MASH级联ΔΣ调制器原理

MASH（Multi-stAge noise-SHaping）将第二级从 Leslie-Singh 的静态 ADC 升级为 ΔΣ 环路，使第二级的量化误差 $E_2$ 也得到噪声整形。2-2 MASH 实现”二阶稳定性 + 四阶整形”的理想组合。

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前后关系

上下文：§5.1 Leslie-Singh 结构展示了”取消”策略的有效性，但第二级是静态 ADC，$E_2$ 未经整形。§5.2 将这一思想推至极致——第二级也用 ΔΣ 环路，使 $E_2$ 也获得整形。

前置知识：

• 多级ΔΣ调制器与Leslie-Singh结构：L0 级联的基本”取消”架构
• 二阶ΔΣ调制器MOD2原理：2-2 MASH 中第二级的构建模块
• 高阶ΔΣ调制器稳定性与MSA：MASH 试图绕过的单环路稳定性问题

后续章节：

• MASH噪声泄漏与失配效应：揭示取消条件的实际脆弱性
• Sturdy-MASH鲁棒级联架构：以鲁棒性换取精度的改进方案

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原理介绍

两阶 MASH 结构

图 5.3 所示的两阶 MASH 中，两级均为 ΔΣ 调制器：

u --> [Stage 1 (ΔΣ)] -- v1 --> H1(z)=STF2(z) --->(+)
        |                                       ^
        |-- (提取 e1) --> [Stage 2 (ΔΣ)] -- v2 --> H2(z)=NTF1(z) --->(+)
                                                          [数字输出 V]

第一级输出（$z$ 域）：

$$V_1(z)=ST{F}_1(z)U(z)+NT{F}_1(z)E_1(z)(5.6)$$

第二级输出（将 $e_1$ 作为输入）：

$$V_2(z)=ST{F}_2(z)E_1(z)+NT{F}_2(z)E_2(z)(5.7)$$

取消条件

数字滤波器 $H_1$, $H_2$ 需满足 $E_1$ 取消条件：

$$H_1\cdot NT{F}_1-H_2\cdot ST{F}_2=0(5.8)$$

最简单选择：

$$H_1=ST{F}_2,H_2=NT{F}_1$$

其中 $ST{F}_2$ 通常只是纯延迟，$H_1$ 容易实现。

总输出：

$$V=H_1{V}_1+H_2{V}_2=ST{F}_1\cdot ST{F}_2\cdot U+NT{F}_1\cdot NT{F}_2\cdot E_2(5.9)$$

2-2 MASH 示例

两级均为二阶调制器：

• $ST{F}_1(z)=ST{F}_2(z)=z^{-2}$
• $NT{F}_1(z)=NT{F}_2(z)=(1-z^{-1}{)}^2$

总输出：

$$V(z)=z^{-4}U(z)+(1-z^{-1}{)}^4{E}_2(z)(5.12)$$

意义：

• NTF 阶数：4（四阶整形！）
• 稳定性行为：2（两级各自稳定）
• 噪声整形效果 ∝ $1/{\text{OSR}}^9$
• 实现了”二阶的稳定性 + 四阶的整形”

若取消条件不精确满足（$NT{F}_{1a}\ne NT{F}_1$ 或 $ST{F}_{2a}\ne ST{F}_2$），$E_1$ 泄漏到输出，效果严重退化（见 MASH噪声泄漏与失配效应）。

级间缩放

$e_1$ 馈入第二级前需缩放以适配第二级的稳定输入范围：

• 一阶单 bit 首级：缩放因子通常为 $1/4$
• 多 bit 首级：缩放因子可大于 1
• $H_2$ 中需包含缩放的倒数 $1/\alpha$ 以确保取消

三阶 MASH 扩展

三阶 MASH（图 5.5）在第二级后再加一级来取消 $e_2$：

u --> [Stage 1] -- v1 --> H1 --> (+)
        |                     ^
        |-- e1 --> [Stage 2] -- v2 --> H2 --> (+)
                      |                    ^
                      |-- e2 --> [Stage 3] -- v3 --> H3 --> (+)
                                                      [数字输出 V]

取消条件：

$$\{\begin{array}{l}{H}_1\cdot NT{F}_1-H_2\cdot ST{F}_2=0\\ H_2\cdot NT{F}_2-H_3\cdot ST{F}_3=0\end{array}(5.13)$$

总输出：

$$V=ST{F}_1\cdot H_1\cdot U+H_1\cdot \frac{NT{F}_1\cdot NT{F}_2\cdot NT{F}_3}{ST{F}_2\cdot ST{F}_3}\cdot E_3(5.15)$$

3-3 MASH：三级均为二阶 → 总 NTF 等效 6 阶，稳定性由各低阶级分别保证。

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MASH 的关键优势

1. 第二级多 bit 量化无需 DAC 校正

第二级 DAC 非线性误差经 $H_2(z)=NT{F}_1(z)$ 滤波——$NT{F}_1$ 是高通函数，带内 DAC 非线性被抑制。且第二级输入为 $e_1$（噪声而非信号），不产生谐波失真。

2. 减少 tone 和杂散

第二级的输入 $e_1$ 本身就是类噪声，使 $e_2$ 接近真正白噪声。即使首级包含 tone（如 $f_s/1000$ 附近的 3 次谐波），在图 5.4 的仿真中，V 的输出中该谐波从 -64 dBc 降至 -101 dBc，减少约 37 dB。

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MASH vs 单环路高阶

特性	单环路高阶	MASH
NTF 阶数	$L$（受限稳定性）	$L_1+L_2+\cdots$
稳定性	需精心设计 NTF 峰值（$\Vert NTF{\Vert }_{\infty }<1.5$）	各级分别稳定即可
对模拟精度	较不敏感	极敏感（取消条件）
带外 NTF 峰值	受 Lee 准则约束	可较高
输入摆幅	受 MSA 严格限制	相对宽松
设计复杂度	中等	高（数字滤波器 + 级间缩放）

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §5.2. IEEE Press/Wiley.
2. Hayashi, T., et al. (1986). “A Multistage Delta-Sigma Modulator without Double Integration Loop.” ISSCC Digest, 182-183. （首个 MASH 提案）
3. Matsuya, Y., et al. (1987). “A 16-bit Oversampling A-to-D Conversion Technology Using Triple-Integration Noise Shaping.” IEEE JSSC, 22(6), 921-929.
4. Candy, J. C., & Huynh, A.-N. (1986). “Double Interpolation for Digital-to-Analog Conversion.” IEEE Trans. Commun., 34(1), 77-81.

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相关页面

• 多级ΔΣ调制器与Leslie-Singh结构
• MASH噪声泄漏与失配效应
• Sturdy-MASH鲁棒级联架构
• 高阶ΔΣ调制器与NTF
• 二阶ΔΣ调制器MOD2原理
• Pavan ΔΣ 数据转换器 Ch.5 深度解析
• Rosa Sigma-Delta Converters Practical Design Guide 深度解析

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📙 Rosa 补充（Ch.2 MASH/SMASH 架构与级联设计）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.2 对 MASH 级联架构增加了 SMASH 和双量化级联。

SMASH（Sturdy MASH）架构（§2.3.2）

Rosa 详述了 SMASH 架构作为传统 MASH 的鲁棒替代：

• 传统 MASH 的数字取消逻辑 $\text{DCL}(z)=H_1(z)/H_2(z)$ 对模拟 NTF/STF 失配敏感
• SMASH 用噪声整形替代精确取消：第二级的量化误差被第一级的 NTF 整形而非直接消除
• 数字取消逻辑简化为纯延迟，消除模拟-数字失配问题
• 代价：总 NTF 阶数略低于传统 MASH

双量化级联（Dual Quantization）（§2.3.3）

Rosa 介绍了级联中前馈/反馈路径使用不同位数量化器的技术：

• 第一级用粗量化（1–2 bit）保证稳定性
• 第二级用细量化（4–5 bit）提高精度
• 级间缩放需匹配各级的动态范围

MASH vs 单 loop 的工程决策指南

考虑因素	选 MASH	选单 loop
需要高阶整形 + 稳定性	✓	困难
模拟精度有限（电容失配）	不推荐	✓
多 bit 反馈 DAC 线性度不足	✓（第二级免校正）	需 DEM
数字面积成本高	不推荐	✓
宽带宽低 OSR	✓	困难

差异定位：Pavan Ch.5 侧重 MASH 取消条件的严格推导和噪声泄漏分析；Rosa 增加了 SMASH 鲁棒架构、双量化级联和 MASH vs 单 loop 工程决策指南。