仅适用于固定应力。模拟电路中晶体管承受时变电压 → 需要 AC 扩展。

方法：等效应力时间法

1. 在 $t_1$ 期间施加固定应力 $A_{HCI,1}$ → $\Delta V_{TH,1}=A_{HCI,1}{t}_1^{n_{HCI}}$（Eq.3.14）
2. 应力变为 $A_{HCI,2}$ → 计算等效时间 $t_{1,eq}$：

$$t_{1,eq}={\left(\frac{A_{HCI,1}}{A_{HCI,2}}{t}_1^{n_{HCI}}\right)}^{1/n_{HCI}}\text{(Eq.3.15)}$$

3. 总损伤：$\Delta V_{TH,2}=A_{HCI,2}(t_{1,eq}+T_2{)}^{n_{HCI}}$（Eq.3.16）

连续时变应力的推广：

$$\Delta V_{TH}(t)={\left({\int }_0^t{A}_{HCI}(t^{\prime })d{t}^{\prime }\right)}^{n_{HCI}}\text{(Eq.3.18)}$$

关键假设：HCI 损伤是永久的（Parthasarathy 2006），无恢复效应。

sub-45nm HCI 随机化

HCI 在纳米器件中引入额外变异：

$$\mu (\Delta V_{TH})=A_{HCI}{t}^{n_{HCI}}$$ $$\sigma (V_{TH})=\sqrt{\frac{K_{HCI}\cdot q\cdot \mu (\Delta V_{TH})}{2C_{ox}WL}}\text{(Eq.3.19)}$$

其中 $K_{HCI}\approx 5.6$（45nm CMOS，Magnone et al. 2011）。

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BTI 物理模型

反应-扩散（R-D）模型

R-D 模型是 BTI 最流行的物理模型（Jeppson & Svensson 1977; Alam 2003）。

核心方程：NBTI 源于空穴辅助的 Si-H/Si-O 键断裂。

$$\frac{d{N}_{IT}}{dt}=k_F(N_0-N_{IT})-k_R{N}_H(0)N_{IT}\text{(Eq.3.20)}$$

其中 $N_{IT}$ 为界面陷阱数，$N_0$ 为初始未断裂 Si-H 键数，$k_F$ 为电场依赖的正向解离速率常数。

简化求解（恒定应力，新鲜晶体管）：

$$N_H(0)N_{IT}\approx \frac{k_F}{k_R}{N}_0\text{(Eq.3.6)}$$

R-D 模型局限：不包含氧化层陷阱 → 无法解释 BTI 恢复效应。但对 HCI 仍适用（HCI 陷阱仅在漏端产生，恢复可忽略）。

反应-去反应（RDD）模型

对 R-D 模型的改进，考虑了反向反应过程。

空穴陷阱模型

• 2006 年 Huard 提出：NBTI = 永久界面态产生 + 弹性空穴陷阱捕获（可恢复分量）
• 最初被视为实验干扰，后获得广泛认可

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BTI 紧凑模型

永久+可恢复分量分解

$$\Delta V_{TH}(t)=P(t)+R(t)$$

永久分量 $P$：

$$P(t)=\exp ({\alpha }_1{V}_{GS})\cdot t^{n_P}\text{(Eq.3.48-3.49)}$$

可恢复分量 $R$（Algorithm 1）：

$$R(t)=V_{GS}^{{\alpha }_2}(C_R+n_R{\log }_{10}t)\text{(Eq.3.47)}$$

温度缩放：

$$\Delta V_{TH}(T)=\Delta V_{TH}(T_0)\cdot \exp \left(-\frac{E_a}{kT}\right)\text{(Eq.3.50)}$$

时变应力 BTI 模型

对于时变电压应力，可恢复分量需要特殊处理：

• 每次应力减小时，部分退化立即恢复
• 恢复量依赖于应力历史
• Algorithm 1 提供了逐步计算可恢复分量的方法

模型校准

校准条件：1.9nm EOT SiON pFET，65nm 工艺

参数	含义
${\alpha }_1$	永久分量电压缩放因子
${\alpha }_2$	可恢复分量电压缩放因子
$n_P$	永久分量时间指数
$n_R$	可恢复分量时间指数
$C_R$	可恢复分量常数
$E_a$	激活能

校准验证：模型与测量数据在多种应力条件下吻合良好。

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TDDB 模型

HBD 模型

三种电场加速模型：

E 模型：

$$\ln (t_{BD})\propto -\gamma E_{ox}\text{(Eq.3.57)}$$

1/E 模型：

$$\ln (t_{BD})\propto \frac{G}{E_{ox}}\text{(Eq.3.58)}$$

电压驱动模型：

$$t_{BD}\propto \exp (-\delta V_{ox})\text{(Eq.3.59-3.61)}$$

SBD 模型

SBD 使用 Poisson 分布建模：

$$F(t)=1-\exp \left(-A_{ox}\cdot \frac{t^{\beta }}{t_0^{\beta }}\right)\text{(Eq.3.62-3.63)}$$

其中 $A_{ox}$ 为氧化层面积，$\beta$ 为 Weibull 形状参数。

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老化等效晶体管模型

为在电路仿真中同时考虑所有老化效应的综合影响，提出老化等效晶体管模型：

$$\text{Fresh Transistor}\stackrel{\text{Aging}}{\to }\text{Aged Equivalent Transistor}$$

等效变换（Eq.3.64-3.68, Fig.3.19）：

1. $V_{TH}$ 偏移：$\Delta V_{TH}=\Delta V_{TH,HCI}+\Delta V_{TH,BTI}$
2. 载流子迁移率退化：$\mu ={\mu }_0/(1+\beta \Delta N_{IT})$（Eq.3.5）
3. 氧化层击穿等效：SBD 后局部迁移率退化

组合效应：

• HCI 主要影响 $V_{TH}$ 和 $\mu$（陷阱产生 near 漏端）
• BTI 主要影响 $V_{TH}$（界面态 + 氧化层陷阱）
• TDDB 影响 $I_G$（击穿后栅电流增大）
• 各效应之间相互影响（如 HCI 产生的陷阱可增强 NBTI）

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手算老化模型

为让设计师快速估算老化影响，提供一阶手算模型（§3.7, Table 3.3）：

32nm HKMG 参数汇总：

• HCI：$A_{HCI}$, $n_{HCI}$ 参数
• BTI：$P$, $R$ 分量参数
• TDDB：Weibull 参数

手算模型使设计师无需仿真即可快速评估老化对电路性能的一阶影响。

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