MASH噪声泄漏与失配效应

核心问题：MASH 的”取消”操作要求模拟传递函数与数字滤波器精确匹配。实际中，电容失配和运放有限增益导致 $E_1$ 泄漏到输出——这是 MASH 架构的根本脆弱性。

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前后关系

上下文：§5.2 展示了 MASH 在理想条件下的完美性能（2-2 MASH 四阶整形），但前提是取消条件 $H_{1}NT{F}_1-H_{2}ST{F}_2=0$ 精确满足。§5.3 转向现实——模拟电路非理想性导致的噪声泄漏。

前置知识：

• MASH级联ΔΣ调制器原理：理想的 MASH 取消机制
• 量化器理论与线性模型：线性化分析的基础假设

后续章节：

• Sturdy-MASH鲁棒级联架构：以鲁棒性换取精度的改进方案——根本动机正是 MASH 的泄漏问题

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原理介绍

问题本质

单环路高阶调制器面对模拟非理想性（电容失配、运放有限增益）相当鲁棒：只要带内 $|L_1|\gg 1$，$NTF=1/(1+L_1)$ 几乎不受影响，SQNR 仅下降几 dB。

MASH 则不同——它的高 SQNR 依赖于 $E_1$ 的精确取消，而 $E_1$ 仅被低阶 NTF 整形。取消条件涉及模拟与数字混合信号传递函数的匹配，这是一个病态条件问题。

泄漏传递函数

考虑两阶 MASH 的实际传递函数 $NT{F}_{1a}$ 和 $ST{F}_{2a}$（下标 $a$ 表示实际值）：

$$H_{\text{leak},1}=H_1\cdot NT{F}_{1a}-H_2\cdot ST{F}_{2a}(5.16)$$

当 $H_{\text{leak},1}\ne 0$ 时，$E_1$ 泄漏到输出，乘以 $H_{\text{leak},1}$。

简化假设

1. $E_2$ 泄漏比 $E_1$ 泄漏次要：$H_{\text{leak},2}$ 中的项代表更高阶噪声整形（例如 2-2-1 MASH 中 $H_{\text{leak},2}$ 为 4 阶，$H_{\text{leak},1}$ 仅为 2 阶）
2. $NT{F}_1$ 的误差主导：$ST{F}_2$ 误差经 $H_2=NT{F}_1$ 滤波（高通），$NT{F}_1$ 误差经 $H_1$（带内近似单位增益）直通
3. 设 $ST{F}_2\approx H_1\approx 1$，则：

$$H_{\text{leak},1}\approx NT{F}_{1a}-NT{F}_{1i}(5.17)$$

4. 利用 $NTF=1/(1+L_1)$ 进一步简化：

$$H_{\text{leak},1}\approx \frac{1}{L_{1i}}-\frac{1}{L_{1a}}(5.18)$$

1-1 MASH 的泄漏定量分析

一阶首级使用延迟型 SC 积分器（图 5.6）：

$$I(z)=\frac{a{z}^{-1}}{1-z^{-1}}$$

电容比误差 $\Delta =\Delta C/C$ 和运放有限增益 $A$ 导致实际传递函数变为：

$$I_a(z)=\frac{\hat{a}{z}^{-1}}{1-\hat{p}{z}^{-1}}(5.20)$$

其中（$\Delta \ll 1$, $a/A\ll 1$）：

$$\hat{a}\approx a\left[1+\Delta -\frac{1-a}{A}\right](5.21)$$ $$\hat{p}\approx 1-\frac{a}{A}(5.22)$$

泄漏传递函数为（$L_1(z)=I(z)$）：

$$H_{\text{leak},1}(z)\approx \frac{z^{-1}}{a}\left[\frac{\hat{p}-p}{1-\hat{p}{z}^{-1}}\right]\approx \frac{1}{A}+(z^{-1}-1)\left(\frac{1}{aA}+\Delta \right)(5.23)$$

关键发现：

• 未滤波泄漏分量：$\approx E_1/A$（与运放增益成反比）
• 一阶滤波泄漏分量：$\approx (z^{-1}-1)\cdot (1/(aA)+\Delta )\cdot E_1$
• 高 SQNR 需要极高增益的运放（降低未滤波泄漏）和高精度电容匹配（降低滤波泄漏）

2-0 MASH（Leslie-Singh）泄漏分析

当首级为二阶低失真 CIFF 结构时，泄漏传递函数可围绕 $z=1$ 展开为泰勒级数：

$$H_{\text{leak},1}(z)=A_0+A_1(1-z^{-1})+A_2(1-z^{-1}{)}^2+\cdots (5.24)$$

系数值（假设 $A\gg 1$, $\Delta \ll 1$）：

$$A_0\approx \frac{1}{A^2},A_1\approx \frac{1}{a_1}\left[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\right]\frac{1}{A},A_2\approx \frac{1}{a_1{a}_2}\left[1+\frac{2\Delta }{a_2}\right](5.25)$$

其中 $a_1$, $a_2$ 为积分器系数。

物理意义：

• $A_0$（直通泄漏）：∝ $1/A^2$，极小
• $A_1$（一阶滤波泄漏）：∝ $1/A$，由运放增益主导
• $A_2$（二阶滤波泄漏）：由电容失配 $\Delta$ 主导

OSR 对泄漏的影响

$(1-z^{-1}{)}^k$ 项在带内的衰减因子随 OSR 快速增加：

• 线性项（$k=1$）：OSR=64 时衰减约 1/30
• 二次项（$k=2$）：OSR=64 时衰减约 1/1000
• 三次项（$k=3$）：OSR=64 时衰减约 1/30000

因此实践中仅前三项显著。

数值示例

对于 $A=1000$（60 dB）、$\Delta =0.5\%$：

• $A_0\approx 10^{-6}$（可忽略）
• $A_1$ 至 $A_4$ 在 0.001 到 0.2 范围
• 经 OSR 滤波后，一般可满足 16-bit 精度需求

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关键洞察

1. MASH 的根本脆弱性：取消是病态条件操作。单环路 $A=1000$ 时 SQNR 几乎不影响，MASH 中同样 $A=1000$ 导致可观的噪声泄漏
2. $NT{F}_1$ 误差主导泄漏：因为 $H_1$ 在带内为增益 1，$NT{F}_1$ 的误差直通到输出；而 $ST{F}_2$ 的误差经 $H_2=NT{F}_1$ 高通滤波
3. 二阶首级优于一阶首级：$A_0\propto 1/A^2$（二阶首级）vs $1/A$（一阶首级），这是因为二阶环路中环路增益更高
4. OSR 是天然的保护：泄漏项中的 $(1-z^{-1}{)}^k$ 因子在带内提供显著的衰减，高 OSR 设计对 MASH 更友好

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §5.3. IEEE Press/Wiley.
2. Kiss, P., et al. (2000). “Adaptive Digital Correction of Analog Errors in MASH ADCs.” IEEE Trans. Circuits Syst. II, 47(7), 629-638.

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