Jitter 与 Phase Noise 关系

Phase Noise 是 Jitter 在频域的表示。时域中的绝对抖动 $a_k$ 对应频域中的 excess phase 功率谱密度 $S_{\phi }(f)$，两者之间通过傅里叶变换存在一一对应的双向转换关系。理解这一桥梁是系统级 jitter 分析与优化的前提。

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前后关系

前置知识：

• Jitter基本概念与定义 — 时域 jitter 定义
• Jitter统计分析与RJ-DJ分解 — 统计概念（PSD、方差）

本书内部链条：

• Ch.3（本文）是全书的核心理论桥梁：将时域 jitter 与频域相位噪声统一
• → Ch.4（电路中的Jitter与Phase Noise）从电路层面计算相位噪声
• → Ch.6-8 在各个应用中用相位噪声约束指导设计
• → Ch.9（Jitter与Phase Noise高级统计概念）给出通用双向转换方法

外部关联：

• CT-ΔΣ时间常数变化与时钟抖动 — CT-ΔΣ 时钟抖动分析的相位噪声基础
• CT-ΔΣ时钟抖动缓解与FIR反馈DAC — 抖动缓解需先理解抖动来源的频谱特性
• CT-ΔΣ调制 — CT-ΔΣ 的隐含反混叠与抖动敏感性

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原理介绍

时钟信号的相位描述

理想正弦时钟：

$$v(t)=A\sin ({\omega }_{0}t)$$

实际时钟：

$$v(t)=A\sin ({\omega }_{0}t+\phi (t))$$

其中 $\phi (t)$ 称为 excess phase（过剩相位），是 jitter 在相位域的表示。对于矩形时钟，可看作正弦通过过零比较器后的结果。

关键区别：

• 幅度调制 $A(t)$ 不改变过零点 → 不影响 jitter
• 相位调制 $\phi (t)$ 直接改变过零点 → jitter 的唯一来源

从 Excess Phase 到 Absolute Jitter

过零点发生在 ${\omega }_0{t}_k+\phi (t_k)=2\pi k$ 时。对于理想时钟 $kT=t_k^0$：

$$a_k=t_k-kT\approx -\frac{\phi (kT)}{{\omega }_0}$$

即绝对抖动 ≈ excess phase 除以角频率（线性近似）。

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核心公式

相位噪声定义

单边带相位噪声（IEEE 标准）：

$$\mathcal{L}(f)=10{\log }_{10}\left(\frac{S_{\phi }(f)}{2}\right)[\text{dBc/Hz}]$$

• $S_{\phi }(f)$：excess phase $\phi (t)$ 的功率谱密度（双边）
• $f$：偏离载波的频率偏移（offset frequency）
• 单位 dBc/Hz：相对于载波功率的 1Hz 带宽噪声功率

随机噪声 → Excess Phase

若 $v(t)=A\sin ({\omega }_{0}t)+n(t)$，其中 $n(t)$ 是功率谱密度 $S_n(f)$ 的加性噪声：

$$S_{\phi }(f)=\frac{2S_n(f_0+f)}{A^2}$$

物理意义：靠近载波的带内噪声通过相位调制转换为 excess phase，远离载波的噪声通过幅度调制被抑制。

调制 → Excess Phase

正弦抖动注入 $\phi (t)=\beta \sin (2\pi f_{m}t)$：

• 相位调制 → 载波两侧产生 $\pm f_m$ 边带
• 边带功率（dBc）= $20{\log }_{10}(\beta /2)$
• 此关系用于 jitter 注入校准和 CDR 容限测试

从 Phase Noise 到 Absolute Jitter

$${\sigma }_a^2=\text{Var}[a_k]=\frac{1}{{\omega }_0^2}{\int }_0^{\infty }{S}_{\phi }(f)df$$

从 Phase Noise 到 Period Jitter

$${\sigma }_p^2=\text{Var}[p_k]=\frac{2}{{\omega }_0^2}{\int }_0^{\infty }{S}_{\phi }(f)\cdot {\sin }^2(\pi fT)df$$

${\sin }^2$ 加权：低频相位噪声（$f\ll 1/T$）被差分运算（$p_k=a_{k+1}-a_k$ 对应的高通滤波）大幅衰减。

从 Phase Noise 到 N-Period Jitter

$${\sigma }_p^2(N)=\text{Var}[p_k(N)]=\frac{2}{{\omega }_0^2}{\int }_0^{\infty }{S}_{\phi }(f)\cdot \frac{{\sin }^2(\pi fTN)}{{\sin }^2(\pi fT)}\cdot {\sin }^2(\pi fT)df$$

关键性质：

• 低频区（$f\ll 1/NT$）：${\sigma }_p(N)\propto N$（累积增长）
• 高频区（$f\gg 1/NT$）：${\sigma }_p(N)$ 趋于常数（截止）
• PLL 带宽内噪声表现为低通，导致 ${\sigma }_p(N)$ 在 $N$ 超过 PLL 带宽倒数后饱和

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杂散（Spurious Tones）与 Jitter

确定性抖动（DJ）在相位噪声谱中表现为离散杂散：

$$S_{\phi }(f)=S_{\text{noise}}(f)+\sum _i\frac{P_i}{2}\delta (f-f_i)$$

• 杂散 $f_i$ 的 jitter 贡献：$a_{RMS,i}=\frac{\sqrt{P_i}}{{\omega }_0}$
• 多个杂散的总 jitter：$a_{RMS,total}=\frac{1}{{\omega }_0}\sqrt{\sum P_i}$

示例：Spread-Spectrum Clocking（SSC）

三角频率调制：

• 频率 $f_{OS}$ 以斜率 $\pm \Delta f/T_{mod}$ 周期性扫描
• 降低 EMI 峰值，但增加了 deterministic jitter
• 周期 jitter 呈线性变化，cycle-to-cycle jitter 保持常数

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频谱叠加（Superposition）

多个独立 jitter 源的相位噪声谱线性相加：

$$S_{\phi ,total}(f)=\sum _i{S}_{\phi ,i}(f)$$

时域 jitter 方差也线性相加：${\sigma }_{total}^2=\sum {\sigma }_i^2$

工程意义：系统设计时可将各噪声源的相位噪声预算独立分配后叠加。

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Phase Noise 典型区域

L(f) [dBc/Hz]
^
|   1/f³  |  1/f²  |  平坦（白噪声） |  → f [log]
| 闪烁    | 热噪声  | 噪声基底        |

各区域的 jitter 贡献：

• 闪烁噪声区：低频→对 absolute jitter 贡献大，对 period jitter 贡献小（${\sin }^2$ 抑制）
• 白噪声区：中高频→同时贡献 period 和 absolute jitter
• 噪声基底：高频→通过采样混叠折叠到带内

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参考文献

1. Da Dalt, N., & Sheikholeslami, A. (2018). Understanding Jitter and Phase Noise, Ch.3. Cambridge University Press.
2. IEEE Standard 1139-2008. “Definitions of Physical Quantities for Fundamental Frequency and Time Metrology.” [Phase noise 标准化定义]
3. Demir, A., Mehrotra, A., & Roychowdhury, J. (2000). “Phase Noise in Oscillators: A Unifying Theory and Numerical Methods for Characterization.” IEEE Trans. CAD, 19(6), 655-674.
4. Kundert, K. (2006). “Predicting the Phase Noise and Jitter of PLL-Based Frequency Synthesizers.” The Designer’s Guide.
5. Wolaver, D. H. (1991). Phase-Locked Loop Circuit Design. Prentice Hall. [PLL jitter / phase noise]

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相关页面

• Jitter基本概念与定义 — 时域定义
• Jitter统计分析与RJ-DJ分解 — 统计方法
• 电路中的Jitter与Phase Noise — 相位噪声的电路起源
• Jitter与Phase Noise高级统计概念 — Allan 偏差、Lorentzian 谱
• Jitter数值方法与Matlab仿真 — 数值生成与转换
• CT-ΔΣ时间常数变化与时钟抖动
• CT-ΔΣ时钟抖动缓解与FIR反馈DAC
• 相位噪声对PLL影响 — PLL 中相位噪声传播（Ch.7）
• PLL基本结构与传递函数 — PLL 传递函数（Ch.2）
• Gardner Phaselock Techniques 深度解析
• DaDalt Jitter and Phase Noise 深度解析
• Razavi Design of CMOS PLLs 深度解析

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📕 Razavi PLL 补充（Ch.2 Jitter/Phase Noise 导论——直觉理解与振荡器噪声机制）

Razavi《Design of CMOS Phase-Locked Loops》Ch.2 从直觉角度建立 Jitter 和 Phase Noise 的基本概念，与 DaDalt Ch.3 的严格频域-时域转换框架互补。

窄带 FM 近似的局限性

Razavi 指出窄带 FM 近似（$\mathcal{L}(f)\approx S_{\phi }(f)/2$）仅在小调制指数时成立。对于大 jitter 情形，边带功率不可忽略，需使用精确的 Bessel 函数展开。工程实践中通常直接测量 $S_{\phi }(f)$ 而非依赖 FM 近似。

Phase Noise 与功率折衷

$$\mathcal{L}(\Delta f)\propto \frac{1}{P_{diss}}$$

• 降低相位噪声必须增大功耗（增大信号功率）
• 环形振荡器：$\mathcal{L}\propto kT/(P_{diss}\cdot \Delta f^2)$，无 $Q$ 值优势
• LC 振荡器：$\mathcal{L}\propto kT/(P_{diss})\cdot (f_0/(2Q\Delta f){)}^2$，$Q$ 值平方优势

环形 vs LC 振荡器相位噪声机制对比

特性	环形振荡器	LC 振荡器
等效 $Q$	$\approx 1$	$5-20$
$1/f^2$ 区噪声	高（无谐振滤波）	低（$Q^2$ 改善）
$1/f^3$ 区来源	器件 flicker 直接调制延迟	ISF DC 分量上变换
FoM 典型值	155-165 dB	175-190 dB
供电敏感性	高（$f_{osc}\propto 1/V_{DD}$）	低（谐振器滤波）

Razavi vs DaDalt：DaDalt Ch.3 侧重相位噪声→jitter 的数学转换（积分公式/调制分析/杂散叠加）。Razavi Ch.2 侧重直觉理解和不同振荡器拓扑的噪声机制对比，两者互补。

关联页：Razavi Design of CMOS PLLs 深度解析 Ch.2