PLL 调制器与解调器

PLL 既可作为角度调制器（通过改变 VCO 控制电压实现 PM/FM），也可作为解调器（利用 PLL 跟踪输入调制）。FM 阈值（FM Threshold）是 PLL 解调器的一个重要非线性现象，与周跳（cycle slip）导致的”clicks”密切相关。基于 Gardner Phaselock Techniques Ch.16 提炼。

---

前后关系

前置知识：

• PLL基本结构与传递函数 — H(s)/E(s) 传递函数
• PLL跟踪性能 — 跟踪调制信号
• 加性噪声对PLL影响 — 噪声引起的周跳是 clicks 的根源

本书内部链条：

• Ch.16（本文）← Ch.5（跟踪）— 调制跟踪与解调
• ← Ch.6（加性噪声）— FM 阈值基础
• → PLL杂项应用（Ch.17）— 调制解调的各种应用场景

外部关联：

• 数字PLL传递函数与稳定性 — ΔΣ PLL 调制器的数字实现
• Jitter对同步数字电路的影响 — PLL 调制器的 jitter 分析

---

原理介绍

1. PLL 调制器（Gardner §16.1）

调制器基本结构（Gardner Fig. 16.1）

PM/FM 调制信号加到 VCO 控制电压端：

$$v_c(t)=v_{LF}(t)+v_{mod}(t)$$

VCO 输出：${\theta }_o(t)=K_o\int v_c(t)dt={\theta }_{PLL}(t)+K_o\int v_{mod}(t)dt$

调制器传递函数

PM 调制传递函数（从调制输入到输出）：

• 若调制输入加到 VCO 端：$H_{mod}(s)=\frac{K_o}{s}E(s)$（高通）
• 若调制输入加到 LF 后：$H_{mod}(s)=E(s)$（高通）

含义：调制频率在 PLL 带宽内 → 被环路反馈抵消（不适于低频调制）；调制频率在 PLL 带宽外 → 自由调制。

调制注入点选择（Gardner §16.1）

Gardner 系统分析了调制信号的不同注入点（(16.1) PM 注入、(16.3) FM 注入）：

注入点	调制传递特性	适用
VCO 控制端（PD 前向路径外）	高通 E(s)	宽带 FM/PM（调制频率 > 带宽）
PD 参考输入（调制参考相位）	低通 H(s)	带内调制（数字调制常用）
双点注入（两者叠加）	全通 E(s)+H(s)=1	任意带宽调制（需两路增益精确匹配）

N 倍频调制（Gardner §16.1.1）

含 ÷N 反馈的合成器中，调制施加于参考或 VCO 后输出频偏乘 N：$\Delta f_{out}=N\cdot \Delta f_{mod}$（相位也乘 N）——这是发射机用 PLL 实现大功率频偏的常用手段，但调制噪声/失真同样乘 N。

注入法测量环路参数（Gardner (16.4)/(16.5)）

Gardner 推荐用已知调制注入来测量闭环/误差传递函数：向参考注入正弦相位调制，测量 PD 误差输出与 VCO 控制电压的幅相响应，分别得到 H(s) 与 E(s) 的实测曲线（(16.4)/(16.5)）——比开环注入法更适合实际系统。

ΔΣ PLL 调制器（Gardner §16.1.3）

• 使用 ΔΣ 调制器对 VCO 控制电压进行噪声整形
• 将量化噪声推至 PLL 带宽外
• 实现高分辨率频率/相位调制

---

2. PLL 解调器

AM 解调（Gardner §16.2.1）

Gardner 的核心结论：理想 PLL 对 AM 无响应。证明要点：PD（乘法器/限幅后）仅对过零点相位敏感，幅度变化经限幅后消失；即使未经限幅，幅度调制项落在 PD 输出的 $2{\omega }_0$ 和频分量上，被环路滤除——因此 PLL 锁定 AM 信号时控制电压不反映包络（“PLL 不能解调 AM”），AM 解调需用其他手段（如 AGC 误差电压）。

相位解调（Gardner §16.2.2）

输入 ${\theta }_i(t)=\Delta \theta \sin ({\omega }_{m}t)$，VCO 输出 ${\theta }_o(t)$

解调相位误差：${\theta }_e(t)={\theta }_i(t)-{\theta }_o(t)$

传递函数：

$$H_{PD}(s)=\frac{{\theta }_e(s)}{{\theta }_i(s)}=E(s)$$

• 若 ${\omega }_m\gg {\omega }_n$：${\theta }_e\approx {\theta }_i$ → 相位误差直接反映输入调制
• 若 ${\omega }_m\ll {\omega }_n$：${\theta }_e\approx 0$ → 调制被跟踪，不反映在误差中

PM 解调的最大误差（Gardner (16.16)）：解调误差峰值出现在 |E| 峰处，与调制指数相关；对正弦调制存在一个使误差最优的调制指数（Bessel $J_1$ 峰值对应调制角约 103°）——PM 载波跟踪环设计应参考此点。

频率解调（Gardner §16.2.3）

FM 信号解调的最常用方法——使用 VCO 控制电压作为解调输出：

$$v_c(t)\propto f_i(t)-f_0=\Delta f(t)$$

原理：在锁定状态下，VCO 频率跟踪输入频率 → 控制电压正比于输入频率偏移。

传递函数：

$$H_{FM}(s)=\frac{V_c(s)}{f_i(s)}=\frac{2\pi }{K_o}\cdot H(s)$$

解调带宽 = PLL 带宽。

FM 噪声与输出信噪比（Gardner (16.19)/(16.21)/(16.22)）

• 加性噪声通过 PD 转换为相位噪声，在解调输出中表现为 FM 噪声
• Gardner 给出 PLD 输出信噪比的闭合式（(16.19)），对大调制指数 β 的经典结果（(16.21)/(16.22)）：

$${\text{SNR}}_o=3{\beta }^3{\rho }_i$$

（${\rho }_i=2{\text{SNR}}_i$ 为输入信噪比参数）——即 FM 的 $3{\beta }^3$ 门限前增益，与经典 FM 理论一致，证明 PLD 在线性区达到理想 FM 解调性能。

CAD：相干检波（Gardner (16.10)）

Gardner §16.2.5 讨论用 PLL 作相干检波器（coherent amplitude demodulator，CAD）：PLL 提供与载波严格同相的本地参考，与输入相乘后低通得到基带信号——这是 DSB/SSB/数字相干解调的核心，PLL 的相位误差直接转化为解调损耗 $\cos {\theta }_e$。

---

3. FM 阈值（Gardner §16.3）

阈值表征（Gardner §16.3.1）

FM 解调器存在一个信噪比阈值，低于该阈值时输出 SNR 急剧恶化。

阈值现象：

• 高输入 SNR：输出 SNR ≈ 输入 SNR（标准 FM 增益）
• 阈值点（约 6-10 dB 输入 SNR）：
  • 输出 SNR 比理想值低 1 dB
  • 出现大量”clicks”
• 低 SNR：输出 SNR 迅速恶化

FM Clicks（Gardner §16.3.2）

Clicks 是 FM 解调器输出端出现的短暂脉冲噪声，由 PLL/限幅器的周滑引起。

click 的物理机制：噪声矢量端点绕信号矢量旋转一周 → 叠加相位变化 $2\pi$ → 微分（鉴频）后产生一个面积 $\pm 2\pi$ 的脉冲。在 PLD 中，一个 $2\pi$ 周滑对应解调输出一个 $\pm 2\pi$ 面积脉冲。

关键结论（Gardner）：

• 限幅器有害：PLD 前的传统限幅器不改善反而可能恶化门限性能（限幅引入的附加非线性对 click 无抑制）——PLD 应直接使用未限幅信号驱动乘法器 PD
• 门限改善：PLD 相对传统鉴频器的门限约低 2.5 dB（Gardner 给出的典型值）
• Wiener 线性滤波理论在门限以下失效：门限以下解调输出噪声是非平稳脉冲过程，不能用线性谱分析预测

click 率公式：

$$N_{click}\approx \frac{B}{2}\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{{\text{SNR}}_i}{2}}\right)[\text{clicks/sec}]$$

其中 B 为 FM 解调带宽，SNR_i 为输入信噪比。

---

4. PLL 解调器中的 Clicks（Gardner §16.3.3）

Click 在 PLD 中的表现

PLL 频率解调器（PLD）中的 click 表现为 VCO 控制电压上的尖峰：

• 正 click（$+2\pi$ 周跳）：向上尖峰
• 负 click（$-2\pi$ 周跳）：向下尖峰
• click 持续时间 ≈ $1/B_L$

PLD 的点击率

在 PLD 中，click 率与 PLL 噪声带宽和 SNR_L 相关：

$$N_{click}\approx \frac{K}{2\pi }\exp (-2\pi \cdot {\text{SNR}}_L)(\text{经验公式})$$

• SNR_L 为 PLL 噪声带宽内的信噪比
• 当 SNR_L < 6 dB 时，click 率急剧增大

Click 对解调信号的影响

• 可听噪声（模拟 FM）：出现”啪啪”声
• 数字失真（数字 FM）：突发误码
• SNR 退化：click 噪声功率随 click 率线性增加

---

5. 形式优化（Gardner §16.3.4）

最优 PLD

在加性白高斯噪声信道中，PLL 解调器（PLD）可达到接近最优的 FM 解调性能。具体表现为：

• 选择适当的环路带宽 B_L = B（信号带宽）~ 最优
• 相位裕度 PM ≈ 60°（ζ=0.707）~ 最优

PLD vs. 鉴频器

特性	PLD	常规鉴频器
阈值 SNR	~6-8 dB	~10-12 dB
抗噪声能力	较好	一般
复杂度	较高	较低
带宽灵活性	可通过 B_L 调节	固定

---

6. 修改版 PLD（Gardner §16.3.5）

Click 消除技术

• Click 检测：在解调输出检测 click 尖峰
• Click 补偿：检测到 click 后，使用保持/插值电路消除其影响
• 加宽 PLL 带宽：使 click 持续时间短于采样周期 → 可被后处理移除

双带宽 PLD

• 调制跟踪模式：大带宽（跟踪调制带内）
• 噪声抑制模式：小带宽（抑制输出噪声）
• 动态切换

PID 环路滤波器 PLD（Gardner (16.26)）

Gardner 建议门限附近的 PLD 采用 PID 型环路滤波器（(16.26)）：比例项保证快速跟踪、积分项消除静态误差、微分项抑制 click 后的恢复振荡——三者的权重按输入 SNR 工作点调节。

Gardner 的 PLD 设计清单（§16.3.6，11 条要点节选）

1. 环路带宽取调制带宽量级，ζ≈0.707–1
2. 不使用限幅器（乘法器 PD 直接驱动）
3. 前置带通滤波器带宽最小化（提高 SNRL）但覆盖调制边带
4. 避免载波谱线过零的调制参数（$J_0$ 零点）
5. 控制电压输出点选在积分器后（FM 解调）
6. 预期门限改善 ~2.5 dB，不要期望更多
7. click 率随 SNRL 指数变化，预算按 TAV 公式
8. 大调制指数时验证调制限（见 PLL跟踪性能 (5.22)）
9. 数字实现时防量化极限环（见 数字采样锁相环）
10. 门限以下性能用仿真而非线性理论验证
11. 与 AGC 配合保持 PD 输入幅度恒定

---

Banerjee 视角：PLL 作为信号源之外的应用（Ch.10）

以下内容基于 Dean Banerjee PLL Performance Simulation and Design 深度解析 第 10 章。与 Gardner 侧重 FM 阈值和 clicks 的分析不同，Banerjee 从 PLL 频率合成器芯片的应用场景出发，讨论了五种调制方法、解调技术以及时钟恢复。两者的差异标记为 Banerjee 和 Gardner。

---

参考调制（Reference Modulation）— Banerjee

调制信号通过改变参考分频器 R 的值来实现频率调制：

• 直接在参考路径上施加调频信号
• $F_{out}=N/R(t)\cdot F_{xtal}$，通过 R 的变化调制输出
• 带宽受限于 $F_{comp}/2$（Nyquist 限制）
• 适用于窄带 FM 调制

VCO 调制（VCO Modulation）— Banerjee

调制信号直接加到 VCO 调谐端，PLL 反馈环路会抵消带内调制分量：

• 高通特性：调制频率 $\gg F_c$ 时有效，调制频率 $\ll F_c$ 时被环路抵消
• 传递函数：$H_{VCO-mod}(s)=1/(1+G(s)H)=E(s)$（误差传递函数）
• 优点：可实现宽带 FM/PM
• 缺点：VCO 非线性直接影响调制质量

设计方程：调制灵敏度 $K_{mod}=K_{vco}\cdot V_{mod}$，带宽受限于 $F_c$ 以下

N 分频器调制（N Divider Modulation）— Banerjee

调制信号通过改变 N 分频值来实现：

• 在分数 N PLL 中通过 ΔΣ 调制器控制 N 值
• 传递函数：低通特性（与 PLL 闭环传递函数相同）
• 优点：调制在带内有效，不需要额外硬件
• 缺点：ΔΣ 量化噪声需被环路滤波

开环调制（Open-Loop Modulation）— Banerjee

在调制期间暂时断开 PLL 反馈环路，VCO 自由运行：

1. PLL 锁定到载波频率
2. 断开环路（PFD 输出高阻或保持）
3. 调制信号直接施加到 VCO 调谐端
4. 调制结束后重新闭合环路

关键设计考虑：

• 开环期间 VCO 频率漂移（由温度/电源引起）必须 $\ll$ 信道间隔
• 开环时间受 VCO 相位噪声和频率漂移限制，典型 $<1$ ms
• 可用保持电容（sample-and-hold）降低 VCO 漂移

双端口调制（Dual-Port Modulation）— Banerjee

同时调制 VCO 端和 N 分频器端，实现 全通 频率响应：

• VCO 调制（高通）+ N 分频调制（低通）→ 合成全通
• 传递函数：$H_{dual}(s)=H_{VCO}(s)+H_N(s)=E(s)+H(s)=1$
• 理想情况下调制传递函数 = 1（恒定增益）

实现难点：

• 两路的增益匹配要求 $\pm 1\%$ 以内，否则出现频率响应起伏
• VCO 调制路径的 $K_{vco}$ 非线性会破坏匹配
• 数字校准可以改善匹配但需片上辅助电路

调制方式	频率响应	带宽	硬件复杂度	线性度
参考调制	低通	$<F_{comp}/2$	低	好
VCO 调制	高通	$>F_c$	低	差（依赖 VCO）
N 分频调制	低通	$<F_c$	中（需 ΔΣ）	好
开环调制	全通	不限	中（需保持电路）	好（短时）
双端口调制	全通	不限	高	需增益校准

PLL 解调技术 — Banerjee

与 Gardner 的 FM 阈值分析不同，Banerjee 强调解调在频率合成器中的 辅助功能：

• 利用 PLL 的保持特性提取调制信息
• 解调输出：VCO 控制电压或 PFD 误差信号
• 主要用于测试和校准模式，非主要工作模式

时钟恢复与抖动清洁 — Banerjee

时钟恢复（Clock Recovery）：

• 使用 PLL 从数据信号中提取时钟
• 关键参数：PLL 带宽决定抖动容限和抖动传递特性
• Banerjee 讨论与 Gardner（PLL杂项应用）互补：Banerjee 侧重频率合成器芯片实现，Gardner 侧重系统级性能

抖动清洁（Jitter Cleaning）：

• 使用窄带 PLL（$F_c=10-100$ Hz）过滤输入时钟的高频抖动
• 输出使用 VCXO 获得极低相位噪声
• 应用：基站时钟、网络同步、测试设备

应用	推荐带宽	关键指标	Banerjee 处理	Gardner 处理
时钟恢复	$F_c\approx 1\%\times$ 数据率	抖动容限、锁定时间	芯片级实现	系统级架构
抖动清洁	$F_c=10-100$ Hz	抖动传递、holdover	VCXO+PLL 方案	多级级联分析

---

参考文献

1. Gardner, F. M. (2005). Phaselock Techniques (3rd ed.), Ch.16. John Wiley & Sons. [FM 阈值和 PLD clicks 的全面分析]
2. Rice, S. O. (1963). “Noise in FM Receivers.” In Time Series Analysis, M. Rosenblatt (ed.), Wiley. [click 理论经典]
3. Blanchard, A. (1976). Phase-Locked Loops: Application to Coherent Receiver Design. Wiley. [PLD 设计实践]
4. Banerjee, D. (2006). PLL Performance, Simulation, and Design (4th ed.), Ch.10. [PLL 调制/解调的芯片级实现]

---

相关页面

• PLL基本结构与传递函数 — 调制解调传递函数
• PLL跟踪性能 — 调制跟踪
• 加性噪声对PLL影响 — 周跳是 clicks 的根源
• 相位噪声对PLL影响 — 相位噪声限制解调质量
• PLL频率合成器 — 调制信号路径
• PLL杂项应用 — 调制解调的应用场景
• Gardner Phaselock Techniques 深度解析
• Dean Banerjee PLL Performance Simulation and Design 深度解析