半导体载流子浓度与费米能级

载流子浓度和费米能级位置是半导体器件分析的基础。通过掺杂控制载流子类型和浓度是半导体技术的核心。本文基于 Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 Ch.1 §1.4 提炼。

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前后关系

前置知识：

• 半导体能带理论与带隙 — 带隙 $E_g$、导带底 $E_C$、价带顶 $E_V$

本书内部链条：

• 半导体载流子浓度与费米能级（本文）→ 半导体载流子输运现象 — 载流子浓度决定电流
• → pn结耗尽区分析 — p-n 结内建电势由载流子浓度决定
• → pn结电流电压特性与击穿 — I-V 特性依赖少子浓度

外部关联：

• MOS晶体管模型与特性 — 阈值电压与衬底掺杂浓度相关
• pn结耗尽区分析 — 耗尽区宽度由掺杂浓度决定

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1. 本征半导体

热平衡下，电子浓度由态密度 $N(E)$ 与费米-狄拉克分布 $F(E)$ 的积分给出：

$$n={\int }_{E_C}^{\infty }N(E)F(E)dE$$

态密度（导带底附近）：

$$N(E)=\frac{M_c(2m_{de}^{\ast }{)}^{3/2}}{2{\pi }^2{\hslash }^3}\sqrt{E-E_C}$$

费米-狄拉克分布：

$$F(E)=\frac{1}{1+\exp [(E-E_F)/kT]}$$

积分结果：

$$n=N_C{\mathcal{F}}_{1/2}\left(\frac{E_F-E_C}{kT}\right)$$

其中 $N_C$ 为导带有效态密度：

$$N_C=2{\left(\frac{2\pi m_{de}^{\ast }kT}{h^2}\right)}^{3/2}$$

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2. 非简并半导体

当掺杂浓度 $<N_C$ 且费米能级距带边 $>3kT$ 时，Boltzmann 近似成立：

n 型：

$$n=N_C\exp \left(-\frac{E_C-E_F}{kT}\right)$$

p 型：

$$p=N_V\exp \left(-\frac{E_F-E_V}{kT}\right)$$

其中 $N_V=2{\left(\frac{2\pi m_{dh}^{\ast }kT}{h^2}\right)}^{3/2}$，$m_{dh}^{\ast }=(m_{lh}^{\ast 3/2}+m_{hh}^{\ast 3/2}{)}^{2/3}$。

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3. 本征载流子浓度

本征半导体 $n=p=n_i$，费米能级 $E_i$：

$$E_i=\frac{E_C+E_V}{2}+\frac{kT}{2}\ln \frac{N_V}{N_C}$$ $$n_i=\sqrt{N_C{N}_V}\exp \left(-\frac{E_g}{2kT}\right)$$

材料	$n_i$ (300 K)
Si	$\approx 1.0\times 10^{10}$ cm${}^{-3}$
GaAs	$\approx 2.1\times 10^6$ cm${}^{-3}$

带隙越大，$n_i$ 越小。

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4. 质量作用定律

非简并半导体中：

$$pn=n_i^2$$

此关系与掺杂无关（直到简并条件）。

以 $E_i$ 为参考：

• n 型: $n=n_i\exp \left(\frac{E_F-E_i}{kT}\right)$
• p 型: $p=n_i\exp \left(\frac{E_i-E_F}{kT}\right)$

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5. 施主与受主

类型	能级定义	电离后	电离能（氢原子模型）
施主 $E_D$	被电子填充时中性	正电	Si: 0.025 eV, GaAs: 0.007 eV
受主 $E_A$	空着时中性	负电	Si: 0.05 eV, GaAs: 0.05 eV

浅杂质电离能 $\ll E_g$，室温下电离基本完全。

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6. 费米能级的计算

6.1 不完全电离

电离施主浓度：

$$N_D^{+}=\frac{N_D}{1+g_D\exp [(E_F-E_D)/kT]}$$

电离受主浓度：

$$N_A^{-}=\frac{N_A}{1+g_A\exp [(E_A-E_F)/kT]}$$

其中 $g_D=2$, $g_A=4$。

电荷中性条件：$n+N_A^{-}=p+N_D^{+}$，结合 $pn=n_i^2$，可唯一确定 $E_F$。

6.2 完全电离（高温近似）

n 型 ($N_D>N_A$)：

$$n_{n0}=\frac{1}{2}\left[(N_D-N_A)+\sqrt{(N_D-N_A{)}^2+4n_i^2}\right]$$

当 $N_D-N_A\gg n_i$ 时：$n_{n0}\approx N_D-N_A$

6.3 温度依赖

温度区间	行为
高温	本征区：$n\approx p\approx n_i\gg N_D$
中温	饱和区：$n\approx N_D$（完全电离）
低温	冻结区：大部分杂质未电离

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7. 简并半导体

当载流子浓度接近或超过 $N_C$（或 $N_V$）时：

• 费米能级进入导带或价带
• 必须使用完整的费米-狄拉克积分
• $pn<n_i^2$

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📚 Sze 补充

本节基于 Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 Ch.1 §1.4。相比 MOS晶体管模型与特性 中简化的掺杂浓度参数，Sze 系统推导了从费米-狄拉克统计到不完全电离的完整理论框架，给出了图解法确定 $E_F$ 的方法，以及温度对载流子浓度的完整依赖关系。

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参考文献

• Sze Physics of Semiconductor Devices 深度解析 Ch.1 §1.4
• S. M. Sze & K. K. Ng, Physics of Semiconductor Devices, 3rd Ed., Wiley, 2007, pp.16-28