高阶ΔΣ调制器与NTF

从一阶到高阶：高阶环路滤波器带来更激进的噪声整形（OSR 加倍对应 $L+0.5$ bit 分辨率提升），但代价是稳定的维护变得更加困难。

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前后关系

上下文：§1.3 在 §1.2 的一阶调制器基础上，自然地延伸问道——能否用更高阶的环路滤波器来提升精度？答案是肯定的：二阶、三阶乃至更高阶的 ΔΣ 调制器在实践中被广泛使用。

后续章节：

• Ch.2（反馈噪声整形与MOD1深度分析、量化器理论与线性模型）建立了一阶噪声整形的严格理论基础，其中线性量化器模型是本章分析的前提
• Ch.3（二阶ΔΣ调制器MOD2原理、MOD2仿真与有效量化器增益、MOD2非线性效应与谐波失真、MOD2稳定性与死区分析、MOD2替代架构、广义二阶结构与最优NTF设计）对二阶调制器进行全面分析
• Ch.4 高阶ΔΣ调制器稳定性与MSA 揭示量化器过载失稳机制，高阶ΔΣ调制器NTF系统化设计 给出 MSA 改善和 Butterworth 设计流程，高阶NTF零点优化与Bode积分 从理论上证明带内/带外权衡的必然性，单比特高阶ΔΣ调制器与Lee准则 提供 1-bit 设计的经验规则，CIFB与CRFB反馈环路滤波器拓扑、CIFF与CRFF前馈环路滤波器拓扑 和 ΔΣ环路状态空间描述 覆盖了四种主流环路滤波器拓扑和统一仿真框架
• Ch.5（多级ΔΣ调制器与Leslie-Singh结构、MASH级联ΔΣ调制器原理、MASH噪声泄漏与失配效应、Sturdy-MASH鲁棒级联架构、噪声耦合ΔΣ架构、分裂与交叉耦合ΔΣ调制器）用级联和取消策略绕过单环路的稳定性限制

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原理介绍

二阶调制器

在一阶调制器中加入第二个积分器和反馈路径：

u --->(+)---[1/(1-z^{-1})]---(+)---[1/(1-z^{-1})]---[量化器]---> v
       ^                       ^                           |
       |---a1-------------------|---a2--------- [DAC]<-----|

线性化 z 域分析：

$$V(z)=z^{-1}U(z)+(1-z^{-1}{)}^{2}E(z)$$

• STF：$z^{-1}$（纯延迟）
• NTF：$(1-z^{-1}{)}^2$

NTF 幅度平方：

$$|NTF(e^{j\omega }){|}^2=16{\sin }^4\left(\frac{\omega }{2}\right)\approx {\omega }^4(\omega \ll 1)$$

带内量化噪声功率（$\text{OSR}\gg 1$）：

$${\sigma }_q^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-{\omega }_B}^{{\omega }_B}\frac{{\Delta }^2}{12}\cdot 16{\sin }^4\left(\frac{\omega }{2}\right)d\omega \approx \frac{{\Delta }^2}{12}\cdot \frac{{\pi }^4}{5}\cdot \frac{1}{{\text{OSR}}^5}$$

比较：

• 一阶：OSR 加倍 ➔ 噪声降 9 dB（1.5 bit）
• 二阶：OSR 加倍 ➔ 噪声降 15 dB（2.5 bit）

L 阶调制器

对于 $L$ 阶环路滤波器，NTF 为 $(1-z^{-1}{)}^L$：

$$V(z)=z^{-k}U(z)+(1-z^{-1}{)}^{L}E(z)$$

通用带内噪声功率公式：

$${\sigma }_q^2\approx \frac{{\Delta }^2}{12}\cdot \frac{{\pi }^{2L}}{2L+1}\cdot \frac{1}{{\text{OSR}}^{2L+1}}$$

分辨率提升：OSR 加倍使 ENOB 增加 $L+0.5$ bit。

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稳定性问题

为什么不能无限提高阶数？

如果仅看上述公式，似乎任意高阶数都可达到任意高 SNR——但这”好得不像是真的”。实际中，高阶 ΔΣ 调制器面临严峻的稳定性问题。

核心原因：

1. 环路增益相位积累：多个积分器使环路相位延迟超过 $180^{\circ }$
2. 量化器非线性：线性化模型在稳定性分析中失效
3. 状态变量发散：高阶环路中积分器输出可能不受控地增长

对单 bit 量化器：高阶（$L>2$）调制器必须精心设计 NTF 来保证稳定性。典型做法：

• 限制带外 NTF 增益（通常 $|NTF{|}_{\infty }<1.5$ 或 $<2$）
• 采用 Lee 判据：若 $|NTF{|}_{\infty }<2$ 且量化器为单 bit，调制器稳定
• 实际设计中，高阶带来的分辨率提升远低于理想值（如 5 阶单 bit 调制器比理想值低 > 60 dB）

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高阶 ΔΣ 的关键设计参数

参数	符号	说明
阶数	$L$	积分器数量，决定噪声整形斜率
OSR	$f_s/(2B)$	过采样率，决定带内噪声基底
NTF 峰值	$	NTF
量化器位数	$N_Q$	影响环路增益确定性和量化噪声基数
输入摆幅	—	高阶级稳定性要求减小输入幅度

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数学推导

NTF 与 PSD 关系

量化噪声 PSD 经过 NTF 整形后：

$$S_q(\omega )=\frac{{\Delta }^2}{12}\cdot |NTF(e^{j\omega }){|}^2=\frac{{\Delta }^2}{12}\cdot {\left(2\sin \frac{\omega }{2}\right)}^{2L}$$

带内噪声功率推导

$${\sigma }_q^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-{\omega }_B}^{{\omega }_B}\frac{{\Delta }^2}{12}{\left(2\sin \frac{\omega }{2}\right)}^{2L}d\omega$$

对于 ${\omega }_B=\pi /\text{OSR}\ll 1$，利用 $\sin x\approx x$：

$${\sigma }_q^2\approx \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi /\text{OSR}}^{\pi /\text{OSR}}\frac{{\Delta }^2}{12}\cdot {\omega }^{2L}d\omega =\frac{{\Delta }^2}{12}\cdot \frac{{\pi }^{2L}}{2L+1}\cdot \frac{1}{{\text{OSR}}^{2L+1}}$$

最大可达 SQNR

假设满幅正弦输入（幅度 $\Delta /2$ 对应 1-bit 量化器步长）：

$$SQN{R}_{\text{max}}=\frac{(\Delta /2{)}^2/2}{{\sigma }_q^2}=\frac{3}{2}\cdot \frac{2L+1}{{\pi }^{2L}}\cdot {\text{OSR}}^{2L+1}$$

以 dB 表示：

$$SQN{R}_{\text{max}}(\text{dB})=6.02L+1.76+10{\log }_{10}\left(\frac{2L+1}{{\pi }^{2L}}\right)+(2L+1)\cdot 10{\log }_{10}(\text{OSR})$$

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实现考量

常见高阶拓扑

拓扑	全称	特点
CIFB	Cascade of Integrators with Distributed Feedback	最常用，反馈系数决定 NTF
CIFF	Cascade of Integrators with Feedforward Sum	信号前馈求和，STF 平坦
CRFB	Cascade of Resonators with Distributed Feedback	含谐振器，用于 BP-ΔΣ
CRFF	Cascade of Resonators with Feedforward Sum	前馈 + 谐振

离散时间 vs 连续时间实现

• DT（开关电容）：精确的系数比，适合中低频
• CT（RC/Gm-C）：自然抗混叠，适合 GHz 级时钟

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §1.3 & Ch.3-4. IEEE Press/Wiley.
2. Lee, W. L. (1987). A Novel Higher Order Interpolative Modulator Topology for High Resolution Oversampling A/D Converters. MIT PhD Thesis. （Lee 判据的出处）
3. Schreier, R. (1993). “An Empirical Study of High-Order Single-Bit Delta-Sigma Modulators.” IEEE Trans. Circuits Syst. II, 40(8), 461-466.

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相关页面

• 一阶ΔΣ调制器
• MASH ΔΣ调制器
• CT-ΔΣ调制
• Pavan ΔΣ 数据转换器 Ch.1 深度解析
• ΔΣ调制器性能FoM
• Rosa Sigma-Delta Converters Practical Design Guide 深度解析
• SCΔΣ调制器的高层设计与开关电容积分器 — Ch.7 的 NTF 选择（§7.2）和动态范围缩放基于 Ch.4 的高阶 NTF 设计理论

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📙 Rosa 补充（Ch.2 单 loop 高阶 ΣΔM 设计与 NTF 优化）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.2 对高阶单 loop ΣΔM 增加了实用设计视角。

高阶 NTF 系统化设计流程

Rosa 给出从目标规格出发的 NTF 设计步骤：

1. 由 OSR 和目标 SNR 确定阶数 $L$：$\text{SNR}\approx 6.02N+1.76+10{\log }_{10}\left(\frac{2L+1}{{\pi }^{2L}}{\text{OSR}}^{2L+1}\right)$
2. 选择 NTF 带外增益 $\gamma =|\text{NTF}{|}_{\infty }$（通常 $\gamma <1.5$ 保证 1-bit 稳定）
3. 用 Butterworth/Chebyshev 极点配置优化 NTF 极点位置
4. 零点放置：带内均匀分布或按优化准则（如最小化带内积分噪声）

优化 NTF 零点分布

Rosa 强调零点不应全部放在 dc，而应在带内最优分布：

• 对 $L$ 阶 NTF，$L$ 个零点在 $[0,f_B]$ 内的最优位置使 ${\int }_0^{f_B}|\text{NTF}(f){|}^{2}df$ 最小
• 这等价于 Legendre 多项式的根映射到 $[0,f_B]$ 区间
• 相比全零点在 dc，优化分布可额外降低带内噪声 3–6 dB（对 4 阶以上）

CIFF vs CIFB 高阶实现对比

特性	CIFF（前馈）	CIFB（反馈）
STF	近似 unity	低通特性
积分器摆幅	小（信号不经过）	大（信号经每级积分）
前端线性度要求	低	高
求和放大器	需要（多路前馈求和）	不需要
适用场景	SC 实现首选	CT 实现常见

差异定位：Pavan Ch.4 侧重 NTF 的 $h_1$ 范数理论和 MSA 严格推导；Rosa 侧重 NTF 工程优化流程（零点分布、极点配置、CIFF/CIFB 选型指南）。