二阶ΔΣ调制器 MOD2 原理

Pavan 教材 Ch.3 的核心创新——用”以调制器取代量化器”的递归思路推导出 MOD2，实现 NTF $(1-z^{-1}{)}^2$，将 OSR 加倍对应的 SQNR 改善从 MOD1 的 1.5 bit 提升到 2.5 bit。MOD2 是 ΔΣ 数据转换器的黄金标准架构，在复杂度、性能和鲁棒性间取得最佳折中。

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前后关系

上下文：反馈噪声整形与MOD1深度分析（Ch.2）建立了 MOD1 的严格理论，揭示了 1.5 bit/倍频的噪声整形效率。过采样数字滤波降噪（§2.3）从纯过采样的 0.5 bit/倍频出发，说明了噪声整形的重要性。提高 SQNR 有两个途径——增加量化器电平和增强噪声整形阶数。Ch.3 采用后一种策略：将 MOD1 中的量化器替换为另一个 MOD1。

后续章节：

• MOD2仿真与有效量化器增益（§3.1）展示仿真结果与理论预测的偏差及原因
• MOD2非线性效应与谐波失真（§3.2）引入 QTC 模型解释谐波失真
• MOD2稳定性与死区分析（§3.3）分析状态界和有限增益效应
• MOD2替代架构（§3.4）介绍多种实用的 MOD2 实现
• 广义二阶结构与最优NTF设计（§3.5）推广到 NTF 零点优化

交叉引用：

• 一阶ΔΣ调制器——MOD1 的直观类比，MOD2 的构建基块
• 高阶ΔΣ调制器与NTF——从 MOD2 推广到 L 阶
• MASH ΔΣ调制器——利用 MOD2 作为基本构建块
• Ch.5（多级ΔΣ调制器与Leslie-Singh结构、MASH级联ΔΣ调制器原理、MASH噪声泄漏与失配效应、Sturdy-MASH鲁棒级联架构、噪声耦合ΔΣ架构、分裂与交叉耦合ΔΣ调制器）——MOD2 作为 MASH 基本构建块
• ΔΣ误差反馈结构——MOD2 的误差反馈实现

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原理介绍

”以调制器取代量化器”

替代量化器的基本思路如下。MOD1 的输出为：

$$Y_1(z)=z^{-1}U(z)+(1-z^{-1})E(z)$$

$Y_1(z)$ 可视为”带量化噪声 $E(z)$ 的量化器”的量化结果，其中量化噪声已被一阶整形。若将此 MOD1 的输出 $Y_1(z)$ 作为外环的输出 $V(z)$ 的组成部分，而 $E(z)$ 被进一步通过外环的 NTF $(1-z^{-1})$ 整形，则：

$$V(z)=Y_1(z)+(1-z^{-1})E(z)$$ $$=z^{-1}U(z)+(1-z^{-1})E(z)+(1-z^{-1})E(z)$$ $$=z^{-1}U(z)+(1-z^{-1}{)}^{2}E(z)$$

此即 MOD2 的核心方程。如图 3.1 所示的级联结构将延迟推入积分器后得到图 3.2 的标准 MOD2 结构。

MOD2 的传递函数

$$\boxed{STF(z)=z^{-1},NTF(z)=(1-z^{-1}{)}^2}$$

• STF 与 MOD1 相同——一个单位采样延迟
• NTF 为二阶高通特性，dc 处二阶零点

NTF 幅频响应

$$|NTF(e^{j\omega }){|}^2=|1-e^{-j\omega }{|}^4=16{\sin }^4(\omega /2)$$

• dc 处（$\omega =0$）：$|NTF|=0$
• $f_s/2$ 处（$\omega =\pi$）：$|NTF|=4$（是 MOD1 的 2 倍）
• 低频近似（$\omega \ll 1$）：$|NTF|\approx {\omega }^2$
• 40 dB/dec 斜率的二阶高通特性

h[n] 冲激响应

$$h[n]=\{1,-2,1,0,0,\dots \}$$

验证 $h[0]=1$（必须满足因果反馈约束），${\sum }_{n=0}^{\infty }h[n]=0$（NTF 在 $z=1$ 有零点）。

带内噪声功率（IBN）推导

白噪声假设下，$S_e(\omega )={\Delta }^2/(12\pi )$（单边，归一化频率）：

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_q^2& =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi /OSR}{S}_e(\omega )\cdot |NTF(e^{j\omega }){|}^{2}d\omega \\ & =\frac{{\Delta }^2}{12\pi }{\int }_0^{\pi /OSR}16{\sin }^4(\omega /2)d\omega \\ & \approx \frac{{\Delta }^2}{12\pi }{\int }_0^{\pi /OSR}{\omega }^{4}d\omega (\text{小角近似 }\sin x\approx x)\\ & =\frac{{\Delta }^2}{12\pi }\cdot \frac{{\pi }^5}{5\cdot OS{R}^5}\\ & =\frac{{\Delta }^2}{12}\cdot \frac{{\pi }^4}{5}\cdot \frac{1}{OS{R}^5}\end{array}$$

MOD2 的 SQNR

对 $M$ 电平量化器（满摆幅正弦波）：

$$\begin{array}{rl}SQNR& =\frac{(\Delta M/2{)}^2/2}{{\sigma }_q^2}=\frac{{\Delta }^2{M}^2/8}{\frac{{\Delta }^2}{12}\cdot \frac{{\pi }^4}{5}\cdot \frac{1}{OS{R}^5}}\\ & =\frac{15M^{2}OS{R}^5}{2{\pi }^4}\end{array}$$

以 dB 表示（$M=1$ 对应 2 电平量化器）：

$$SQNR=10{\log }_{10}\left(\frac{15}{2{\pi }^4}\right)+20{\log }_{10}M+50{\log }_{10}OSR$$

OSR 加倍 → $50{\log }_{10}(2)\approx 15$ dB → 2.5 bit 分辨率提升（MOD1 为 9 dB/1.5 bit，纯过采样为 3 dB/0.5 bit）。

MOD2 与 MOD1 的定量对比

参数	MOD1	MOD2	单位
NTF	$1-z^{-1}$	$(1-z^{-1}{)}^2$	—
$	NTF	@ \omega=0$	0
$	NTF	@ f_s/2$	2
$	NTF	$ 低频近似	$\omega$
IBN ∝	$OS{R}^{-3}$	$OS{R}^{-5}$	—
每 OSR 加倍改善	9 dB (1.5 bit)	15 dB (2.5 bit)	—
$\sum h^2[n]$	2	6	—
总量化噪声	$2\cdot {\Delta }^2/12$	$6\cdot {\Delta }^2/12$	—

总量化噪声功率

全频段积分：

$${\sigma }_{\nu }^2=\frac{{\Delta }^2}{12}{\int }_0^{\pi }|NTF(e^{j\omega }){|}^2\frac{d\omega }{\pi }=\frac{{\Delta }^2}{12}\sum _{n=0}^{\infty }{h}^2[n]=6\cdot \frac{{\Delta }^2}{12}$$

• MOD2 的总噪声功率是 MOD1（$2\cdot {\Delta }^2/12$）的 3 倍
• 表明二阶整形将更多的噪声推向了带外高频区域
• 输出波形比 MOD1 显示出更多电平跳变

设计示例

以音频应用为例：$f_B=20$ kHz，OSR = 128。

• 时钟频率：$f_s=2\cdot OSR\cdot f_B=2\times 128\times 20=5.12$ MHz
• SQNR（2 电平）：$SQNR=94.2$ dB → 约 16 bit ENOB
• MOD1 实现相同分辨率需要 OSR ≈ 1800 → $f_s=72$ MHz（不必要的困难）
• 二阶到更高阶时，此差距进一步扩大（但稳定性开始成为制约因素）

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数学推导

从图 3.1 到图 3.2 的结构变换

图 3.1(a) 的级联结构包含两个单位延迟——一个在外环反馈路径，一个在内部 MOD1。将这些延迟推入（吸收到）积分器中，得到图 3.2 的标准 MOD2 结构：两个无损积分器级联（均无延迟），反馈直接从量化器输出连回两个积分器输入。

线性分析

设量化器增益为 $k=1$，两个积分器传递函数均为 $1/(1-z^{-1})$。由图 3.2：

$$\begin{array}{rl}V(z)& =\frac{1/(1-z^{-1}{)}^2}{1+[2/(1-z^{-1})+1/(1-z^{-1}{)}^2]}U(z)\\ & +\frac{1}{1+[2/(1-z^{-1})+1/(1-z^{-1}{)}^2]}E(z)\end{array}$$

简化得：

$$V(z)=z^{-1}U(z)+(1-z^{-1}{)}^{2}E(z)$$

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关键洞察

1. 递归替代思路是理解高阶 ΔΣ 的关键：将 MOD1 中的量化器替换为 MOD1 得到 MOD2，再替换得到 MOD3……此思路直观展现了噪声整形阶数的递推关系
2. MOD2 是 ΔΣ 设计的黄金标准：性能和复杂度的最佳折中，2.5 bit/倍频的效率使其在 OSR = 128 时即可达到 16 bit ENOB
3. $h[0]=1$ 约束始终成立：无论调制器阶数如何，因果反馈环路都要求 NTF 冲激响应的第一个样本为 1
4. 总噪声功率随阶数增加而增加：噪声不是被消除而是被”推出”带外，这解释了为什么 MOD2 的输出看起来”更嘈杂”
5. 二阶与一阶的差距巨大：同 OSR=128，MOD2 比 MOD1 多约 34 dB SQNR（5.7 bit）

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参考文献

1. S. Pavan, R. Schreier, and G. C. Temes, Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), Ch.3. IEEE Press/Wiley, 2017.
2. J. C. Candy, “A use of limit cycle oscillations to obtain robust analog-to-digital converters,” IEEE Trans. Communications, vol. 22, no. 3, pp. 298-305, 1974.
3. J. C. Candy and O. J. Benjamin, “The structure of quantization noise from sigma-delta modulation,” IEEE Trans. Communications, vol. 29, no. 9, pp. 1316-1323, 1981.

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相关页面

• 一阶ΔΣ调制器
• 反馈噪声整形与MOD1深度分析
• 高阶ΔΣ调制器与NTF
• MASH ΔΣ调制器
• Pavan ΔΣ 数据转换器 Ch.3 深度解析
• SCΔΣ调制器的高层设计与开关电容积分器 — §7.1-7.3 的 SCMOD2 正是 MOD2 的完整电路实现
• Rosa Sigma-Delta Converters Practical Design Guide 深度解析

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📙 Rosa 补充（Ch.2 二阶 ΣΔM 的替代表示与 Unity STF）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.2 对二阶 ΣΔM 增加了拓扑分类与特殊设计。

四种标准拓扑表示

Rosa 将二阶 ΣΔM 分类为四种标准拓扑（与 Pavan 的 CIFF/CIFB/CRFF/CRFB 命名一致）：

• CIFF（Cascade of Integrators, Feedforward）：前馈求和，信号不经过积分器
• CIFB（Cascade of Integrators, Feedback）：反馈求和，信号经每级积分器
• CRFF（Cascade of Resonators, Feedforward）：含谐振器前馈
• CRFB（Cascade of Resonators, Feedback）：含谐振器反馈

每种拓扑的 STF 和 NTF 不同，但均可表示为 $Y(z)=\text{STF}(z)X(z)+\text{NTF}(z)E(z)$。

Unity STF 二阶 ΣΔM（§2.1.2）

Rosa 详述了 Unity STF 设计：通过前馈路径使 $|\text{STF}(f)|=1$ 全频带。

• 优势：信号不经过环路滤波器，消除滤波器非线性对信号的影响
• 实现：输入直接加到量化器前端，环路滤波器仅处理量化误差
• 实际意义：在 SC 和 CT 实现中广泛用于降低前端积分器的摆幅和线性度要求

差异定位：Pavan Ch.3 侧重 MOD2 的 $k\ne 1$ 量化器增益效应；Rosa 侧重拓扑分类和 Unity STF 的工程实现优势。