振荡器设计与相位噪声

振荡器是 PLL 中产生高频信号的核心部件，其相位噪声性能往往决定了 PLL 的整体质量。Leeson 模型提供直觉设计指导，ISF/LTV 分析提供严格的数学框架，VCO 调谐设计决定频率覆盖范围。基于 Gardner Phaselock Techniques Ch.9 提炼。

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前后关系

前置知识：

• PLL基本结构与传递函数 — VCO 在 PLL 中的作用
• 相位噪声对PLL影响 — 相位噪声谱、传播、集成
• 谐振器品质因数 Q 的基本概念

本书内部链条：

• Ch.9（本文）← Ch.7（相位噪声）— 相位噪声是振荡器性能的核心指标
• → PLL鉴相器（Ch.10）— 鉴相器与 VCO 共同构成 PLL

外部关联：

• 电路中的Jitter与Phase Noise — 电路级 VCO 相位噪声（DaDalt 视角）
• 无线系统中Phase Noise影响 — 无线系统对 VCO 相位噪声需求
• Jitter与Phase Noise关系 — 相位噪声→jitter 转换
• Jitter与Phase Noise高级统计概念 — Lorentzian 谱

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原理介绍

1. 振荡器所需属性（Gardner §9.1）

1. 低相位噪声（最重要）
2. 频率准确度与稳定性（温度、电源、老化）
3. 调谐范围（VCO 需覆盖目标频段）
4. 调谐线性度（避免非线性失真）
5. 低功耗
6. 工艺兼容性（集成度/面积）

Gardner 特别强调这些指标相互冲突（频率稳定性 vs 调谐范围、相位噪声 vs 功耗、调谐线性度 vs 覆盖范围等共 8 项权衡），设计前必须先按应用排序优先级：例如网络时钟用 VCXO（拉拽范围极小但相位噪声极低，锁定建立时间可达 µs 量级），而频率合成器用宽调谐 VCO。

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2. 振荡器分类（Gardner §9.2）

类型	频率范围	Q 值	相位噪声	可集成度
LC 振荡器	~GHz	5-20	中	好
环形振荡器	~GHz	~1	差	最好
晶体振荡器	~MHz	10⁴-10⁵	极好	差
介质谐振器	~GHz	100-1000	好	差
SAW 振荡器	~MHz	10³-10⁴	很好	差

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3. Leeson 模型（简化版）（Gardner §9.3）

Gardner 原式（(9.1)，含闪烁噪声项）

$$W_{\phi }(f)=\frac{2FkT}{P_s}\left(1+\frac{f_0^2}{4Q^2{f}^2}\right)\left(1+\frac{f_c}{|f|}\right)$$

最后一项 $(1+f_c/|f|)$ 描述有源器件 1/f 闪烁噪声上变频产生的 $f^{-3}$ 区。常用 dBc/Hz 形式：

$$\mathcal{L}(\Delta \omega )=10{\log }_{10}\left[\frac{FkT}{P_s}\left(1+{\left(\frac{{\omega }_0}{2Q\Delta \omega }\right)}^2\right)\right]\text{[dBc/Hz]}$$

其中：

• F：振荡器噪声因子（经验值，通常 2-10）
• kT：热噪声功率密度（-174 dBm/Hz）
• P_s：谐振器信号功率（dBm）
• Q：谐振器有载品质因数
• ω₀：振荡频率
• Δω：频率偏移

模型解读

Leeson 模型将相位噪声谱分为三个区域：

L(Δf) [dBc/Hz]
  ↑
  |  -6 dB/oct (1/f²区域)  ← 热噪声→AM→PM 转换
  |     \
  |      \ 平坦噪声基底     ← FkT/P_s
  |       \
  +-------------------→ log(Δf)

• 近端（Δf << f₀/2Q）：-6 dB/oct 滚降，由谐振器 Q 决定
• 远端（Δf >> f₀/2Q）：平坦，由噪声基底 FkT/P_s 决定
• 拐角频率：f_c = f₀/2Q

设计指导（Gardner §9.3.2）

• 增大信号功率 P_s → 降低噪声基底
• 增大 Q 值 → 降低近端相位噪声（以平方反比关系）
• 减小 F → 降低噪声基底

跨振荡器比较的归一化指标：直接比较不同频率振荡器的 $L(\Delta f)$ 不公平，Gardner 推荐归一化量 $10\log [W_{\phi }/f_o^2]$（消除载频因子后比较 Q 与功耗的真实贡献）。

示例谱（Gardner Fig. 9.1）：

• 晶体振荡器：近端极好（Q 极高），远端受限于噪声基底
• LC 振荡器：近端中等，远端受限于偏置电路
• 环形振荡器：整体差（Q ≈ 1）

Leeson 模型的不足（Gardner §9.3.4）

1. 未考虑闪烁（1/f）噪声的贡献
2. 忽略有源器件的非线性
3. 无法解释 AM→PM 转换的物理机制
4. 经验参数 F 缺乏严格定义
5. 对 Colpitts 等低噪声拓扑预测不准

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4. ISF/LTV 分析（Hajimiri-Lee）（Gardner §9.5.1）

核心思想

振荡器噪声注入对相位的影响取决于注入时刻的脉冲敏感函数（ISF, Impulse Sensitivity Function）Γ(ω₀t)。

$$\phi (t)={\int }_0^t\Gamma ({\omega }_0\tau )\cdot i_n(\tau )d\tau$$

其中 $i_n(\tau )$ 为注入噪声电流，$\Gamma (x)$ 为周期性 ISF。

ISF 特性

• Γ(x) 是周期为 2π 的周期函数，与振荡器波形相关
• 在过零点附近：ISF 最大（噪声最敏感）
• 在波峰/波谷附近：ISF ≈ 0（噪声不敏感）

LTV 相位噪声公式（Gardner §9.5.2）

$$\mathcal{L}(\Delta \omega )=10{\log }_{10}\left(\frac{{\sum }_i\overline{{\Gamma }_i^2}\cdot \overline{i_{n,i}^2}/\Delta f}{2q_{max}^2\Delta {\omega }^2}\right)$$

其中：

• $\overline{{\Gamma }_i^2}$：第 i 个噪声源 ISF 的均方值
• $\overline{i_{n,i}^2}/\Delta f$：第 i 个噪声源的 PSD
• $q_{max}$：谐振器最大电荷摆幅

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5. 非线性相位噪声分析（Gardner §9.5.2）

Demir 等人（2000）提出严格非线性分析：

• 自由运行振荡器相位为维纳过程 → 谱为 Lorentzian
• 与传统模型区别：Lorentzian 在 ω₀ 处有有限峰值（而非无限）
• PLL 锁定后：维纳行为被抑制，相位变为平稳随机过程

Lorentzian 半高全宽（FWHM）:

$$\Delta f_{FWHM}=\frac{c}{2\pi }=\frac{\pi f_0^2}{2Q^2}\cdot \frac{FkT}{P_s}$$

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6. 其他扰动

电源噪声（Gardner §9.6）

• 调制 VCO 变容管偏置 → 频率调制 → FM 噪声
• 通过稳压/LDO 抑制电源噪声对 VCO 的影响

衬底/基板噪声

• 数字电路开关噪声通过衬底注入 VCO
• 使用 Deep N-well / guard ring 隔离

牵引效应（Pulling）

• PA 输出信号通过衬底/电源反注入 VCO → 频率牵引
• 使用缓冲器隔离、对称布局

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7. VCO 调谐（Gardner §9.7-9.8）

连续调谐

• 变容二极管：反向偏置 PN 结电容
• MOS 变容管（A-MOS）：累积型 MOS 电容，调谐范围大
• BST 铁电变容器：高调谐比

调谐曲线 $f_{osc}(v_c)$：

• 期望线性：K_vco = ∂f_osc/∂v_c 为常数
• 实际非线性：K_vco 随 v_c 变化 → 环路增益变化 → 需在最坏条件下验证稳定性

离散调谐（Gardner §9.7.2）

• 电容阵列：开关 MIM/MOS 电容
• 电感切换：开关电感（大面积）
• 用途：覆盖宽频率范围而保持低 VCO 增益

KV 等值调谐：通过数字校准使 VCO 增益在不同频段一致。

调谐速度

• VCO 控制电压的建立时间受限于环路滤波器
• 快速跳频应用（频率合成器）需宽带前馈路径
• 注：VCO 本身的响应远快于环路

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8. 数字振荡器：NCO 与 DDS（Gardner §9.9）

数字 PLL（见 数字采样锁相环）中的振荡器用数字方式实现：

• NCO（数控振荡器）：相位累加器每时钟步进 $\Delta \varphi$，输出频率 $f_{out}=\Delta \varphi \cdot f_{clk}/2^b$（b 为相位字长）；正弦查表输出即为 DDS
• DDS（直接数字频率合成）：NCO + 正弦 ROM + DAC；优点：频率切换极快、分辨率极细（由 b 决定）；缺点：输出频率受 $f_{clk}/2$ 限制、杂散来自量化与 DAC 非线性
• RDSO（可再触发数字采样振荡器）：Gardner 提出的混合结构，用采样保持的模拟谐振回路叠加数字校正，兼具模拟谐振器的高 Q 与数字可控性

数字振荡器的”相位噪声”本质是量化噪声与参考时钟噪声的组合，与模拟振荡器的 Leeson 机制完全不同。

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参考文献

1. Gardner, F. M. (2005). Phaselock Techniques (3rd ed.), Ch.9. John Wiley & Sons.
2. Leeson, D. B. (1966). “A Simple Model of Feedback Oscillator Noise Spectrum.” Proc. IEEE, 54(2), 329-330.
3. Hajimiri, A., & Lee, T. H. (1998). “A General Theory of Phase Noise in Electrical Oscillators.” IEEE JSSC, 33(2), 179-194.
4. Demir, A., et al. (2000). “Phase Noise in Oscillators: A Unifying Theory.” IEEE Trans. CAD, 19(5), 655-674.
5. Lee, T. H. (2004). The Design of CMOS Radio-Frequency Integrated Circuits (2nd ed.). Cambridge. [Hajimiri-Lee 方法的教材]
6. Razavi, B. (1998). RF Microelectronics. Prentice Hall. [VCO 设计实践]

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📗 Sansen 补充（Ch.22 Design of Crystal Oscillators——Barkhausen 判据与单管振荡器设计）

Sansen Ch.22 覆盖晶体振荡器设计的完整流程，与 Gardner Ch.9 的 PLL 视角不同，专注于电路级振荡条件和单管振荡器实现。

1. Barkhausen 振荡判据

Sansen 复述 Barkhausen 准则：

$$|A(j\omega )F(j\omega )|\ge 1,{\Phi }_A+{\Phi }_F=0^{\circ }$$

即环路增益 ≥ 1 且总相移为 0°（正反馈）时产生振荡。

分裂分析法：

• $\text{Re}(Z_{circ}+Z_{res})=0$：设定最小增益条件
• $\text{Im}(Z_{circ}+Z_{res})=0$：设定振荡频率

2. 晶体谐振器模型

Sansen 给出晶体的等效电路模型：

参数	描述	典型值
$L_s$	动态电感	mH 量级
$C_s$	动态电容	fF 量级
$R_s$	等效串联电阻	10-100Ω
$C_p$	封装并联电容	pF 量级

• 串联谐振：${\omega }_s=1/\sqrt{L_s{C}_s}$
• 品质因数：$Q={\omega }_s{L}_s/R_s=1/({\omega }_s{C}_s{R}_s)$，极高（$10^4-10^6$）
• 基频：$f_s\approx 1.66/d$（MHz），其中 $d$ 为晶体厚度（mm）

3. 单管振荡器设计

Sansen 覆盖单晶体管振荡器的多种实现：

类型	反馈网络	特点
Colpitts	电容分压反馈	最常用，频率稳定
Pierce	晶体 + 电容	MCU 时钟最常用
Clapp	Colpitts 变体	频率可调
多谐振荡器	RC 定时	低频、精度低

4. MOST vs Bipolar 振荡器

• MOST 振荡器：使用 MOS 管的 $g_m$ 提供增益，$C_{gs}/C_{gd}$ 寄生电容影响振荡频率精度
• BJT 振荡器：$g_m=I_C/V_T$ 更易于预测，振荡幅度由 $I_C$ 和 LC 谐振阻抗决定

5. 晶体振荡器与其他振荡器的对比

类型	稳定性	功耗	频率范围	用途
晶体振荡器	极高（< 10ppm）	中	kHz-MHz	时钟基准
LC 振荡器	中（< 1000ppm）	高	MHz-GHz	RF/PLL
环形振荡器	差（> 1%）	低	MHz-GHz	PLL/DL
RC 振荡器	差	低	kHz-MHz	低频

Sansen vs Gardner：Gardner Phaselock Techniques §9 从 PLL 系统视角讨论 VCO 的相位噪声和调谐特性。Sansen Ch.22 从电路设计视角覆盖晶体振荡器的基础原理和单管实现，两者互补。

关联页：Sansen 模拟集成电路设计精粹 深度解析 §22

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📕 Razavi PLL 补充（Ch.1-6 振荡器基础到高级概念——CMOS 电路级设计全流程）

Razavi《Design of CMOS Phase-Locked Loops》(Cambridge, 2020) Ch.1-6 用 6 章篇幅系统覆盖振荡器 CMOS 电路设计，是全书最厚重的部分。与 Gardner Ch.9 的系统视角和 Sansen Ch.22 的晶体振荡器专题不同，Razavi PLL 从晶体管级推导振荡条件，以仿真驱动迭代设计为核心教学方法。

1. 振荡分析的三种方法（Ch.1 §1.3）

方法	描述	适用场景
开环法	断环计算 $H(j{\omega }_0)=-1$	反馈系统拓扑
初始条件法	施加初始条件，求闭环极点	LC 槽路分析
阻抗法	计算节点阻抗趋于 $\infty$	单端口振荡器

2. Barkhausen 起振条件与启动余量

$$|H(j{\omega }_0)|\ge 1,\angle H(j{\omega }_0)=180°$$

• $|H(j{\omega }_0)|=1$ 仅产生恒定幅度正弦（理想无损情形）
• 实际设计 $|H(j{\omega }_0)|>1$ 以确保 PVT 下仍能起振
• 非线性限制振幅增长：大信号下 $g_m$ 下降使平均环路增益回落至 1
• 直流正反馈问题：若低频也有正反馈且环路增益 > 1 → 闩锁（latch-up），振荡器设计必须保证低频为负反馈

3. 环形振荡器设计（Ch.1 §1.4 + Ch.3-4）

N 级 CS 环形振荡器（奇数级）：

$${\omega }_0=\frac{\tan (180°/N)}{R_D{C}_L},g_m{R}_D=\sqrt{{\tan }^2\frac{180°}{N}+1}$$

• $N=3$：$g_m{R}_D=2$，每级相移 $60°$，${\omega }_0=\sqrt{3}/(R_D{C}_L)$
• $N$ 增大 → 所需增益减小，${\omega }_0$ 降低

反相器环振（大信号分析）：$f_{osc}=1/(2N{T}_D)$，$T_D$ 为单级门延迟

相位噪声通用方程（Ch.3 §3.1）：

$$\mathcal{L}(\Delta f)=\frac{kT}{2P_{diss}}\cdot \frac{f_0^2}{Q^2\Delta f^2}\cdot F_{ring}$$

其中 $F_{ring}$ 为环形振荡器的噪声系数，$Q\approx 1$（等效品质因数极低）。

频率降低四法：(1) 增大 $C_L$；(2) 增加级数 $N$；(3) 增大晶体管 $L$（增大 $C_{gs}$）；(4) 分频

调谐方法：

• 连续调谐：可变电阻（线性度差）、变容管（调谐范围与线性度折衷）
• 离散调谐：开关电容阵列（数字控制，步进调谐）

供电噪声抑制（Ch.3 §3.7）：

• 电压调节：LDO 稳压，但增加面积和功耗
• 电流调节：尾电流源，抑制供电波动对频率的影响

差分环振（Ch.4）：

• 优势：共模噪声（电源/衬底）抑制
• 两级环振产生正交输出
• 线性缩放（Linear Scaling）：保持 $g_m{R}_D$ 不变按比例缩放
• LC 负载环振：混合拓扑兼具环振灵活性和 LC 的 $Q$ 值优势

4. LC 振荡器设计（Ch.1 §1.5 + Ch.5-6）

交叉耦合 LC 振荡器：

$$g_m{R}_p\ge 1(\text{起振条件})$$ $$V_{pp,diff}=\frac{8}{\pi }{I}_{SS}{R}_p(\text{完全切换时差分摆幅})$$

• 完全切换条件：$g_m{R}_p\ge \frac{\sqrt{2}\pi }{4}\approx 1.11$
• 输出 CM 电平 $\approx V_{DD}$（电感无 DC 压降）

负阻视角（单端口分析）：

$$\frac{V_t}{I_t}{|}_{X-Y}=-\frac{2}{g_m}$$

交叉耦合对产生负阻 $-2/g_m$，并联 $R_p$ 后若 $|-2/g_m|\le R_p$（即 $g_m{R}_p\ge 1$）则起振。

三点式振荡器（Colpitts）：

$$R_S=\frac{g_m}{C_1{C}_2{\omega }_0^2},{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{L_1\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}}}$$ $$g_m{R}_p=\frac{(C_1+C_2{)}^2}{C_1{C}_2}\ge 4(C_1=C_2\text{ 时最小})$$

与交叉耦合相比，Colpitts 需要更大的 $g_m{R}_p$，但可利用 $C_1$、$C_2$ 作为槽路电容。

5. LC 振荡器相位噪声深入（Ch.5）

Cyclostationary 噪声：振荡器中器件偏置周期性变化 → 噪声 PSD 被周期性调制（非平稳过程）。

Tail 噪声机制（Ch.5 §5.3）：

• Tail 热噪声（$1/f^2$ 区）：tail 电流噪声通过混频上变换到 ${\omega }_0$ 附近
• Tail 闪烁噪声（$1/f^3$ 区）：$1/f$ 噪声通过 ISF 的 DC 分量 ${\Gamma }_{dc}$ 上变换

$${\mathcal{L}}_{1/f^3}(\Delta \omega )\propto \frac{{\Gamma }_{dc}^2\cdot K_f}{C_{ox}WL\cdot \Delta {\omega }^3}$$

• $C_{tail}$ 效应（Ch.5 §5.4）：tail 节点电容 $C_{tail}$ 抑制二次谐波电压 → 减少 ${\Gamma }_{dc}$ → 降低 $1/f^3$ 噪声

6. 高级振荡器拓扑（Ch.6）

ISF 深入分析：

$$\Gamma ({\omega }_{0}t)=\frac{c_0}{2}+\sum _{k=1}^{\infty }{c}_k\cos (k{\omega }_{0}t+{\theta }_k)$$

• $c_0$（DC 分量）：决定 flicker 噪声上变换效率
• 对称波形 → $c_0=0$ → 抑制 $1/f^3$ 区
• 交叉耦合对的 ISF 在过零点最大、波峰处为零

互补交叉耦合对（Ch.6 §6.3）：

• NMOS + PMOS 并联，相同 $I_{SS}$ 下 $g_m$ 翻倍
• 或相同 $g_m$ 下 $I_{SS}$ 减半 → 功耗降低

Class-C 振荡器（Ch.6 §6.4）：

• 导通角 $<180°$，电流脉冲更窄
• ISF 加权更集中于过零点 → 相位噪声更优
• FoM 优于 Class-B（交叉耦合）2-3 dB

分频降噪（Ch.6 §6.5）：

$${\mathcal{L}}_{div}(\Delta f)={\mathcal{L}}_{osc}(\Delta f)-20\log N$$

理想分频器将相位噪声降低 $20\log N$ dB。

正交生成（Ch.6 §6.6）：

• 分频法：$f_0$ 振荡器 → 除 2 → $90°$ 相位差（需 $2f_0$ 振荡器）
• 耦合 LC 振荡器：两个 LC 振荡器弱耦合 → 自然锁定 $90°$ 相位差

7. VCO 数学模型（Ch.1 §1.6）

$${\omega }_{out}(t)={\omega }_0+K_{VCO}{V}_{cont}(t)$$ $$V_{out}(t)=V_0\cos \left({\omega }_{0}t+K_{VCO}{\int }_0^t{V}_{cont}(\tau )d\tau \right)$$

VCO 传递函数（excess phase 输出）：

$$\frac{{\Phi }_{ex}(s)}{V_{cont}(s)}=\frac{K_{VCO}}{s}$$

Razavi PLL vs Gardner vs Sansen vs Razavi Analog：

对比维度	Razavi PLL (Ch.1-6)	Gardner (Ch.9)	Sansen (Ch.22)	Razavi Analog (Ch.15)
振荡条件推导	三种方法系统推导	仅 Barkhausen	Barkhausen + 分裂法	简要
环形振荡器	2 章专论 (Ch.3-4)	无	无	简要
LC 相位噪声	cyclostationary + tail 噪声	Leeson + ISF 概述	无	Leeson 概述
ISF 分析	Ch.6 深入（Fourier 展开）	Ch.9 概述	无	无
设计方法	仿真驱动迭代	公式驱动	公式 + 经验	公式 + 例题
高级拓扑	Class-C、互补、分频	无	晶体振荡器	无

关联页：Razavi Design of CMOS PLLs 深度解析 Ch.1-6