相位噪声建模与 Matlab 提取

基于 Kundert 的相位噪声/jitter 理论框架，Brandonisio & Kennedy Ch.7 系统阐述了如何在 Matlab 中建模和提取相位噪声：从理想/噪声振荡器的数学模型出发，推导了相位噪声 PSD（$L(\Delta \omega )$）与相位偏差 $\Delta \Phi (t)$ 的解析关系，并通过线性插值法从采样信号中提取 jitter → 估计相位偏差 → 计算相位噪声谱，形成完整的时频域噪声分析方法。

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前后关系

前置知识：

• 相位噪声对PLL影响 — PLL 中相位噪声传播理论
• Jitter基本概念与定义 — 抖动的基本定义与类型
• Jitter与Phase Noise关系 — jitter 与相位噪声的频域转换

外部关联：

• ADPLL相位噪声解析预测 — ADPLL 量化噪声的解析预测
• Jitter数值方法与Matlab仿真 — jitter 的数值仿真方法
• 频率合成器相位噪声分析 — 相位噪声在频率合成中的影响

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原理介绍

1. 振荡器的数学模型

1.1 理想无噪振荡器

$$o_{\text{sc,ideal}}(t)=A\sin ({\omega }_{0}t+{\Phi }_0)\text{\hspace{1em}(7.1)}$$

其中 $A$、${\omega }_0$、${\Phi }_0$ 分别为振幅、角频率和初始相位。理想振荡器的 PSD 为单一极窄的谱线。

1.2 有噪振荡器

$$o_{\text{sc}}(t)=(A+\Delta A(t))\sin ({\omega }_{0}t+{\Phi }_0+\Delta \Phi (t))\text{\hspace{1em}(7.2)}$$

其中 $\Delta A(t)$ 和 $\Delta \Phi (t)$ 分别表示振幅和相位偏差。由于振荡器是自治系统——振幅偏差被自动校正，但相位偏差持续累积——相位噪声通常是主要关注对象。

1.3 小相位偏差近似（$\Delta \Phi (t)\ll 1$）

令 $\Delta A(t)=0$、${\Phi }_0=0$：

$$o_{\text{sc}}(t)\approx A\sin ({\omega }_{0}t)+A\cos ({\omega }_{0}t)\cdot \Delta \Phi (t)\text{\hspace{1em}(7.5)}$$

该线性化模型将相位偏差视为对载波的正交调制。

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2. PSD 关系与 $L(\Delta \omega )$ 定义

由 (7.5) 推导得双边 PSD：

$$S_{\text{osc}}(\omega -{\omega }_0)\approx \frac{A^2}{4}\left(\delta (\omega -{\omega }_0)+\delta (\omega +{\omega }_0)\right)+\frac{A^2}{4}\left(S_{\Delta \Phi }(\omega -{\omega }_0)+S_{\Delta \Phi }(\omega +{\omega }_0)\right)\text{\hspace{1em}(7.6)}$$

工程常用单边形式：

$$S_{\text{osc}}(\omega -{\omega }_0)\approx \frac{A^2}{2}\delta (\omega -{\omega }_0)+\frac{A^2}{2}{S}_{\Delta \Phi }(\omega -{\omega }_0)\text{\hspace{1em}(7.7)}$$

$L(\Delta \omega )$ 定义（相位噪声的行业标准度量）：

$$L(\Delta \omega )=\frac{2S_{\text{osc}}(\omega )}{A^2}\approx \delta (\Delta \omega )+S_{\Delta \Phi }(\Delta \omega )\text{\hspace{1em}(7.8)}$$

即 $L(\Delta \omega )$ 近似等于相位偏差谱 $S_{\Delta \Phi }(\Delta \omega )$ 在频率偏移 $\Delta \omega$ 处的值（dBc/Hz）。

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3. 相位偏差的构成模型

振荡器相位偏差包含两种分量：

$$\Delta \Phi (t[n])={\Phi }_{\text{synch}}(t[n])+\sum _{k=1}^n{\Phi }_{\text{acc}}(t[k])\text{\hspace{1em}(7.11)}$$

分量	类型	来源	示例电路
${\Phi }_{\text{synch}}$	同步（非累积）	外部噪声直接注入输出	分频器、鉴频鉴相器
${\Phi }_{\text{acc}}$	累积（累积）	自治系统相位漂移	自由振荡器、VCO、DCO

仿真时，${\Phi }_{\text{synch}}$ 和 ${\Phi }_{\text{acc}}$ 通常建模为高斯随机变量。

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4. Jitter 建模与提取

4.1 Jitter 的定义

信号在第 $i$ 个周期的过零点 jitter 定义为：

$$\Delta T[i]=t_{\text{e}}[i]-t_{\text{e,ideal}}[i]\text{\hspace{1em}(7.12)}$$

其中 $t_{\text{e}}[i]$ 和 $t_{\text{e,ideal}}[i]$ 分别为有噪和无噪信号的过零时刻。

Jitter 三大类型（§7.1.2 建模补充）：

类型	符号	数学定义	特征	适用电路
周期抖动 (Period Jitter)	$J_p$	$\sqrt{E[(T_n-T_0{)}^2]}$	每周期独立，方差恒定	数字分频器、PFD
累加抖动 (Accumulated Jitter)	$J_a$	$\sqrt{E[(\sum \Delta T_n{)}^2]}$	随时间线性增长	VCO、DCO、振荡器
绝对抖动 (Absolute Jitter)	$J_{\text{abs}}$	$\sqrt{E[(\varphi (t)/2\pi f_0{)}^2]}$	相位偏差时间域等效	系统级度量

Jitter 建模方法（用于 Matlab 仿真）：

% 1. 生成高斯周期抖动序列
Delta_T = sigma_j * randn(1, N_periods);  % 周期抖动
% 2. 累加得到相位偏差
phi_dev = 2*pi*f0 * cumsum(Delta_T);       % 累加抖动 → 相位偏差
% 3. 构建含噪振荡器信号
t = (0:N_periods-1)/f0 + cumsum(Delta_T);  % 含噪时间轴
osc_noisy = A * sin(2*pi*f0 * t);           % 含相位噪声的信号

4.2 线性插值法提取 jitter

对于采样信号，过零点通常不对齐采样点。通过 线性插值 估计准确过零时刻：

给定最接近期望过零点 $t_{\text{e,ideal}}[i]$ 的两个采样点 $t_{\text{prv}}[i]$ 和 $t_{\text{nxt}}[i]$：

$$\Delta T[i]=-\frac{(t_{\text{nxt}}[i]-t_{\text{prv}}[i])\cdot o_{\text{sc}}(t_{\text{prv}}[i])}{o_{\text{sc}}(t_{\text{nxt}}[i])-o_{\text{sc}}(t_{\text{prv}}[i])}+t_{\text{prv}}[i]\text{\hspace{1em}(7.22)}$$

4.3 Jitter 与相位偏差的关系

通过近似推导（假设 $t_{\text{nxt}}[i]$、$t_{\text{prv}}[i]$ 足够接近 $t_{\text{e,ideal}}[i]$，且信号斜率 ≈ ${\omega }_{0}A$）：

$$\Delta T[i]\approx -\frac{o_{\text{sc}}(t_{\text{prv}}[i])}{{\omega }_0}+t_{\text{prv}}[i]\text{\hspace{1em}(7.25)}$$ $$\Delta \Phi (t_{\text{prv}}[i])\approx -{\omega }_0\cdot \Delta T[i]\text{\hspace{1em}(7.27)}$$

核心意义：从采样信号通过 (7.22) 提取 $\Delta T[i]$，再通过 (7.27) 转换为相位偏差 $\Delta \Phi$，即可计算相位噪声谱 $S_{\Delta \Phi }(f)$。

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5. 提取流程总结

采样信号 osc(t[n])
        ↓
[确定理想过零时刻 t_e,ideal[i] = (2π/ω₀)·i]
        ↓
[查找最接近的采样点 t_prv[i], t_nxt[i]]
        ↓
[线性插值 -> 计算 ΔT[i] (式 7.22)]
        ↓
[ΔΦ(t_prv[i]) = -ω₀·ΔT[i] (式 7.27)]
        ↓
[提取相位偏差序列 ΔΦ[n]]
        ↓
[PSD 估计 (pwelch/periodogram) -> S_ΔΦ(f)]
        ↓
[L(f) ≈ S_ΔΦ(f)   (dBc/Hz)]

验证结果（Fig 7.5）：提取的相位偏差 $\Delta \Phi (t_{\text{prv}}[i])$ 与实际相位偏差 $\Delta \Phi (t[n])$ 在时域和频域均高度吻合。

有效频率范围：提取的相位偏差 PSD 在 $[-{\omega }_0/2,{\omega }_0/2]$ 偏移范围内有效（其中 ${\omega }_0$ 为无噪信号角频率）。

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6. 归一化方法

实际测量和仿真通常返回 $L(\Delta f)$，单位为 dBc/Hz：

1. 计算信号 PSD $S_{\text{osc}}(f)$（如使用 Matlab 的 pwelch）
2. 提取主峰（载波）功率 $$P_{\text{carrier}}

3. $$L(\Delta f) = S_{\text{osc}}(f_0 + \Delta f) / P_{\text{carrier}}

4. 除以频率分辨率带宽 $f_{\text{res}}$ 归一化为 dBc/Hz

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关键设计洞察

1. 相位噪声 ≠ 振幅噪声：振荡器是自治系统，振幅偏差自校正，相位偏差持续累积 → 相位噪声主导

2. 小偏差近似的有效性：当 $\Delta \Phi (t)\ll 1$ 时，正交调制模型 (7.5) 非常精确，直接给出 $$L(f) \approx S_{\Delta\Phi}(f)

3. **Jitter 提取精度限制**：线性插值法假设信号在两采样点间线性变化，当采样率过低（过零点附近非线性强）时精度下降 4. **有效频率范围约束**：提取的相位偏差 PSD 仅对 $$[-\omega_0/2, \omega_0/2]$$ 偏移有效，超出范围受插值和采样效应影响 5. **通用性**：该方法适用于任何仿真环境（Spectre、ADS、Simulink）和实际测量数据的相位噪声提取 --- ## 参考 - [[Brandonisio Noise-Shaping ADPLLs 深度解析]] — 来源页，Ch.7 - [[相位噪声对PLL影响]] — 相位噪声传播的一般理论 - [[ADPLL相位噪声解析预测]] — ADPLL 特定量化噪声分析 - [[Jitter与Phase Noise关系]] — jitter-相位噪声频域转换 - [[Jitter数值方法与Matlab仿真]] — jitter 数值仿真 - Kundert, K. "Predicting the Phase Noise and Jitter of PLL-Based Frequency Synthesizers." *The Designer's Guide*. - Kundert, K. (2006). "Predicting the Phase Noise and Jitter of PLL-Based Frequency Synthesizers." http://www.designers-guide.org