带通ΔΣ调制器

将低通 ΔΣ 调制的噪声整形能力从 dc 附近搬移到任意中频 $f_0$ 附近，使 IF/RF 信号的直接数字化成为可能。

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前后关系

上下文：§1.7 在讨论完全部低通（LP）ΔΣ 调制器变体后，引入带通版本。低通 ΔΣ 调制器的 NTF 在 dc 附近有零点，而带通版本将零点搬移到 $f_0$ 附近。

后续章节：

• Ch.11 详细讨论带通 ΔΣ 调制器的设计方法、性能限制、电路实现

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原理介绍

何时需要带通？

• 信号能量集中在窄带内，带宽 $f_B\ll f_0$
• 例如：RF 接收机中 IF 信号（如 $f_0=10.7$ MHz 或 $f_0=140$ MHz）
• 低通 ΔΣ 调制的 NTF 高通向低频抑制，不适合

频率变换

从低通 NTF 获得带通 NTF 的最简单方法：z 域映射

例：$z\to -z^2$ 变换

• $z=1$（dc）$\to$ $z=j$（$f_s/4$）
• $(1-z^{-1})$（低通 NTF）$\to$ $(1+z^{-2})$（带通 NTF）

效果：

• 低通 NTFs 在 dc 处的零点 $\to$ 带通 NTF 在 $f_s/4$ 处的零点
• 低通阶数 $L$ $\to$ 带通阶数 $2L$
• 带通 NTF 在 $f_s/4$ 附近形成带阻特性

更一般的映射：$z\to -z^m$ 可将零点搬移到 $f_s/(2m)$ 的倍数处。

频谱对比

低通 ΔΣ 输出频谱：
|PSD|
    \    ****  (整形噪声)
     \  *
      \*  _____________
       |  信号带宽    |→ f
       dc            f_B

带通 ΔΣ 输出频谱（中心 $f_0 = f_s/4$）：
|PSD|
                    **** (整形噪声)
                   *
      _____________*_______
     |  信号带宽    |  
     |→ f
    f_0-f_B    f_0    f_0+f_B

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极零点分析

低通 NTF 的零点集中在 $z=1$（dc）附近，极点分布在低频区保证稳定性。

经过 $z\to -z^2$ 变换：

• 零点从 $z\approx 1$ $\to$ $z\approx j$（$f_s/4$）
• 极点从低频区 $\to$ $f_s/4$ 附近

如图 1.21 所示：

• 低通 NTF：零点在单位圆上 $z=1$，极点在单位圆内 $z\to 1$ 方向
• 带通 NTF：零点在 $z=\pm j$，极点在对应的 $j\omega$ 轴附近

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设计考虑

优点

• 对 IF 信号直接数字化（无需下变频到基带）
• 避免模拟下混频器的 I/Q 失配问题
• 可灵活频率规划

挑战

• 功耗通常高于同精度低通 ΔΣ
• 需要高 Q 值谐振器（RC 有源滤波器或 LC 谐振器）
• 对时钟抖动更敏感（高频信号）

典型应用架构

架构	中心频率	带宽	应用
1 阶 BP-ΔΣ ($z^2$)	$f_s/4$	窄	IF 采样
高阶 BP-ΔΣ ($z\to -z^m$)	可调	中-宽	RF 直接采样
复数 BP-ΔΣ	基带 I/Q	宽	零中频接收机

与传统方法的比较

接收机方案	模拟复杂度	数字处理	I/Q 失配	灵活性
传统超外差	高（混频器+滤波器）	低	无	低
零中频	中（混频器）	中	有	中
BP-ΔΣ 直接采样	低（仅 LNA+滤波器）	高	无	高

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §1.7 & Ch.11. IEEE Press/Wiley.
2. Schreier, R., & Snelgrove, M. (1989). “Bandpass Sigma-Delta Modulation.” Electronics Letters, 25(23), 1560-1561.
3. van der Zwan, E. J., et al. (1997). “A 10.7-MHz IF-to-Baseband ΔΣ A/D Conversion System for AM/FM Radio Receivers.” IEEE JSSC, 32(12), 1918-1924.

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相关页面

• CT-ΔΣ调制
• 高阶ΔΣ调制器与NTF
• ΔΣ调制器发展史
• Pavan ΔΣ 数据转换器 Ch.1 深度解析
• Rosa Sigma-Delta Converters Practical Design Guide 深度解析

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📙 Rosa 补充（Ch.2 LP-BP 变换、优化 NTF 与 TI/多相 BP）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.2 对带通 ΣΔM 增加了多种实用设计方法。

LP-BP 变换系统化方法（§2.5.1）

Rosa 系统化了低通到带通的变换方法：

• 基本变换 $z\to -z^2$：将 dc 零点移到 $f_s/4$
• 一般变换 $z\to e^{j\theta }z$：将零点移到任意频率 $f_0=\theta f_s/(2\pi )$
• 对实数 BP 调制器：零点成对出现于 $\pm f_0$
• 变换后环路滤波器阶数加倍（$L\to 2L$）

优化 BP-NTF 设计

Rosa 指出 BP 调制器的 NTF 零点应在信号带内优化分布：

• 与 LP 类似，BP 的零点不应全在 $f_0$，而应在 $[f_0-f_B/2,f_0+f_B/2]$ 内均匀分布
• 优化零点分布可额外降低带内噪声 3–10 dB（依赖于带宽和阶数）
• 实现：用谐振器（resonator）代替纯积分器，每个谐振器控制一对零点

时间交织（TI）与多相 BP-ΣΔM（§2.5.3）

Rosa 介绍了宽带带通的时间交织技术：

• $M$ 个 BP-ΣΔM 并行，每个以 $f_s/M$ 采样，相位偏移 $2\pi /M$
• 有效采样率提高 $M$ 倍，覆盖更宽带宽
• 通道间失配（失调/增益/时序）需校正或整形
• 多相实现：将 BP NTF 分解为多相分量，每个子调制器以更低速率运行

复数 BP-ΣΔM（Complex BP）

Rosa 简述了复数（正交）BP-ΣΔM：

• 处理复数信号 $I+jQ$，NTF 零点仅出现在正频率侧
• 避免实数 BP 的镜像频率干扰
• 适用于零中频接收机中的 I/Q 直接数字化

差异定位：Pavan Ch.11 侧重 BP-ΔΣ 的电路实现挑战（高 Q 谐振器）；Rosa 增加了 优化 NTF 零点分布、TI/多相架构和 复数 BP 调制器。