Jitter 数值方法与 Matlab 仿真

仿真 jitter 需要输入指定的相位噪声谱→功率谱密度到时间序列的转换。时域仿真（Transient）直接生成含 jitter 的电压波形，频域方法（相位噪声叠加）更高效。Tail Fitting 算法是实现 RJ/DJ 分解的工业化标准方法。

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前后关系

前置知识：

• Jitter与Phase Noise关系 — 相位噪声谱密度
• Jitter统计分析与RJ-DJ分解 — RJ/DJ 统计概念
• Jitter与Phase Noise高级统计概念 — Allan 偏差、置信区间

本书内部链条：

• Ch.10 + App.B（本文）提供可执行的 Matlab 代码，应用于全书所有章节的仿真验证
• 推荐与 Ch.6-8 的应用章节配合使用

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方法概述

Jitter 数值模拟有三种主要方法：

方法	原理	适用场景	复杂度
时域叠加	在电压波形过零点叠加随机偏移	行为级仿真	低
相位噪声叠加	通过相位调制将相位噪声谱加载到载波	系统级仿真	中
积分法	从相位噪声 PSD 积分得到各种 jitter 统计量	分析/预算	低

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1. 生成指定相位噪声谱的 Jitter 样本

平坦相位噪声谱（白相位噪声）

• 相位噪声谱：$S_{\phi }(f)=S_0$（常数）
• 方法：生成均值为零、方差 ${\sigma }_a^2=S_0\cdot f_s/2$ 的高斯序列
• Matlab：

a = sigma * randn(N, 1);

低通/高通/带通相位噪声谱

• 将白噪声通过对应频率响应的 IIR/FIR 滤波器
• 低通：$|H(f){|}^2=1/(1+(f/f_c{)}^2)$
• 高通：$|H(f){|}^2=(f/f_c{)}^2/(1+(f/f_c{)}^2)$
• 带通：低通 + 单边带搬移

1/f² 相位噪声谱

振荡器白噪声区域产生 $1/f^2$（对应于频率白噪声）：

$$\mathcal{L}(\Delta f)=\mathcal{L}(\Delta f_0)-20{\log }_{10}(\Delta f/\Delta f_0)$$

Matlab 实现：

1. 在频域构造幅度谱 $A(f)\propto 1/f$
2. 加随机相位
3. IFFT → 时域序列

1/f 和 1/f³ 相位噪声谱

1/f 闪烁相位噪声：

• 频域幅度谱 $A(f)\propto 1/\sqrt{f}$
• 构造方法：
  1. 生成 Lenaic 序列法：对相邻频点相关进行特殊处理
  2. 或使用 FM → PM 关系间接生成

1/f³ 相位噪声（闪烁噪声上变区域）：

• 幅度谱 $A(f)\propto 1/f^{3/2}$
• 实现与 1/f 类似，但频谱斜率更陡

复合相位噪声谱

实际场景包含多个噪声源：

$$S_{\phi }(f)=S_{1/f^3}+S_{1/f^2}+S_{flat}+\sum _i{P}_i\delta (f-f_i)$$

实现步骤：

1. 分别生成各成分的时域序列
2. 线性叠加
3. 添加确定性杂散（正弦抖动）

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2. 从时间向量计算 Jitter

从过零点计算绝对 jitter

1. 定位电压波形过零点：$v(t_k)=0$ 且 $dv/dt>0$
2. 通过插值提高时间分辨率
3. 计算 $a_k=t_k-kT$

计算各类 jitter

% a: absolute jitter vector
% N: number of periods for N-period jitter
p = diff(a);                 % period jitter
pN = a(1+N:end) - a(1:end-N); % N-period jitter
cc = diff(p);                % cycle-to-cycle jitter

从 jitter 计算 RMS 和峰-峰值

mu = mean(a);
sigma = std(a);              % RMS
pp = max(a) - min(a);        % peak-peak (sample-based)
% Peak-peak at target BER (assuming Gaussian):
Q = 7.03;                    % BER = 1e-12
pp_ber = 2 * Q * sigma;

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3. 从 Jitter 样本计算相位噪声图

周期图法（Periodogram）：

N = length(a);
A = fft(a - mean(a));
S = (abs(A).^2) / (N * fs);  % Power spectral density
L_dB = 10*log10(S/2);        % SSB phase noise [dBc/Hz]
f = (0:N/2-1)' * fs / N;
 
% Convert to dBc/Hz
L_dBc = L_dB + 10*log10(1000); % If a is in seconds
plot(f, L_dBc);

注意事项：

• 需要足够的样本量（$N\gg f_s/f_{min}$）
• 加窗（Hanning/Blackman）减少频谱泄露
• 多段平均改善估计方差（Welch 法）

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4. Tail Fitting 算法

Tail Fitting 是工程中最常用的 RJ/DJ 分离方法：

原理

1. jitter 直方图的尾部主要由 RJ 贡献（DJ 有界，尾部不可见）
2. 分别对左尾和右尾拟合高斯分布
3. 从拟合提取 ${\sigma }_L$、${\mu }_L$（左）、${\sigma }_R$、${\mu }_R$（右）

算法步骤

1. 采集大量 jitter 样本（建议 > 100k）
2. 构建直方图
3. 从直方图左侧 10%-30% 范围拟合左高斯
4. 从直方图右侧 10%-30% 范围拟合右高斯
5. 提取参数：
   σ_RJ = (σ_L + σ_R) / 2（若对称）
   μ_L, μ_R → DJ = μ_R - μ_L
6. 计算 Total Jitter:
   TJ(BER) = DJ + 2Q(BER)·σ_RJ

Matlab 伪代码

% histogram data
[counts, edges] = histcounts(jitter_samples, Nbins);
 
% Left tail fitting (cumulative probability < 0.1)
left_tail_mask = cumprob < left_threshold;
[p_left, S_left] = fit_gaussian_tail(edges, counts, left_tail_mask);
 
% Right tail fitting (cumulative probability > 0.9)
right_tail_mask = cumprob > right_threshold;
[p_right, S_right] = fit_gaussian_tail(edges, counts, right_tail_mask);
 
% Extract
sigma_RJ = (p_left.sigma + p_right.sigma) / 2;
DJ = abs(p_right.mu - p_left.mu);
Q = 7.03;  % BER = 1e-12
TJ = DJ + 2 * Q * sigma_RJ;

精度考量

• 样本量：100k 样本 → TJ 估计精度约 ±5%
• 尾部阈值：选择过小（噪声）或过大（DJ 泄漏）都会降低精度
• 非对称 DJ：分离为 ${\text{DJ}}_L$ 和 ${\text{DJ}}_R$
• BER 外推：假设 RJ 完美高斯，否则外推会高估 TJ

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5. 附录 B Matlab 代码结构

本书 App.B 提供可直接运行的 Matlab 代码：

文件/函数	功能
generate_flat.m	白相位噪声 jitter 生成
generate_lowpass.m	低通相位噪声 jitter 生成
generate_1overf2.m	$1/f^2$ 相位噪声 jitter 生成
generate_1overf.m	$1/f$ 相位噪声 jitter 生成
generate_1overf3.m	$1/f^3$ 相位噪声 jitter 生成
generate_complex.m	复合相位噪声谱 jitter 生成
analyze_jitter.m	从时间向量计算各类 jitter
jitter2phasenoise.m	从 jitter 恢复相位噪声谱
tail_fitting.m	Tail Fitting RJ/DJ 分解

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参考文献

1. Da Dalt, N., & Sheikholeslami, A. (2018). Understanding Jitter and Phase Noise, Ch.10 & Appendix B. Cambridge University Press.
2. Kundert, K. (2006). “Predicting the Phase Noise and Jitter of PLL-Based Frequency Synthesizers.” The Designer’s Guide. [数值生成 PLL jitter]
3. Stephens, R. (2001). Jitter Analysis in High-Speed Digital Systems. Agilent Technologies. [Tail Fitting 标准方法]
4. Welch, P. D. (1967). “The Use of Fast Fourier Transform for the Estimation of Power Spectra.” IEEE Trans. Audio Electroacoust., 15(2), 70-73. [Welch 周期图法]

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