MOD1 非线性行为与空闲音

Pavan 教材 §2.5-2.6 揭示了 MOD1 线性量化噪声模型的严重局限性。MOD1 的实际行为远比线性模型预测的复杂——输出频谱中 SQNR 随输入幅值和频率剧烈波动，直流激励可产生周期性空闲音（idle tones），有限积分器增益导致死区（dead-zones）。这些非线性现象是 ΔΣ 调制器设计中不可忽视的现实。

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前后关系

上下文：§2.4（反馈噪声整形与MOD1深度分析）基于量化器线性模型给出了 MOD1 的完整分析。§2.5-2.6 返回现实，指出线性模型的不足并揭示 MOD1 的真实非线性行为。

后续章节：

• Ch.3（二阶 ΔΣ 调制器/MOD2）在 MOD1 基础上改进，空闲音问题大幅缓解
• Ch.4（高阶 ΔΣ 调制器）需处理更复杂的稳定性问题
• Ch.9 分析 CT-ΔΣ 调制器的非理想性

交叉引用：

• 一阶ΔΣ调制器（Ch.1）从类比角度介绍 MOD1，未涉及非线性
• 高阶ΔΣ调制器与NTF（Ch.1 §1.3）提及稳定性挑战
• 二阶ΔΣ调制器MOD2原理
• Pavan ΔΣ 数据转换器 深度解析
• 量化器理论与线性模型
• dither（抖动）技术可在数字域添加伪随机信号破坏极限环

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原理介绍

线性模型的失效证据

证据 1：频谱偏差 OSR=128 时，线性模型预测 SQNR = 60 dB，仿真仅得 55 dB——5 dB 差距。

证据 2：SQNR 的剧烈波动 仿真显示 SQNR 是输入幅值和频率的”剧烈波动函数”，远非平滑曲线。

证据 3：带内噪声的输入依赖性 直流输入下，带内噪声功率在特定输入值（如 $u=\pm 1,0$）附近出现尖锐峰值（见图 2.33）。

Candy & Benjamin 的分析表明：中心噪声峰高度为 $20\log (2OSR/\pi )$ dB，宽度为 $OS{R}^{-1}$。Friedman 进一步揭示：主峰两侧存在嵌套的递归子峰结构。

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MOD1 的直流激励分析（§2.6）

非线性差分方程

MOD1 由单个一阶非线性差分方程完全描述：

$$\eta [n]=u[n-1]+(\eta [n-1]-\text{sign}(\eta [n-1]))$$

其中 $\eta [n]$ 为积分器状态，$v[n]=\text{sign}(\eta [n])$。

Idle Tone 生成（§2.6.1）

当直流输入 $u$ 为有理数 $a/b$ 时，MOD1 的输出呈现周期性：

输入 $u$	$u$ 形式	周期	输出模式
$1/2$	$a/b$，$a,b$ 为奇数	4	$1,1,-1,1$
$1/100$	$a/b$，$a+b$ 为奇数	200	交替 101 个 $1$ + 99 个 $-1$
无理数 $(\sqrt{2}/2)$	无理数	∞	非周期

定量举例：$u=1/2$ 时，$\eta$ 序列为 $\{0.1,0.4,-1.1,0.6,0.1,\dots \}$（周期 4），输出均值为 $(1+1-1+1)/4=1/2=u$。

Idle Tone 的频率由周期 $b$ 决定：基频为 $f_s/b$，其 $b$ 个谐波分布在 $[0,f_s)$。当 $b$ 较大（如 $b=200$）时，部分谐波落入通带，导致 SNR 退化。

空闲音问题的重要性

• 音频应用：人耳可检测到比白噪声低 20 dB 的纯音——idle tones 完全不可接受
• 缓解方法：
  1. 使用高阶调制器（MOD2 的空闲音比 MOD1 少得多）
  2. 添加 dither（伪随机噪声，破坏极限环条件）
  3. 使用多 bit 量化器

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稳定性分析（§2.6.2）

对单 bit MOD1：

• 充分稳定条件：$|u|\le 1$ 且 $|\eta [0]|\le 2$
• 不稳定条件：$|u|>1$ ⇒ 积分器状态发散，环路功能丧失

证明： 由 $\eta [n]=u[n-1]+(\eta [n-1]-\text{sign}(\eta [n-1]))$：

若 $|\eta [0]|\le 2$ 且 $|u|\le 1$：

• 当 $\eta [n-1]>0$：$\text{sign}(\eta [n-1])=1$，$\eta [n]=u+(\eta [n-1]-1)\le 1+(2-1)=2$
• 当 $\eta [n-1]<0$：$\text{sign}(\eta [n-1])=-1$，$\eta [n]=u+(\eta [n-1]+1)\ge -1+(-2+1)=-2$

因此 $|\eta [n]|\le 2$ 对所有 $n$ 成立，系统稳定。

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Dead-Zone（死区）分析（§2.6.3）

理想积分器的情况

$u=0$ 时，MOD1 的输出为 $\{1,-1,1,-1,\dots \}=\cos (\pi n)$（基频为 $f_s/2$ 的方波）。在积分器输出端添加偏移 $\delta$，只要 $|\delta |<0.5$，$v[n]=\text{sign}(\eta [n])$ 不变——回路”无视”小偏移。

有损积分器的情况

有限增益 $A$ 的积分器传递函数：$L_0(z)=p{z}^{-1}/(1-p{z}^{-1})$，$p=A/(1+A)$。

积分器输出端偏移 $\delta$ 等效到输入端为 $\delta \cdot (1-p)/p=\delta /A$。

当 $|u|<1/(2A)$ 时，调制器输出 $\bar{v}=0$——输入信号完全丢失。

数值举例：$A=1000$，$V_{ref}=1$ V ⇒ $u<0.5$ mV 时输出为 0。

死区的扩展影响

• 除 $u=0$ 外，所有有理数 $u$ 附近均存在窄死区
• 有损积分器使 MOD1 的极限环从非吸引变为吸引（稳定）——这是一个有害效应（极限环一旦建立便不会消失）

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关键洞察

1. 线性模型对 MOD1 仅能提供一阶近似：实际 SQNR 可能与预测相差 5+ dB
2. Idle Tones 是最严重的非线性问题：纯音可能完全破坏音频系统的 SNR
3. 单 bit MOD1 的稳定性是可证明的：这是低阶调制器的独特优势，高阶调制器（Ch.4）的稳定性分析复杂得多
4. 有限增益导致死区：虽然噪声整形影响很小（$A\gg OSR$ 时 +1.2 dB），但死区效应更严重
5. MOD1 的非线性推动技术演进：正是因为这些缺陷，二阶（Ch.3）和更高阶（Ch.4）调制器成为必要

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📙 Rosa 补充（Ch.1 Noise Pattern 分析与多位量化器消除 Tone）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.1 对 MOD1 非线性行为增加了可视化分析工具。

Noise Pattern 可视化（Fig.1.17）

Rosa 绘制了 1-bit 一阶 ΣΔM 在 OSR=64 时的 noise pattern：带内量化误差功率 vs DC 输入幅度。

• 输入接近 0 时误差功率最低
• 输入接近 $\pm X_{FS}/2$ 时误差功率剧烈波动
• 量化器过载区（$|x|>X_{FS}/2$）：误差功率单调增长，调制器失效
• 曲线呈高度非线性——与线性白噪声模型预测的水平直线完全不同

多位量化器消除 Tone 的仿真证据（Fig.1.18）

Rosa 对比了同一一阶 ΣΔM 搭配 1-bit 与 5-bit 量化器的输出谱：

• 1-bit：底底含有大量离散谱线（idle tone），谱底不平坦
• 5-bit：量化噪声功率降低 ~24 dB，谱底几乎平坦，白噪声近似有效
• 设计启示：对于低阶调制器，增加量化器位数比增加环路阶数更安全

差异定位：Pavan Ch.2 对 MOD1 idle tone 的分析侧重死区效应和极限环的理论分析；Rosa 侧重可视化工具（noise pattern、谱对比）和多位量化器的工程解决方案。

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参考文献

1. J. C. Candy and O. J. Benjamin, “The structure of quantization noise from sigma-delta modulation,” IEEE Trans. Communications, vol. 29, no. 9, pp. 1316-1323, 1981.
2. V. Friedman, “The structure of the limit cycles in sigma delta modulation,” IEEE Trans. Communications, vol. 36, no. 8, pp. 972-979, 1988.
3. H. Inose, Y. Yasuda, and J. Murakami, “A telemetering system by code modulation-Δ modulation,” IRE Trans. Space Electronics and Telemetry, vol. SET-8, pp. 204-209, 1962.