噪声整形与抖动优势时域分析

本章（Brandonisio & Kennedy Ch.5）在不依赖白噪声近似的前提下，严格证明了一阶 ΣΔ 调制器+移动平均滤波器的时域精度始终优于量化器+移动平均滤波器。通过引入 dither 信号并建立 max|y-x| 和 [−3σ, 3σ] 区间两种精度度量，量化揭示了噪声整形和 dither 整形阶数对系统精度的定量影响。

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前后关系

前置知识：

• 反馈噪声整形与MOD1深度分析 — ΣΔ 调制器基本原理与 NTF
• 过采样数字滤波降噪 — 移动平均滤波器的频域特性
• 量化器理论与线性模型 — 量化误差的区间分布

外部关联：

• ADPLL相位噪声解析预测 — 噪声整形 TDC 的频域相噪分析
• TDC架构统一框架与VernierΣΔ方法 — 噪声整形 TDC 的架构实现
• Jitter基本概念与定义 — 抖动与精度的基本定义

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原理介绍

1. 问题设定

考虑如图 5.1 所示的两个系统：

• 系统 A：量化器 + 移动平均滤波器（Quantizer + MAF）
• 系统 B：一阶 ΣΔ 调制器 + 移动平均滤波器（ΣΔ + MAF）

两系统均在输入端叠加 dither 信号 $d_{\text{tr}}[n]$，$d_{\text{tr}}[n]$ 在 $[-{\Delta }_d/2,{\Delta }_d/2]$ 上均匀分布且为白噪声。

目标：在输入 $i_{\text{in}}[n]$ 相同条件下，比较两系统的输出精度。

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2. Dither 的噪声整形

Dither 信号经过一个时域操作模块 $h^{(\text{dtr})}[n]$，本文考虑两种情形：

• 零阶整形 dither：

- **一阶整形 dither**（一阶差分）： $$h_{\text{dtr1}}[n] = \delta[n-1] - \delta[n] \tag{5.2}

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3. 移动平均滤波器

移动平均滤波器的冲激响应为：

$$h_{\text{avg}}[n]=\frac{1}{N_{\text{avg}}}\sum _{i=0}^{N_{\text{avg}}-1}\delta [n-i]\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

其中 $N_{\text{avg}}$ 为平均窗口长度。

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4. 量化器与 ΣΔ 调制器的统一表示

量化器输出：

$$o_{\text{q}}[n]=\text{floor}(i_{\text{q}}[n])\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

量化误差：

$$e_{\text{q0}}[n]=i_{\text{q}}[n]-o_{\text{q}}[n]\in [0,1]\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

一阶 ΣΔ 调制器输出：

$$o_{\text{q}}[n]=\text{floor}(i_{\text{q}}[n]+e_{\text{q1}}[n-1])\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

其中量化误差满足：

$$e_{\text{q1}}[n]=i_{\text{q}}[n]+e_{\text{q1}}[n-1]-o_{\text{q}}[n]\in [0,1]\text{\hspace{1em}(5.7)}$$

统一表达式：

$$o_{\text{q}}[n]=i_{\text{q}}[n]-H_{\text{ns}}\{e_{\text{q}}[n]\}\text{\hspace{1em}(5.10)}$$

其中 $H_{\text{ns}}$ 是噪声整形算子，其冲激响应为：

• 量化器（零阶整形）：$$h_{\text{ns0}}[n] = \delta[n] \tag{5.11}

- 一阶 ΣΔ 调制器（一阶整形）：$$h_{\text{ns1}}[n] = \delta[n-1] - \delta[n] \tag{5.12}

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5. 四种系统配置

根据 dither 整形阶数（$h_{\text{dtr}}$）和噪声整形阶数（$h_{\text{ns}}$）的组合，得到四种系统配置：

$h_{\text{dtr}}[n]$	$h_{\text{ns}}=\delta [n]$（量化器）	$h_{\text{ns}}=\delta [n-1]-\delta [n]$（ΣΔ）
$\delta [n]$（零阶 dither）	量化器 + 零阶整形 dither	一阶 ΣΔ + 零阶整形 dither
$\delta [n]-\delta [n-1]$（一阶 dither）	量化器 + 一阶整形 dither	一阶 ΣΔ + 一阶整形 dither

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6. 最大差值的严格推导（关键证明）

核心推导：当一阶差分 + 移动平均滤波器的输入 $y[n]\in [y_{\text{min}},y_{\text{max}}]$，其输出范围为：

$$y_{\text{avg}}[n]=\frac{1}{N_{\text{avg}}}(y[n]-y[n-N_{\text{avg}}])\text{\hspace{1em}(5.18)}$$

因此输出落在 $[(y_{\text{min}}-y_{\text{max}})/N_{\text{avg}},(y_{\text{max}}-y_{\text{min}})/N_{\text{avg}}]$ 内，区间大小为 $2(y_{\text{max}}-y_{\text{min}})/N_{\text{avg}}$。

Table 5.2：$|i_{\text{n,avg}}-o_{\text{ut,avg}}|$ 最大差值

Dither 整形	量化器（零阶噪声整形）	一阶 ΣΔ 调制器
零阶整形 dither	$1+{\Delta }_d$	$\frac{2}{N_{\text{avg}}}+{\Delta }_d$
一阶整形 dither	$1+\frac{2{\Delta }_d}{N_{\text{avg}}}$	$\frac{2}{N_{\text{avg}}}+\frac{2{\Delta }_d}{N_{\text{avg}}}=\frac{2(1+{\Delta }_d)}{N_{\text{avg}}}$

关键结论：当 $N_{\text{avg}}>2$ 时，ΣΔ + 移动平均的最大差值始终小于量化器 + 移动平均。

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7. 统计精度比较（99.7% vs 100% 区间）

7.1 Dither 贡献的分布

零阶整形 dither 经移动平均后：

• 根据中心极限定理，$d_{\text{avg}}[n]$ 近似高斯分布（$N_{\text{avg}}\ge 5$）
• 方差：$$\sigma_{d_{\text{avg}}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_{\text{avg}}} \tag{5.19}

- 其中：$$\sigma_d = \frac{\Delta_d}{\sqrt{12}} \tag{5.20}

• $99.7\%$ 的数据落在 $[-\frac{3{\Delta }_d}{\sqrt{12N_{\text{avg}}}},\frac{3{\Delta }_d}{\sqrt{12N_{\text{avg}}}}]$ 内

一阶整形 dither 经一阶差分 + 移动平均后：

• $100\%$ 的数据严格落在 $[-\frac{{\Delta }_d}{N_{\text{avg}}},\frac{{\Delta }_d}{N_{\text{avg}}}]$ 内

7.2 量化误差贡献的分布

系统	量化误差区间（经移动平均后）
量化器 + 移动平均	$99.7\%$ 在 $[0.5-\frac{3}{\sqrt{12N_{\text{avg}}}},0.5+\frac{3}{\sqrt{12N_{\text{avg}}}}]$
一阶 ΣΔ + 移动平均	$100\%$ 在 $[-\frac{1}{N_{\text{avg}}},+\frac{1}{N_{\text{avg}}}]$

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8. 核心结论

1. ΣΔ 始终优于量化器：当 $N_{\text{avg}}>10$ 时，一阶 ΣΔ 的 $100\%$ 精度区间小于量化器的 $99.7\%$ 区间
2. 一阶整形 dither 优势：当 $N_{\text{avg}}\ge 5$ 时，一阶整形 dither 的精度优于零阶整形 dither（无需高斯假设）
3. 不依赖白噪声近似：最大差值分析（Table 5.2）仅要求 $d_{\text{tr}}[n]$ 和 $e_{\text{q}}[n]$ 在各自的区间内——无需任何分布假设
4. 统计精度随 $N_{\text{avg}}$ 改善：
   • 最大差值：以 $1/N_{\text{avg}}$ 衰减（一阶整形）
   • $3\sigma$ 区间：以 $1/\sqrt{N_{\text{avg}}}$ 衰减（零阶整形）
   • ΣΔ + 一阶 dither：同时获得两种优势

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关键设计洞察

1. 噪声整形的时域代价：ΣΔ 调制器虽然提高了精度，但引入了空闲音（idle tones），需要通过 dither 抑制
2. Dither 整形阶数的选择：一阶整形 dither 提供严格边界（$100\%$），优于零阶（$99.7\%$），且不受高斯近似限制
3. 适用于 TDC 设计：该分析为噪声整形 TDC（如 GRO-TDC）的时域精度提供了理论保证
4. 精度与 $N_{\text{avg}}$ 的定量关系：为 ΣΔ+TDC 系统的过采样率选择提供直接设计指导

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参考

• Brandonisio Noise-Shaping ADPLLs 深度解析 — 来源页，Ch.5
• 反馈噪声整形与MOD1深度分析 — ΣΔ 调制器基本原理
• TDC架构统一框架与VernierΣΔ方法 — 噪声整形 TDC 架构
• ADPLL相位噪声解析预测 — 噪声整形 TDC 的频域相噪分析
• Schreier, R., & Temes, G. C. (2005). Understanding Delta-Sigma Data Converters. IEEE Press.