相位噪声对PLL影响

相位噪声对 PLL 的影响

相位噪声（Phase Noise）是振荡器和 PLL 中最根本的频域性能限制。本章建立相位噪声的各种频谱表示、在 PLL 中的传播方式、集成相位噪声的计算方法，以及 PLL 带宽在抑制参考噪声与 VCO 噪声之间的权衡。基于 Gardner Phaselock Techniques Ch.7 + App.7A-7E 提炼。

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前后关系

前置知识：

• PLL基本结构与传递函数 — H(s)/E(s) 传递函数
• 加性噪声对PLL影响 — 加性噪声与相位噪声共同作用
• 随机过程（PSD、平稳性、维纳过程）

本书内部链条：

• Ch.7（本文）← Ch.2/Ch.6 — 传递函数 + 噪声基础
• → PLL频率合成器（Ch.15）— 相位噪声是频率合成器的核心约束
• → PLL调制器与解调器（Ch.16）— 相位噪声影响解调质量
• → PLL锁相捕获过程（Ch.8）— 相位噪声影响捕获可靠性

外部关联：

• Jitter与Phase Noise关系 — 相位噪声与 jitter 的频域转换
• Jitter与Phase Noise高级统计概念 — Allan 偏差、Lorentzian 谱
• 电路中的Jitter与Phase Noise — VCO 相位噪声电路模型
• 无线系统中Phase Noise影响 — 相位噪声在无线系统的影响
• 振荡器设计与相位噪声 — Leeson 模型、ISF/LTV
• DaDalt Jitter and Phase Noise 深度解析 — jitter/相位噪声专著补充

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原理介绍

1. 相位噪声的基本属性（Gardner §7.1）

振荡器模型

$$v_o(t)=V_o\cos [{\omega }_{0}t+\phi (t)]$$

• φ(t) 为过量相位（excess phase），即相位噪声
• 忽略幅度噪声（AM 噪声被限幅器/电路抑制）

非平稳性

自由运行振荡器的相位噪声 φ(t) 是非平稳的（维纳过程）：

• φ(t) 方差随时间线性增长：${\sigma }_{\phi }^2(t)\propto t$
• 锁定在 PLL 中后 φ(t) 被环路高通透滤 → 变为平稳

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2. 相位噪声的各种谱表示（Gardner §7.2）

理论振荡器谱 W_vo(f)

$$W_{vo}(f)=\frac{V_o^2}{2}\cdot \frac{c/2}{(f-f_0{)}^2+(c/2{)}^2}$$

即 Lorentzian 谱，其中 c 为振荡器线宽参数。

归一化单边谱 L(Δf)

$$L(\Delta f)=10{\log }_{10}\left(\frac{W_{RF}(f_0+\Delta f,1\text{Hz})}{P_s}\right)\text{[dBc/Hz]}$$

工程中最常用的相位噪声表示，Δf 为频率偏移。

相位噪声谱 W_φ(f)

$$L(\Delta f)=10{\log }_{10}\left(\frac{S_{\phi }(f)}{2}\right)=10{\log }_{10}\left(\frac{W_{\phi }(f)}{2}\right)$$

• $S_{\phi }(f)$：双边相位噪声谱密度（rad²/Hz）
• $W_{\phi }(f)$：单边相位噪声谱密度（rad²/Hz），$W_{\phi }(f)=2S_{\phi }(f)$
• 注意：L(f) 在文献中常被混用，Gardner 的 W_φ 对应 DaDalt 的 S_φ

频率噪声谱 W_ω(f)

$$W_{\omega }(f)=(2\pi f{)}^2{W}_{\phi }(f)\text{[Hz²/Hz]}$$

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3. 典型相位噪声谱（Gardner (7.7) 五项模型）

对数-对数坐标下，典型振荡器相位噪声由五项幂律谱叠加（Gardner (7.7)）：

$$W_{\phi }(f)\approx \frac{h_4}{f^4}+\frac{h_3}{f^3}+\frac{h_2}{f^2}+\frac{h_1}{f}+h_0$$

项	斜率	物理来源
$h_4/f^4$	−12 dB/oct	随机游走频率噪声（环境/振动）
$h_3/f^3$	−9 dB/oct	闪烁频率噪声（振荡器主动器件 1/f）
$h_2/f^2$	−6 dB/oct	白频率噪声（谐振器热噪声）
$h_1/f$	−3 dB/oct	闪烁相位噪声（放大器/缓冲器）
$h_0$	0	白相位噪声（加性噪声基底）

频率噪声谱与相位噪声谱的关系（Gardner (7.6)）：$W_{\omega }(f)=4{\pi }^2{f}^2{W}_{\phi }(f)$。

测量注意：相位噪声分析仪实际显示的是 $W_{\phi }/2$；若要将测量值代入以 $W_{\phi }$ 为变量的公式，需 +3 dB 修正。

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4. 相位噪声的器件传播（Gardner §7.4.1）

放大器

$$W_{\phi ,out}(f)=W_{\phi ,in}(f)+W_{\phi ,amp}(f)$$

分频器（÷N）

$$S_{\phi ,out}(f)=\frac{S_{\phi ,in}(f)}{N^2},L_{out}=L_{in}+20{\log }_{10}\frac{1}{N}$$

相位噪声降低！分频是抑制相位噪声的有效手段。

倍频器（×N）

$$S_{\phi ,out}(f)=N^2{S}_{\phi ,in}(f),L_{out}=L_{in}+20{\log }_{10}N$$

相位噪声恶化！倍频是 PLL 中参考路径噪声放大的根源。

其他器件的传播规则（Gardner §7.4.1）

• 混频器：两输入的相位噪声谱在输出相加（变频不改变相位噪声偏移结构）
• 限幅器：保持相位噪声不变（仅去除幅度噪声）——相位信息在过零点，限幅不损失
• 延迟线/电缆：不改变相位噪声谱（但引入固定相移）

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5. PLL 中的相位噪声传播（Gardner §7.4.2）

VCO 噪声 → 输出

$$S_{\phi ,out}^{VCO}(f)=|1-H(j2\pi f){|}^2\cdot S_{\phi ,VCO}(f)$$

高通：带内 VCO 噪声被抑制，带外 VCO 噪声传递至输出。

参考噪声 → 输出

$$S_{\phi ,out}^{ref}(f)=|H(j2\pi f){|}^2\cdot S_{\phi ,ref}(f)$$

低通：参考噪声在带内传递至输出，带外被抑制。

总输出相位噪声

$$S_{\phi ,out}(f)=|H{|}^2\cdot S_{\phi ,ref}+|1-H{|}^2\cdot S_{\phi ,VCO}$$

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6. 集成相位噪声与带宽权衡（Gardner §7.5）

基本公式

$${\sigma }_{\phi }^2={\int }_0^{\infty }{W}_{\phi }(f)df={\int }_0^{\infty }2S_{\phi }(f)df$$

实际中关心带内（如 100 Hz ~ 100 MHz 偏移）的集成相位噪声。

带宽权衡

• 窄带宽：VCO 带外噪声输出小，参考噪声也小（参考低通窄），但 VCO 带内噪声未被抑制
• 宽带宽：VCO 带内噪声被抑制，但参考噪声高频部分通过

最优带宽：$S_{\phi ,ref}(f)\cdot |H{|}^2$ 与 $S_{\phi ,VCO}(f)\cdot |1-H{|}^2$ 交点对应的频率

h₃/f³ 主导时的最优设计（Gardner §7.5）

当输入噪声以 $h_3/f^3$（闪烁频率噪声）主导时，最优阻尼与带宽有闭合解：

$${\zeta }_{opt}\approx 1.14,B_L\approx {\left(\frac{15h_3{P}_s}{W_0}\right)}^{1/3}$$

悖论（Gardner §7.5.6）：type 1 PLL 理论上无法跟踪 $f^{-3}$ 闪烁频率噪声（积分发散），但实际环路总能受限工作——Gardner 指出这是线性理论的已知局限，实践中靠振荡器自身物理机制限制噪声增长。此外，增大 PLL 带宽时集成相位噪声可能先减后增（过窄时 VCO 噪声主导，过宽时参考/分频器路径噪声主导），因此存在最优带宽。

离散线谱集成（Gardner App.7D）

杂散（spurs）是相位噪声谱中的离散线，通常来自：

• PD 参考频率泄露（参考杂散）
• 分频器谐波
• 电源/衬底耦合

集成时：${\sigma }_{\phi }^2={\sum }_i\frac{P_i}{2}$，其中 P_i 为第 i 根线谱的功率（dBc）。

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7. 定时抖动（Timing Jitter）

定义（Gardner App.7E）

$${\sigma }_{\tau }=\frac{{\sigma }_{\phi }}{{\omega }_0}=\frac{1}{2\pi f_0}\sqrt{\int W_{\phi }(f)df}$$

PLL 中的抖动物理含义

• 绝对抖动（absolute jitter）：输出过零点相对于理想周期的偏差
• 周期抖动（period jitter）：相邻周期长度的变化
• PLL 锁定后：低频相位噪声被跟踪（输出相位跟随），高频被抑制

jitter 与相位噪声的转换

$${\sigma }_a^2=\frac{1}{{\omega }_0^2}{\int }_0^{\infty }{W}_{\phi }(f)df$$ $${\sigma }_p^2=\frac{2}{{\omega }_0^2}{\int }_0^{\infty }{W}_{\phi }(f){\sin }^2(\pi fT)df$$

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附录内容提要

• App.7A：限幅器中干扰分析，IMD 和信号抑制因子
• App.7B：二阶 type 2 环对未跟踪相位噪声（经 |E|² 高通）的闭合形式积分结果（各项方差，输入谱系数 $h_i$、环路参数 $K$、前置带通带宽 $B$）：

谱项	输出相位方差 ${\sigma }_i^2$
$h_4/f^4$	$16{\pi }^4{\zeta }^2{h}_4/K^3$
$h_3/f^3$	$\approx 8{\pi }^2{h}_3\sqrt{\zeta }/K^2$
$h_2/f^2$	${\pi }^2{h}_2/K$
$h_1/f$	$\approx h_1[\ln (4\pi B/K)-1/2]$
$h_0$	$\approx h_{0}B$

关键观察：低频噪声项（h₄、h₃）对环路参数最敏感（$K^{-3}$、$K^{-2}$），提高环路增益是抑制振荡器低频相位噪声的最有效手段。

• App.7C：集成相位噪声的数值积分流程（数据格式、滤波、梯形积分）
• App.7D：离散线谱集成（杂散功率计算）
• App.7E：jitter 定义（绝对/周期）与 PLL 中的 jitter；注意 PLL 内部信号（如 VCO 控制电压对应的相位）的抖动还需另乘 |E|²（未被跟踪的部分）

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参考文献

1. Gardner, F. M. (2005). Phaselock Techniques (3rd ed.), Ch.7 + App.7A-7E. John Wiley & Sons.
2. Da Dalt, N., & Sheikholeslami, A. (2018). Understanding Jitter and Phase Noise. Cambridge. [相位噪声/jitter 频域转换公式]
3. Kundert, K. (2006). “Predicting the Phase Noise and Jitter of PLL-Based Frequency Synthesizers.” The Designer’s Guide. [PLL 相位噪声数值生成]
4. Leeson, D. B. (1966). “A Simple Model of Feedback Oscillator Noise Spectrum.” Proc. IEEE. [振荡器相位噪声模型]

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相关页面

• PLL基本结构与传递函数 — H(s)/E(s) 噪声传递函数
• 加性噪声对PLL影响 — B_L、SNR_L
• 振荡器设计与相位噪声 — Leeson 模型、ISF/LTV
• PLL频率合成器 — 频率合成中的相位噪声传播
• Jitter与Phase Noise关系 — jitter 与相位噪声频域联系
• Jitter与Phase Noise高级统计概念 — Allan 偏差
• 电路中的Jitter与Phase Noise — 电路级相位噪声模型
• 无线系统中Phase Noise影响 — 相位噪声对无线系统影响
• DaDalt Jitter and Phase Noise 深度解析
• Gardner Phaselock Techniques 深度解析

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📕 Razavi PLL 补充（Ch.8 PLL 噪声整形——各噪声源分别整形）

Razavi《Design of CMOS Phase-Locked Loops》Ch.8 对 PLL 中各噪声源的传递函数做了系统化的电路级分析，与 Gardner §7.4.2 的理论框架互补。

PLL 中各噪声源的传递函数汇总

噪声源	传递函数	频域特性	Razavi 的电路级洞察
参考噪声 ${\theta }_{n,ref}$	$N\cdot H(s)$	低通，×N	参考缓冲器的闪烁噪声在带内占主导
VCO 噪声 ${\theta }_{n,VCO}$	$1-H(s)$	高通	带内 VCO 噪声由 $1/f^3$ 闪烁区主导
电荷泵噪声 $i_{n,CP}$	$\frac{2\pi }{I_{CP}}\cdot \frac{H(s)}{K_{VCO}/s}$	低通	CP 的闪烁噪声在低偏移处占主导
滤波器电阻噪声 $v_{n,R}$	$\frac{K_{VCO}}{s}\cdot H(s)$	低通	$R_2$ 热噪声经 VCO 积分
分频器噪声 ${\theta }_{n,div}$	$N\cdot H(s)$	低通，×N	分频器边沿抖动等效为参考噪声
电源噪声 $v_{n,supply}$	$K_{VCO,supply}\cdot H_{supply}(s)$	带通	VCO 对电源的敏感度是关键参数

电荷泵噪声的定量分析

电荷泵导通时电流源噪声直接注入滤波器：

$$S_{\varphi ,out}^{CP}(f)=\frac{4kT\gamma }{I_{CP}}\cdot \frac{N^2|H(j2\pi f){|}^2}{f_{ref}}\cdot {\left(\frac{2\pi f_{ref}}{I_{CP}}\right)}^2$$

• 增大 $I_{CP}$ 可降低 CP 噪声的相对贡献，但增加功耗和杂散

电源噪声的特殊处理

Razavi 强调 VCO 对电源噪声的敏感度 $K_{VCO,supply}$ 是独立于 $K_{VCO}$ 的参数：

$$\Delta f_{VCO}=K_{VCO,supply}\cdot \Delta V_{supply}$$

• 典型值：$K_{VCO,supply}\approx 0.1$–$1$ GHz/V
• 必须通过 LDO 或片上稳压器将电源噪声衰减 40–60 dB

Razavi 的噪声整形视角 vs Gardner

维度	Gardner Ch.7	Razavi Ch.8
噪声源分类	参考 + VCO 两大类	6 类噪声源分别建模
分析层次	相位域传递函数	电路级噪声电流/电压源
CP 噪声	作为 PD 噪声的一部分	独立建模，与 $I_{CP}$ 和 $f_{ref}$ 关联
电源噪声	未专门处理	独立建模 $K_{VCO,supply}$
设计指导	带宽优化原则	各噪声源的电路级缓解策略

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📘 Banerjee PLL 补充

以下补充基于 Dean Banerjee PLL Performance Simulation and Design 深度解析 第 14-15 章。

相位噪声源分类体系（Ch.14）

Banerjee 将相位噪声源按传递函数特性分为两类：

• 低通型（参考、PFD、R/N 分频器）：带内主导，传递函数含 $G(s)/(1+G(s)H)$
• 高通型（VCO）：带外主导，传递函数 $1/(1+G(s)H)$

带内噪声与 N 值（Ch.14）

$$S_{in-band}\approx N^2\cdot S_{ref}$$

N 值越小 → 带内相位噪声越低，这是分数 N PLL 的核心优势。

PFD 噪声的比较频率依赖性（Ch.14）

$$Nois{e}_{PFD}\propto 10\log (F_{comp})$$

更高的比较频率 → 单位时间更多次校正 → 更多噪声。

集成相位噪声量（Ch.15）

• RMS 相位误差：${\varphi }_{RMS}=\sqrt{\int S_{\varphi }(f)df}$
• Jitter 转换：$Jitte{r}_{RMS}={\varphi }_{RMS}/(2\pi F_{out})$

详见 Banerjee PLL相位噪声建模。

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关联页：Razavi Design of CMOS PLLs 深度解析 Ch.8