MOD2 仿真与有效量化器增益

§3.1 的核心发现：MOD2 的仿真结果与白噪声线性模型基本吻合（OSR=128 时 92 dB vs 94 dB），但存在两个重要偏差——① 谐波失真（白噪声模型无法预测）；② 实测 PSD 拐角频率与 $k=1$ 的理论曲线不符。根源是量化器增益 $k$ 不等于 1，引入有效 NTF 概念后理论与仿真高度一致。

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前后关系

上下文：二阶ΔΣ调制器MOD2原理从线性模型推导了 MOD2 的理想性能（$k=1$ 假设下的 IBN 和 SQNR 公式）。§3.1 通过仿真验证这些预测并揭示偏差。

后续章节：

• MOD2非线性效应与谐波失真（§3.2）进一步引入 QTC 模型定量分析谐波
• MOD2稳定性与死区分析（§3.3）考察有限积分器增益和稳定性
• 广义二阶结构与最优NTF设计（§3.5）从 NTF 零点优化设计角度改善实际性能

交叉引用：

• 量化器理论与线性模型（Ch.2.2）建立了最佳增益 $k$ 的概念
• MOD1非线性行为与空闲音（Ch.2.5-2.6）展示了 MOD1 线性模型失效的类比案例
• 高阶ΔΣ调制器与NTF（Ch.4）将此分析推广到 L 阶

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原理介绍

仿真结果概览

使用双电平量化器的 MOD2 在 OSR=128、-6 dBFS 正弦输入下的输出频谱（图 3.8）显示：

1. 二阶噪声整形确认：PSD 在低频处以 40 dB/dec 斜率下降
2. SQNR 实测：86 dB @ -6 dBFS 输入，外推峰值约 92 dB（理论值 94 dB，偏差 < 2 dB）
3. 谐波失真：二次谐波 -88 dBFS，三次谐波 -90 dBFS——白噪声模型无法产生谐波
4. PSD 拐角频率偏移：理论 PSD 曲线（$k=1$ 假设）的拐角高于实测

现象 1：PSD 拐角偏移——量化器增益 $k\ne 1$

理论 NTF 假设量化器增益 $k=1$。从仿真数据中利用正交性原理（§2.2.1）提取有效增益：

$$k=\frac{⟨\nu ,\upsilon ⟩}{⟨\upsilon ,\upsilon ⟩}$$

对图 3.8 的仿真条件，$k=0.63$。

有效 NTF 推导

当量化器增益为 $k$ 时，NTF 不再是 $(1-z^{-1}{)}^2$。设 $L_1(z)$ 为从量化器输出回输入的开环传递函数：

$k=1$ 时的 NTF：

$$NT{F}_1(z)=\frac{1}{1+L_1(z)}$$

一般 $k$ 时的 NTF（图 3.11 模型，误差在增益后注入）：

$$NT{F}_k(z)=\frac{1}{1+k{L}_1(z)}$$

两者关系：

$$\boxed{NT{F}_k(z)=\frac{NT{F}_1(z)}{k+(1-k)NT{F}_1(z)}}$$

MOD2 的具体有效 NTF

对 MOD2，$L_1(z)=\frac{2z^{-1}-z^{-2}}{(1-z^{-1}{)}^2}$，$NT{F}_1(z)=(1-z^{-1}{)}^2$。

当 $k=0.63$ 时：

$$NT{F}_{0.63}(z)=\frac{(1-z^{-1}{)}^2}{0.63+0.37(1-z^{-1}{)}^2}=\frac{(1-z^{-1}{)}^2}{1-0.74z^{-1}+0.37z^{-2}}$$

NTF 的零极点分布变化：

• 零点仍为 $z=1$（二阶）
• 极点从 $z=0$（$k=1$ 时 $NT{F}_1$ 无非零极点）移动到单位圆内非零位置
• 带内 NTF 增益增加约 2.5 dB
• 这意味着实际 IBN 比预测高 2.5 dB

如图 3.9 所示，采用 $k=0.63$ 的有效 NTF 后，理论 PSD 与仿真 PSD 高度吻合。

现象 2：谐波失真

白噪声模型无法产生谐波——这表明量化器的非线性本质在 MOD2 中产生了可观测的谐波分量。§3.2 将引入 QTC（量化器传输特性）模型来定量解释。

现象 3：小信号行为

当输入幅度减小到 -12 dBFS 以下时，有效量化器增益变为 $k\approx 0.75$。这意味着有效 NTF 随信号幅度变化——即 NTF 是信号依赖的。

SQNR vs 输入幅度（图 3.10）

仿真的 SQNR-幅度曲线特征：

• 中等幅度范围（-60 dBFS 到 -5 dBFS）：仿真与理论基本吻合
• 小信号区域（< -60 dBFS）：实测 SQNR 低于理论，0 dB SQNR 所需输入大于预期
• 大信号饱和（≈ -5 dBFS 以上）：SQNR 迅速饱和后急剧下降
• 低频 vs 高频输入：低频满幅输入对 MOD2 最为不利（状态长时间维持在较大值）

与 MOD1 的图 2.32 对比：MOD2 的 SQNR 曲线显著更”规矩”，唯大信号饱和类似。

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数学推导

有效 NTF 公式详细推导

从图 3.11 的反馈模型出发。设 $\nu$ 为量化器输入，$\upsilon$ 为量化器输出：

$$\upsilon =k\nu +e$$

其中 $e$ 为加性量化噪声，$k$ 为最佳增益。

环路方程：

$$V(z)=STF(z)U(z)+NT{F}_k(z)E(z)$$ $$NT{F}_k(z)=\frac{1}{1+k{L}_1(z)}$$ $$\because NT{F}_1(z)=\frac{1}{1+L_1(z)}\Rightarrow L_1(z)=\frac{1}{NT{F}_1(z)}-1$$

代入：

$$NT{F}_k(z)=\frac{1}{1+k[1/NT{F}_1(z)-1]}=\frac{NT{F}_1(z)}{k+(1-k)NT{F}_1(z)}$$

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关键洞察

1. $k\ne 1$ 是 MOD2 线性模型与仿真差异的首要原因：仿真提取 $k=0.63$（大信号）或 $k=0.75$（小信号）
2. 有效 NTF 公式是联系线性模型和仿真的桥梁：使用 $NT{F}_k(z)$ 后理论与实测 PSD 高度吻合
3. NTF 是信号依赖的：量化器增益随输入幅度变化 ⇒ NTF 随之变化 ⇒ SQNR 曲线偏离理论
4. 谐波失真表明量化器非线性不可忽略：即使 MOD2 远优于 MOD1，白噪声模型仍不完美
5. 有效增益 $k$ 的仿真提取是 ΔΣ 设计的标准实践：在 Ch.4 的高阶设计中更为关键

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参考文献

1. S. Pavan, R. Schreier, and G. C. Temes, Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §3.1. IEEE Press/Wiley, 2017.
2. B. E. Boser and B. Wooley, “The design of sigma-delta modulation analog-to-digital converters,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol. 23, no. 6, pp. 1298-1308, 1988.
3. R. M. Gray and D. L. Neuhoff, “Quantization,” IEEE Trans. Information Theory, vol. 44, no. 6, pp. 2325-2383, 1998. (量化器增益的正交性原理)

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