过采样数字滤波降噪

Pavan 教材 §2.3 展示了仅通过”过采样 + 数字低通滤波”即可降低带内量化噪声的效果。虽然其效率远不如噪声整形（每次 OSR 加倍仅提升 0.5 bit），但这一简单策略构成了理解 ΔΣ 调制器噪声整形的必要铺垫。

---

前后关系

上下文：在 §2.2（量化器理论与线性模型）建立了量化噪声模型后，§2.3 自然选择”通过数字滤波降低量化噪声”作为第一个探索方向。这一思路直接但效率有限，为随后 §2.4 中引入反馈噪声整形提供了动机。

后续章节：

• §2.4（反馈噪声整形与MOD1深度分析）通过负反馈实现更高效的噪声抑制
• ΔΣ调制器中的抽取与插值滤波（Ch.14）详细讨论抽取/插值滤波器的设计与实现

交叉引用：

• 过采样转换器需求（Ch.1）从系统层面解释为何需要过采样
• ΔΣ调制器性能FoM评比不同转换器的效率

---

原理介绍

问题提出

经过 §2.2 的量化后，数字信号 $\tilde{x}[n]$ 和原始信号 $x[n]$ 之间的均方误差为 ${\sigma }_e^2={\Delta }^2/12$。若源信号 $x[n]$ 是高度过采样的（即 $OSR\gg 1$），能否利用相邻样本的高度相关性来更好地估计 $x[n]$？

直觉：由于输入缓慢变化，可对 $\tilde{x}[n]$ 做”平滑”（低通滤波）来抑制量化噪声的高频分量，从而获得对 $x[n]$ 的更优估计。

方法

对量化后的数字序列 $\tilde{x}[n]$ 施加数字低通滤波器，截止频率为 $\pi /OSR$：

• 信号 $x[n]$ 的频谱局限在 $[-\pi /OSR,\pi /OSR]$，几乎不受滤波器影响
• 量化噪声的频谱覆盖整个 $[-\pi ,\pi ]$，滤波器滤除了带外部分

带内噪声功率计算

假定量化噪声为白噪声，双边功率谱密度：

$$S_e(f)=\frac{{\sigma }_e^2}{f_s}=\frac{{\Delta }^2}{12f_s}$$

经过截止频率为 $B$ 的理想低通滤波器后，带内噪声功率为：

$${\sigma }_q^2={\int }_{-B}^B{S}_e(f)df=\frac{{\Delta }^2}{12f_s}\cdot 2B=\frac{{\Delta }^2}{12}\cdot \frac{2B}{f_s}=\frac{{\Delta }^2}{12}\cdot \frac{1}{OSR}$$

因此，带内量化噪声降低了 OSR 倍。

SQNR 改善

$$SQN{R}_{\text{OS}}=10{\log }_{10}\left(\frac{3}{2}\cdot 2^{2N}\cdot OSR\right)=6.02N+1.76+10{\log }_{10}(OSR)\text{dB}$$

每次 OSR 加倍：$10{\log }_{10}(2)\approx 3\text{dB}$，对应 0.5 bit 分辨率提升。

---

抽取滤波器（Decimation Filter）

过采样系统的数字后处理包含两个步骤：

1. 数字低通滤波：滤除带外量化噪声
2. 抽取（Downsampling）：将采样率降低 $OSR$ 倍，恢复奈奎斯特率

二者合称抽取滤波器（decimation filter）。

代价：数字滤波器需要以 $f_s$ 的高速运行，功耗和面积随 OSR 增加。

---

与噪声整形的对比

方法	带内噪声功率	每倍 OSR 改善	等效位数提升
纯过采样	$\propto OS{R}^{-1}$	3 dB	0.5 bit
一阶 ΔΣ 噪声整形	$\propto OS{R}^{-3}$	9 dB	1.5 bit
二阶 ΔΣ 噪声整形	$\propto OS{R}^{-5}$	15 dB	2.5 bit

纯过采样的效率极低——要达到 16 bit 精度，若 $N=1$（单 bit 量化器），需 $OSR$ 使 $10{\log }_{10}(OSR)=6.02\times 15+1.76-1.76\approx 90$ dB，即 $OSR\approx 10^9$——完全不可行。这正是噪声整形（§2.4）的必要性所在。

---

关键洞察

1. 纯过采样将”精度”转换为”速度”：以更快的采样率换取模拟元件的精度放松——这是 ΔΣ 架构的根本哲学
2. 数字滤波器的角色：过采样系统的性能不仅取决于调制器本身，还取决于后续数字滤波器的设计质量（参见 ΔΣ调制器中的抽取与插值滤波）
3. OSR 作为设计自由度：OSR 越高，调制器设计的压力越小，但数字处理代价越大——存在系统级最优权衡
4. “0.5 bit/倍频”的局限性：这一低效率是驱动噪声整形技术发展的根本动力

---

参考文献

1. J. C. Candy, “Decimation for sigma delta modulation,” IEEE Trans. Communications, vol. 34, no. 1, pp. 72-76, 1986.
2. R. M. Gray and D. L. Neuhoff, “Quantization,” IEEE Trans. Information Theory, vol. 44, no. 6, pp. 2325-2383, 1998.