ΔΣ环路状态空间描述

ΔΣ 环路的状态空间描述

§4.8 为 ΔΣ 调制器提供了一种系统化的数学描述——状态空间模型。通过 $A,B,C,D$ 矩阵完整描述调制器的所有内部状态和输出，为计算机仿真（特别是 $\Delta \Sigma$ Toolbox）提供了统一的框架。本章以 MOD2 为例展示状态空间方法，但该框架适用于任意阶数和拓扑的离散时间 ΔΣ 调制器。

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前后关系

上下文：二阶ΔΣ调制器MOD2原理 以传递函数 $V(z)=z^{-1}U(z)+(1-z^{-1}{)}^{2}E(z)$ 分析 MOD2。CIFB与CRFB反馈环路滤波器拓扑 和 CIFF与CRFF前馈环路滤波器拓扑 以传递函数 $L_0(z),L_1(z)$ 描述高阶结构。状态空间模型是这些传递函数描述的时域等价形式，更适合计算机实现。

后续延伸：状态空间模型是 $\Delta \Sigma$ Toolbox（附录 B）的核心数据结构——NTF 设计、仿真、综合都在 ABCD 矩阵框架下进行。Ch.7（DT 电路实现）用状态变量确定动态范围缩放的缩放因子。Ch.8-10（CT-ΔΣ调制）的 CT 调制器仿真也通过离散化后的状态空间模型实现。

交叉引用：MOD2仿真与有效量化器增益 中使用的时域仿真本质上是通过状态空间方程迭代进行的。

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原理介绍

从传递函数到状态方程

以 MOD2 为例（图 4.32），每个延迟积分器中的延迟单元对应一个状态变量：

• $x_1$：第一级积分器延迟量
• $x_2$：第二级积分器延迟量

从电路图可直接列出：

$$x_1[n+1]=x_1[n]+b_{1}u[n]-a_{1}v[n]$$ $$x_2[n+1]=x_1[n]+x_2[n]+b_{2}u[n]-a_{2}v[n]$$ $$y[n]=x_2[n]+b_{3}u[n]$$

矩阵形式

$$\boxed{\mathbf{x}[n+1]=A\mathbf{x}[n]+B\left[\begin{array}{c}u[n]\\ v[n]\end{array}\right]}$$ $$\boxed{y[n]=C\mathbf{x}[n]+D\left[\begin{array}{c}u[n]\\ v[n]\end{array}\right]}$$

对 MOD2：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}{b}_1& -a_1\\ b_2& -a_2\end{array}\right]$$ $$C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}{b}_3& 0\end{array}\right]$$

“无延迟自由环路”的时空域等价

$D$ 矩阵的第二列为 0，即 $y[n]$ 不依赖于 $v[n]$（当前量化器输出）。这是因为环路滤波器的输出不能”跳过”延迟单元直接依赖量化器输出——这正是 “NTF($\infty$)=1” 在时空域的表达。

一般情况

对 $n$ 阶调制器：

• $A$：$n\times n$ 矩阵——状态转移
• $B$：$n\times 2$ 矩阵——输入 $u[n]$ 和量化器输出 $v[n]$ 对状态的贡献
• $C$：$1\times n$ 矩阵——从状态到量化器输入的映射
• $D$：$1\times 2$ 矩阵——直接路径（$D_{[1,2]}=0$ 强制要求）

ABCD 紧凑表示：$(n+1)\times (n+2)$ 矩阵

$$\boxed{ABCD=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}$$

仿真流程

给定初始状态 x[0] 和输入 u[n] (n=0,1,2,...)
对每个 n:
  y[n] = C·x[n] + D·[u[n], v[n]]^T    ← 计算量化器输入
  v[n] = quantize(y[n])                 ← 量化
  x[n+1] = A·x[n] + B·[u[n], v[n]]^T   ← 更新状态

与传递函数方法的等价性：对 MOD2 的状态方程做 z 变换并求解 $V(z)/U(z)$ 和 $V(z)/E(z)$，可得与传递函数法完全相同的 $STF(z)=z^{-1}$ 和 $NTF(z)=(1-z^{-1}{)}^2$。

状态空间模型的优势

方面	传递函数法	状态空间法
仿真实现	需推导 $v[n]$ 的时域表达式	直接的矩阵迭代
拓扑通用性	每种拓扑需单独推导	ABCD 矩阵统一所有拓扑
内部状态可见	隐含	显式（$x_1,x_2,\dots$）
动态范围缩放	系数修正	直接矩阵变换
MASH 建模	复杂	各级的 ABCD 矩阵组合
工具支持	手动	$\Delta \Sigma$ Toolbox 原生支持

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关键洞察

1. ABCD 矩阵是 $\Delta \Sigma$ Toolbox 的语言——所有 NTF 综合、仿真、优化都基于此框架。附录 B 的 Toolbox 的 simulateDSM() 等函数的核心就是 ABCD 矩阵迭代
2. 状态变量直接对应积分器的延迟单元——从电路图到状态方程的映射是直观的（延迟单元 ⇒ 状态变量）
3. $D_{[1,2]}=0$ 是最重要的约束——它确保环路物理可实现，等价于 $NTF(\infty )=1$
4. 高阶调制器的 A 矩阵通常是上三角（前馈）或下三角（反馈）结构——反映了积分器级联的方向性
5. MASH 和多量化器结构的 ABCD 矩阵是各子级矩阵的级联组合——统一了单环和级联结构的分析方法

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参考文献

1. S. Pavan, R. Schreier, and G. C. Temes, Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §4.8. IEEE Press/Wiley, 2017.
2. B. C. Kuo, Digital Control Systems. Holt, Rinehart and Winston, 1980.
3. S. R. Norsworthy, R. Schreier, and G. Temes, Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design, and Simulation. IEEE Press, New York, 1997. （附录 B：$\Delta \Sigma$ Toolbox）
4. R. Schreier, “The delta-sigma toolbox for MATLAB,” 2004. Online: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/19-delta-sigma-toolbox

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相关页面

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