高阶ΔΣ调制器稳定性与MSA

高阶 ΔΣ 调制器的信号依赖稳定性与 MSA 估计

Ch.4 的核心主题之一：高阶 NTF $(1-z^{-1}{)}^L$ 虽然理论上可实现任意高的 SQNR，但实际中因稳定性限制而远非如此。量化的过载使有效增益降低，导致环路失稳。信号依赖的稳定性 是 ΔΣ 调制器设计最根本的矛盾——更激进的噪声整形必然以更小的稳定输入范围为代价。

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前后关系

上下文：反馈噪声整形与MOD1深度分析（Ch.2）和 MOD2稳定性与死区分析（Ch.3）分别分析了 MOD1 和 MOD2 的稳定性条件。Ch.4 将此问题推广到任意阶调制器，揭示稳定性问题的本质是量化器过载而非量化过程本身——即使使用无限电平量化器，高阶环路也不会失稳。

引用的关键概念：

• 量化器理论与线性模型——有效增益 $k$ 和过载模型
• MOD2仿真与有效量化器增益——$k\ne 1$ 的有效 NTF 公式
• He in & Zakhor (1993) 的 MOD2 状态界

后续延伸：

• 高阶ΔΣ调制器NTF系统化设计——如何通过极点移动改善 MSA
• 高阶NTF零点优化与Bode积分——Bode 积分从理论上解释了”带内好 ⇒ 带外差”的必然性
• MASH ΔΣ调制器——级联结构回避稳定性问题的另一条路径

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原理介绍

通用调制器模型

图 4.1(b) 的通用模型包含两个环路滤波器：

$$Y(z)=L_0(z)U(z)+L_1(z)V(z)$$ $$V(z)=Y(z)+E(z)$$

由此推导出：

$$\boxed{STF(z)=\frac{L_0(z)}{1-L_1(z)},NTF(z)=\frac{1}{1-L_1(z)}}$$

关键物理约束（无延迟自由环路）：$NTF(z\to \infty )=1$，等价于 $L_1(z\to \infty )=0$，即 $L_1(z)$ 的冲激响应第一个样本必须为零。

对于 L 阶 NTF $(1-z^{-1}{)}^L$：

$$L_1(z)=1-\frac{1}{(1-z^{-1}{)}^L}\approx \frac{L}{(1-z^{-1})}(z\to 1)$$

为什么高阶 $(1-z^{-1}{)}^L$ 不稳定？

线性模型下，量化器输入由两部分组成：

• 低频输入 $u$
• 被 $(NTF(z)-1)$ 整形的量化噪声

量化器输入方差：

$${\sigma }_y^2\approx \frac{{\Delta }^2}{12}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{h}^2[n]-1\right)$$

| 阶数 (L) | NTF | $|NTF|$@$f_s/2$ | $h_2^2-1$ | |----------|-----|-----------------|-----------| | 1 | $1-z^{-1}$ | 2 | 1 | | 2 | $(1-z^{-1}{)}^2$ | 4 | 5 | | 3 | $(1-z^{-1}{)}^3$ | 8 | 19 | | 4 | $(1-z^{-1}{)}^4$ | 16 | 69 |

L=4 时整形噪声在量化器输入的方差是 ${\Delta }^2/12$ 的 69 倍——即使很小的 $u$ 也会使量化器频繁过载。

量化器过载 ⇒ 有效增益下降 ⇒ 根轨迹失稳

饱和分离模型（图 4.3b）：将饱和量化器分解为（无限范围量化器 + 饱和非线性）的级联。无限范围量化器输出 $\hat{v}=y+e$，其中 $e$ 是白噪声（方差 ${\Delta }^2/12$），饱和非线性在 $|\hat{v}|>M$ 时削波。

小信号分析时，直流输入 $u$ 确定工作点，$e$ 作为增量输入。饱和非线性的有效增益：

$$k=\frac{\overline{\hat{v}}}{\overline{{\hat{v}}^2}}$$

从 $k=1$（不过载）下降到 $k<1$（过载）。增量模型的传递函数：

$$NT{F}_k(z)=\frac{1}{1+k{L}_1(z)}=\frac{NTF(z)}{k+(1-k)NTF(z)}$$

对三阶 NTF $(1-z^{-1}{)}^3$，根轨迹方程：$1+k\cdot L_1(z)=0$，即：

$$(1-k)(z-1{)}^3+k{z}^3=0$$

$k=1$ 时三极点全在 $z=0$（稳定），$k=0$ 时三极点全部移到 $z=1$（临界）。当 $k<0.5$ 时极点移出单位圆，系统失稳。

$h_1$ 范数稳定约束

为避免量化器过载的充分条件：$|y[n]|\le M-1$（$M$ 为量化器电平数）。由 $y[n]=(u\ast \delta [n])(h\ast (v-y))[n]$ 可得：

$$|u|\le M-\frac{M}{2}\sum _{k=0}^{\infty }|h[k]|$$

其中 $h_1=\sum |h[k]|$ 是 NTF 的 $l_1$-范数。对 $(1-z^{-1}{)}^L$，$h_1=2^L$。此条件是充分但非必要的——MOD2 的 $h_1=4$ 给出 $|u|\le 0.75$，而实际可稳定到 $|u|\approx 0.9$。

MSA 定义

$$\boxed{MSA=\frac{\max |u|\text{（稳定操作）}}{M}}$$

MSA 的关键决定因素：ntf 的 $h_1$ 范数、量化器电平数 $M$、直流偏置/输入频率。

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MSA 估计方法

正弦波扫描法

对每个幅度值运行长仿真，计算带内 SQNR。当幅度超过 MSA 时，SQNR 急剧下降。缺点：需要多次长仿真。

斜坡法（Risbo 1994）

激励调制器以缓慢变化的斜坡（如 0→满幅，~10^6 样本），监视量化器输入幅度 $|y|$。当 $u$ 超过 MSA 时 $y$ 趋近无穷大。此方法更快且结果与正弦波法一致。

示例：三阶 NTF $(1-z^{-1}{)}^3$ + 9 电平量化器 ⇒ MSA ≈ -4 dBFS。而 $h_1$ 约束给出的上限仅 -18 dBFS——实际 MSA 远高于保守理论值。

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关键洞察

1. 失稳的根源是饱和而非量化：无限电平量化器不会使高阶环失落稳——这解释了为什么多比特调制器更稳定
2. $h_1$ 范数约束是充分非必要的：调制器可以忍受偶尔的量化器过载，只要平均有效增益维持在足够高的水平
3. 根轨迹分析揭示了失稳机制：$k<0.5$ 的判断（对 L=3）定量地连接了过载深入程度和稳定性
4. MSA 对量化器电平数的依赖：更多的量化器电平 ⇒ MSA 更高（MOD2 的 2 电平 vs 本例的 9 电平）
5. 斜坡法是目前最实用的 MSA 估计方法——更快、结果与正弦波法一致

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参考文献

1. S. Pavan, R. Schreier, and G. C. Temes, Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §4.1, §4.1.1. IEEE Press/Wiley, 2017.
2. J. G. Kenney and L. R. Carley, “Design of multibit noise-shaping data converters,” Analog Integrated Circuits and Signal Processing, vol. 3, no. 3, pp. 259-272, 1993.
3. Y. Yang, R. Schreier, and G. Temes, “A tight sufficient condition for the stability of high order multibit delta-sigma modulators,” Oregon State University Research Report, 1991.
4. L. Risbo, Sigma-Delta Modulators: Stability Analysis and Optimization. Ph.D. dissertation, Technical University of Denmark, 1994.
5. S. R. Norsworthy, R. Schreier, and G. Temes, Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design, and Simulation. IEEE Press, New York, 1997.
6. S. Hein and A. Zakhor, “On the stability of sigma delta modulators,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 41, no. 7, pp. 2322-2348, 1993.

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相关页面

• 量化器理论与线性模型
• MOD2仿真与有效量化器增益
• MOD2稳定性与死区分析
• 高阶ΔΣ调制器NTF系统化设计
• 高阶NTF零点优化与Bode积分
• MASH ΔΣ调制器
• Pavan ΔΣ 数据转换器 Ch.4 深度解析
• Rosa Sigma-Delta Converters Practical Design Guide 深度解析

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📙 Rosa 补充（Ch.2 高阶 ΣΔM 稳定性实用分析）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.2 对稳定性分析增加了工程设计视角。

稳定性与 NTF 带外增益的工程规则

Rosa 给出实用的稳定性设计规则：

• 对 1-bit 量化器：$\gamma =|\text{NTF}{|}_{\infty }<1.5$ 保证稳定（Lee 准则的工程化版本）
• 对多 bit 量化器（$N$ 位）：$\gamma$ 可放宽到 $\gamma <2\sim 3$，因量化器增益更确定
• 经验公式：$\text{MSA}\approx \frac{M-1}{M}\cdot \frac{1}{\Vert h{\Vert }_1-1}$（$M$ 为量化器电平数）

多 bit 量化器对稳定性的改善

Rosa 强调多 bit 量化器是改善稳定性的最有效手段：

• $N$ 位量化器增益 $k_q\approx 1$（确定），而 1-bit 的 $k_q$ 随信号变化
• 多 bit 使 $|\text{NTF}{|}_{\infty }$ 约束放宽，可实现更激进的 NTF
• 但多 bit 引入 DAC 失配问题，需配合 DEM（见 失配整形与多bit ΔΣ调制器）

稳定性的行为仿真验证

Rosa 推荐在设计流程中始终用行为仿真验证稳定性：

1. 运行长时域仿真（$>10^5$ 周期），监视积分器输出是否发散
2. 用慢斜坡输入扫描 MSA（与 Risbo 方法一致）
3. 检查极端输入（直流 + 满幅正弦 + 阶跃）下的状态变量界限

差异定位：Pavan Ch.4 侧重 $h_1$ 范数充分条件和根轨迹严格分析；Rosa 侧重 工程设计规则（$\gamma$ 选取、多 bit 稳定性优势、行为仿真验证流程）。