反馈噪声整形与MOD1深度分析

Pavan 教材 §2.4 是全书理论的核心——将量化器嵌入负反馈环路，用频率相关增益（积分器）在信号频段提供无穷大环路增益，从而实现量化噪声的”整形”。这是 ΔΣ 调制器与纯过采样转换器的本质区别所在。

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前后关系

上下文：§2.3（过采样数字滤波降噪）展示纯过采样仅能提供 0.5 bit/倍频的极低效率。§2.4 引入负反馈，将效率提升至 1.5 bit/倍频。

后续章节：

• §2.5-2.6（MOD1非线性行为与空闲音）揭示线性模型的局限性
• Ch.3（二阶ΔΣ调制器MOD2原理、MOD2仿真与有效量化器增益、MOD2非线性效应与谐波失真、MOD2稳定性与死区分析、MOD2替代架构、广义二阶结构与最优NTF设计）在 MOD1 基础上扩展到二阶，实现 2.5 bit/倍频
• 高阶ΔΣ调制器与NTF（Ch.4）进一步推广到 L 阶：高阶ΔΣ调制器稳定性与MSA 揭示失稳机制、高阶ΔΣ调制器NTF系统化设计 提供 Butterworth 设计法、高阶NTF零点优化与Bode积分 证明带内/带外权衡的必然性
• Ch.5（多级ΔΣ调制器与Leslie-Singh结构、MASH级联ΔΣ调制器原理、MASH噪声泄漏与失配效应、Sturdy-MASH鲁棒级联架构、噪声耦合ΔΣ架构、分裂与交叉耦合ΔΣ调制器）用多级级联替代单环路

交叉引用：

• 一阶ΔΣ调制器（Ch.1）从类比角度介绍了 MOD1 的基本操作
• $h[0]=1$ 约束是理解所有 ΔΣ 调制器设计的基础
• 本征线性特性使得单 bit ΔΣ 在高精度应用中极具吸引力

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原理介绍

反馈放大器类比

考虑一个负反馈放大器，$e$ 为放大器输出噪声：

$$\nu =\frac{A}{1+A}u+\frac{1}{1+A}e$$

当 $A\to \infty$ 时，$\nu \to u$，噪声被完全消除。看似可通过大增益 $A$ 消除量化噪声。

“Catch-22”——全频段消噪不可行

如图 2.21 所示，物理可实现反馈环路必须至少包含一个采样延迟 $z^{-1}$（量化器需要时间完成转换）：

$$V(z)=\frac{A}{1+A{z}^{-1}}U(z)+\frac{1}{1+A{z}^{-1}}E(z)$$

稳定约束：极点 $z_p=-A$ 必须在单位圆内 $\Rightarrow A<1$。

矛盾：需要 $A\gg 1$ 抑制噪声，但 $A<1$ 才能稳定——Catch-22。

频率相关增益——积分器解

关键洞察：输入信号 $u$ 是带限的（$\omega \in [-\pi /OSR,\pi /OSR]$），因此不需要在所有频率上抑制噪声——只需在信号频段内。

将频率无关增益 $A$ 替换为积分器（dc 增益无穷大）：

$$A(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}$$

代入反馈系统分析：

$$\begin{array}{rl}V(z)& =\frac{A(z)}{1+A(z)z^{-1}}U(z)+\frac{1}{1+A(z)z^{-1}}E(z)\\ & =\frac{1/(1-z^{-1})}{1+z^{-1}/(1-z^{-1})}U(z)+\frac{1}{1+z^{-1}/(1-z^{-1})}E(z)\\ & =z^{-1}U(z)+(1-z^{-1})E(z)\end{array}$$

MOD1 的传递函数

• 信号传递函数（STF）：$STF(z)=z^{-1}$——纯延迟，信号无失真通过
• 噪声传递函数（NTF）：$NTF(z)=1-z^{-1}$——一阶高通特性，dc 处零点

NTF 幅频响应

$$|NTF(e^{j\omega }){|}^2=|1-e^{-j\omega }{|}^2=4{\sin }^2(\omega /2)$$

• dc 处（$\omega =0$）：$|NTF|=0$
• $f_s/2$ 处（$\omega =\pi$）：$|NTF|=2$
• 低频近似（$\omega \ll 1$）：$|NTF|\approx \omega$

带内噪声功率（IBN）推导

白噪声假设下，$S_e(\omega )={\Delta }^2/(12\pi )$（单边，归一化频率）：

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_q^2& =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi /OSR}{S}_e(\omega )\cdot |NTF(e^{j\omega }){|}^{2}d\omega \\ & =\frac{{\Delta }^2}{12\pi }{\int }_0^{\pi /OSR}4{\sin }^2(\omega /2)d\omega \\ & \approx \frac{{\Delta }^2}{12\pi }{\int }_0^{\pi /OSR}{\omega }^{2}d\omega (\text{小角近似})\\ & =\frac{{\Delta }^2}{12\pi }\cdot \frac{{\pi }^3}{3\cdot OS{R}^3}\\ & =\frac{{\Delta }^2}{12}\cdot \frac{{\pi }^2}{3}\cdot \frac{1}{OS{R}^3}\end{array}$$

MOD1 的 SQNR

对 $M$ 电平量化器（步长 $\Delta =2$）：

$$SQNR=10{\log }_{10}\left(\frac{9M^{2}OS{R}^3}{2{\pi }^2}\right)$$

每次 OSR 加倍 ⇒ 9 dB 改善 ⇒ 1.5 bit 分辨率提升。

$h[0]=1$ 约束

NTF 的冲激响应 $h[n]$ 满足 $h[0]=1$。原因：因果反馈环路中，量化器的输出 $\nu [n]$ 在 $n=0$ 时刻立即受到 $e[0]$ 影响，而环路滤波器的输出在 $n=0$ 时刻必须为零（不允许延迟无关环路）。

$$NTF(z)=h[0]+h[1]z^{-1}+h[2]z^{-2}+\cdots$$

令 $z\to \infty$：

$$NTF(\infty )=h[0]=1$$

这是任何物理可实现 ΔΣ 调制器都必须遵守的基本约束。

此外，由于 $NTF(1)=0$（dc 零点），${\sum }_{n=0}^{\infty }h[n]=0$。

总量化噪声功率

噪声整形后，总噪声功率（全频段）增加：

$${\sigma }_{\nu }^2=\frac{{\Delta }^2}{12}{\int }_0^{\pi }|NTF(e^{j\omega }){|}^2\frac{d\omega }{\pi }=\frac{{\Delta }^2}{12}\sum _{n=0}^{\infty }{h}^2[n]>\frac{{\Delta }^2}{12}$$

对于 MOD1：$h[n]=\{1,-1,0,0,\dots \}$，$\sum h^2[n]=2$，因此 ${\sigma }_{\nu }^2=2\cdot {\Delta }^2/12$。噪声被”推出”带外。

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积分器有限增益的影响（§2.4.1）

实际积分器 dc 增益 $A$ 有限：

$$L_0(z)=\frac{p{z}^{-1}}{1-p{z}^{-1}},p=\frac{A}{1+A}$$

修正 NTF：

$$NTF(z)=1-p{z}^{-1}$$

NTF 零点从 $z=1$ 移到 $z=p$（单位圆内），导致 dc 处 NTF 增益非零：

$$|NTF(e^{j0})|=1-p=\frac{1}{A+1}$$

当 $A\gg OSR$ 时，额外噪声小于 1.2 dB，通常可接受。但对 MASH 架构（Ch.5）影响严重。

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ADC 与 DAC 非理想性对 MOD1 的影响（§2.4.2）

量化器在物理上由 ADC + DAC 级联实现：

• ADC 阈值误差（$e_{adc}$）：出现在量化器输入端，被环路整形——无害
• DAC 电平误差（$e_{dac}$）：出现在反馈路径中，与输入 $u$ 不可区分——有害

这是负反馈系统的基本性质：STF 由反馈元件决定，前向路径的非理想性被环路增益抑制。

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单 bit MOD1 的本征线性（§2.4.3）

对于单 bit 量化器，DAC 仅有 ±1 两个输出电平——两点确定一条直线，不存在非线性失真。这是单 bit ΔΣ 调制器最珍贵的特性。

ADC 阈值偏移导致等效输入失调，DAC 电平失配导致增益误差和输入失调——均为良性影响（不产生谐波失真）。

代价：单 bit 量化器需要更高 OSR 才能达到目标 SQNR。

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关键洞察

1. Catch-22 是 ΔΣ 架构设计的核心约束：全频段消噪不可能 ⇒ 必须利用信号带限特性
2. 积分器是 ΔΣ 的灵魂：dc 无穷增益保证 NTF 零点在 dc，是实现噪声整形的必要条件
3. $h[0]=1$ 约束贯穿全书：所有 NTF 设计（Ch.4）都必须满足这一基本条件
4. DAC 非线性不可整形：这是多 bit ΔΣ 必须搭配失配整形（Ch.6）的根本原因
5. 单 bit 的本征线性：以 OSR 换取线性度，是低中速高精度 ΔΣ 的主流选择

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📙 Rosa 补充（Ch.1 NTF/STF 统一推导与 DR 公式）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.1 对噪声整形理论增加了工程视角的统一推导。

NTF/STF 的通用闭环公式

Rosa 从图 1.12b 的线性模型出发，给出通用闭环表达式：

$$\text{STF}(z)=\frac{k_{q}H(z)}{1+k_{q}H(z)},\text{NTF}(z)=\frac{1}{1+k_{q}H(z)}$$

其中 $k_q$ 为量化器增益，$H(z)$ 为环路滤波器。

关键设计准则：若 $|H(f)|\gg 1$（信号带内），则 $|\text{STF}(f)|\approx 1$ 且 $|\text{NTF}(f)|\ll 1$。

$L$ 阶噪声整形 IBN 的严格推导

Rosa 给出 $L$ 阶纯微分 NTF 的 IBN 闭合公式：

$$\text{IBN}={\int }_{-B_w}^{+B_w}{S}_E|\text{NTF}(f){|}^{2}df\approx \frac{{\Delta }^2{\pi }^{2L}}{12(2L+1){\text{OSR}}^{2L+1}}$$

其中低频近似 $|\text{NTF}(f)|\approx (2\pi f/f_s{)}^L$。

DR 公式的统一形式

结合最大信号功率 $P_{sig,max}\approx 2^{2N-3}{\Delta }^2$，Rosa 给出：

$$\text{DR(dB)}\approx 6.02N+1.76+10{\log }_{10}\left(\frac{2L+1}{{\pi }^{2L}}{\text{OSR}}^{2L+1}\right)$$

每增加 1 bit → +6 dB；每倍频 OSR → $+3(2L+1)$ dB = $(L+0.5)$ bit/倍频。

增量 $L$ 时的 DR 提升：

$$\Delta \text{DR(dB)}\approx 10{\log }_{10}\left[\frac{2L+3}{2L+1}{\left(\frac{\text{OSR}}{\pi }\right)}^2\right]$$

实例：4 阶 ΣΔM 在 OSR=32 时比 3 阶高 21.3 dB（3.5 bit）。

差异定位：Pavan Ch.2 从 MOD1 的时域分析出发，强调 $h[0]=1$ 约束与本征线性；Rosa 从频域出发，给出通用 NTF/STF 闭环公式和 DR 统一表达式，更适合快速设计估算。

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参考文献

1. J. C. Candy, “A use of limit cycle oscillations to obtain robust analog-to-digital converters,” IEEE Trans. Communications, vol. 22, no. 3, pp. 298-305, 1974.
2. J. C. Candy and O. J. Benjamin, “The structure of quantization noise from sigma-delta modulation,” IEEE Trans. Communications, vol. 29, no. 9, pp. 1316-1323, 1981.
3. H. Inose, Y. Yasuda, and J. Murakami, “A telemetering system by code modulation-Δ modulation,” IRE Trans. Space Electronics and Telemetry, vol. SET-8, pp. 204-209, 1962.