PLL 基本结构与传递函数

锁相环（PLL）的核心由鉴相器（PD）、环路滤波器（LF）和压控振荡器（VCO）三要素构成。其传递函数以相位为输入/输出变量，是理解 PLL 所有线性行为的数学基础。本章基于 Gardner Phaselock Techniques Ch.1-2 提炼。

前后关系

前置知识：

拉普拉斯变换与傅里叶变换基础
基本反馈控制理论

本书内部链条：

PLL 基本结构与传递函数（本文，Ch.1-2）→ PLL图形化分析与稳定性判据（Ch.3）— 传递函数用于根轨迹/Bode 图
→ PLL跟踪性能（Ch.5）— 传递函数决定跟踪行为
→ 加性噪声对PLL影响（Ch.6）— 传递函数决定噪声带宽
→ 相位噪声对PLL影响（Ch.7）— 传递函数决定相位噪声传播

外部关联：

Wireline系统中Jitter与CDR — CDR 的 PLL 线性模型、传递函数与本文内容直接对应
电路中的Jitter与Phase Noise — VCO 模型在传递函数中体现为 1/s 积分
Jitter与Phase Noise关系 — 相位噪声谱通过传递函数在 PLL 中传播
DaDalt Jitter and Phase Noise 深度解析 — jitter 定义与相位模型

原理介绍

PLL 三大要素

PLL 的基本结构（Gardner Fig. 1.1）：

θ_i ──→(+)──→ [PD] ─→ [LF] ─→ [VCO] ──→ θ_o
         ↑                      |
         └──────────────────────┘

PD（Phase Detector）：鉴相器，比较输入相位 θ_i 与 VCO 相位 θ_o 的差值，输出误差电压 v_d = K_d(θ_i - θ_o)，K_d 单位为 V/rad
LF（Loop Filter）：环路滤波器，对 v_d 进行滤波/补偿，建立环路动态特性，输出控制电压 v_c，传递函数 F(s)
VCO（Voltage-Controlled Oscillator）：压控振荡器，频率由控制电压调制 dθ_o/dt = K_o·v_c，K_o 单位为 rad/s·V，因此 θ_o(s) = K_o·V_c(s)/s

三种基本传递函数

开环传递函数（Open-loop）：

G (s) = \frac{θ _{o} ( s )}{θ _{e} ( s )} = \frac{K _{d} K _{o} F ( s )}{s}

闭环系统传递函数（System/Closed-loop）：

H (s) = \frac{θ _{o} ( s )}{θ _{i} ( s )} = \frac{G ( s )}{1 + G ( s )} = \frac{K _{d} K _{o} F ( s )}{s + K _{d} K _{o} F ( s )}

误差传递函数（Error）：

E (s) = \frac{θ _{e} ( s )}{θ _{i} ( s )} = \frac{1}{1 + G ( s )} = 1 - H (s) = \frac{s}{s + K _{d} K _{o} F ( s )}

特征方程

1 + G (s) = 0

特征方程的根（即闭环极点）决定了 PLL 的动态稳定性和瞬态响应。

单位与一致性

相位也可用 cycle（ε）或时间（τ）表示：ε = τ/T_s, θ = 2πτf_s
相检增益可用 K_p（V/cycle）：K_p = 2πK_d
VCO 增益可用 K_v（Hz/V）：K_v = K_o/2π
关键：K_d K_o = K_p K_v，乘积始终一致

二阶 Type 2 PLL

环路滤波器

使用有源 PI 滤波器（Gardner Fig. 2.2a）：

F (s) = - \frac{s τ _{2} + 1}{s τ _{1}}, τ_{1} = R_{1} C, τ_{2} = R_{2} C

或等效的双路径 P+I 结构（Fig. 2.2b）：

F (s) = K_{1} + \frac{K _{2}}{s}

其中 $K_{1} = τ_{2} / τ_{1}$ ， $K_{2} = 1/ τ_{1}$ 。

系统传递函数

H (s) = \frac{K _{d} K _{o} ( s τ _{2} + 1 ) / τ _{1}}{s ^{2} + s K _{d} K _{o} τ _{2} / τ _{1} + K _{d} K _{o} / τ _{1}} = \frac{2 ζ ω _{n} s + ω _{n}^{2}}{s ^{2} + 2 ζ ω _{n} s + ω _{n}^{2}}

环路参数

无阻尼自然频率（Natural Frequency）：

ω_{n} = \frac{K _{d} K _{o}}{τ _{1}} = K_{d} K_{o} K_{2} rad/sec

阻尼因子（Damping Factor）：

ζ = \frac{τ _{2}}{2} \frac{K _{d} K _{o}}{τ _{1}} = \frac{τ _{2} ω _{n}}{2} = \frac{K _{1}}{2} \frac{K _{d} K _{o}}{K _{2}}

典型范围 $0.5 \leq ζ \leq 2$ ，推荐值 $ζ \approx 0.707$ 。

环路增益（Loop Gain K）：

K = K_{d} K_{o} K_{1} = \frac{K _{d} K _{o} τ _{2}}{τ _{1}} = 2 ζ ω_{n} rad/sec

DC 增益（DC Gain）：

K_{D C} = s \to 0 lim s G (s) = K_{d} K_{o} ∣ F (0) ∣

Type 1：K_DC 有限（即 F(0) 有限）
Type $\geq$ 2：K_DC $\to \infty$ （积分器使 F(0) 无穷大）

Type 与 Order 的严格区分（Gardner §2.4）

type（型）：开环传递函数 $G (s)$ 中积分器（原点处极点）的个数，决定稳态误差消除能力——type $n$ 的环对频率斜坡及以下 $n - 1$ 阶输入无稳态误差
order（阶）：闭环特征方程的阶数（极点总数），决定动态响应的复杂程度
例：有源 PI 滤波二阶环是 type 2、order 2；同一滤波器加一个高频极点后变为 type 2、order 3——type 不变而 order 增加
工程意义：type 决定精度（稳态误差），order 决定稳定性裕度与瞬态振铃；两者独立指定，是 Gardner 全书参数化分析的基础

参数关系

K = 2 ζ ω_{n}, ω_{n} = K / τ_{2}, K τ_{2} = 4 ζ^{2}, ζ = \frac{1}{2} K τ_{2}

频率响应特性

H(s) 为低通：带内相移被跟踪，带外相移被抑制
E(s) 为高通：带内跟踪误差小，带外误差大
H(s) 高频渐近线斜率：-6 dB/octave（type 2 二阶）
E(s) 低频渐近线斜率：+12 dB/octave
增益峰值（Gain Peaking）：始终存在（因分子零点）， $ζ = 4.4$ 时降至 0.1 dB

增益峰值 = 10 lo g \frac{8 ζ ^{4}}{8 ζ ^{4} - 4 ζ ^{2} - 1 + 8 ζ ^{2} + 1} dB

Type 1 PLL

一阶 PLL（无滤波器）

F (s) = 1, G (s) = \frac{K}{s}, H (s) = \frac{K}{s + K}, E (s) = \frac{s}{s + K}

K = K_DC = K_d K_o（仅一个参数）。窄带宽与大 DC 增益不可兼得。

滞后滤波器（Lag Filter）

F (s) = \frac{1}{s τ + 1}, H (s) = \frac{K / τ}{s ^{2} + s / τ + K / τ} = \frac{ω _{n}^{2}}{s ^{2} + 2 ζ ω _{n} s + ω _{n}^{2}}

ω_{n} = \frac{K}{τ}, ζ = \frac{1}{2 K τ}

无分子零点，无增益峰值（ $ζ > 0.707$ 时），但 K_DC 和 ω_n 不可独立设定。

滞后-超前滤波器（Lag-Lead Filter）

F (s) = \frac{s τ _{2} + 1}{s τ _{1} + 1}, K = K_{d} K_{o} \frac{τ _{2}}{τ _{1}}, K_{D C} = K_{d} K_{o}

三个自由度独立设定带宽、阻尼和 DC 增益，早期 PLL 常见方案。

Type 3 PLL

三阶 Type 3

F (s) = K_{1} + \frac{K _{2}}{s} + \frac{K _{3}}{s ^{2}}

G (s) = \frac{K}{s} (1 + \frac{K _{2}}{K _{1} s} + \frac{K _{3}}{K _{1} s ^{2}})

三个积分器（2 个在环路滤波器 + VCO 的 1/s）
需要两个零点才能稳定
条件稳定：低增益时可能不稳定，需防止增益掉入不稳定区

通用 K 定义

对任意类型/阶数的 PLL：

F (s) = F_{p + i} (s) F_{h f} (s)

F_{p + i} (s) = K_{1} + \frac{K _{2}}{s} + \frac{K _{3}}{s ^{2}} + \dots

K = K_{d} K_{o} K_{1} F_{h f} (0)

K 仅由比例路径决定，积分器和高频滤波不影响 K 的定义。增益交叉频率 $ω_{g c} \approx K$ 。

参考文献

Gardner, F. M. (2005). Phaselock Techniques (3rd ed.), Ch.1-2. John Wiley & Sons.
Wolaver, D. H. (1991). Phase-Locked Loop Circuit Design. Prentice Hall. [同样以 K 为带宽指标的 PLL 设计书]
Best, R. E. (2003). Phase-Locked Loops (5th ed.). McGraw-Hill. [二阶 PLL 参数匹配性说明]

相关页面

PLL图形化分析与稳定性判据 — 根轨迹/Bode 图用于传递函数分析
PLL跟踪性能 — 传递函数→跟踪误差分析
加性噪声对PLL影响 — 噪声带宽从 H(s) 积分得到
相位噪声对PLL影响 — H(s) 和 E(s) 用于相位噪声传播
Wireline系统中Jitter与CDR — CDR PLL 传递函数直接使用本节公式
电路中的Jitter与Phase Noise — VCO 相位模型
DaDalt Jitter and Phase Noise 深度解析 — jitter 与相位噪声的频域联系
Gardner Phaselock Techniques 深度解析

📘 Baker 3e 补充（Ch.19 数字锁相环——CMOS 电路实现级覆盖）

Baker Ch.19 的独特之处在于从 CMOS 电路实现（而非系统级数学分析）角度覆盖 DPLL，与 Gardner 的传递函数/稳定性分析形成本质互补。

1. Baker 的 DPLL 覆盖 vs Gardner（呈现维度差异）

维度	Baker Ch.19（CMOS 实现）	Gardner Ch.1-4（系统分析）
鉴相器	XOR 鉴相器电路、PFD 电路实现、三态输出	线性 PD 模型、K_d 增益、采样 PD
VCO/NCO	电流饥饿型 VCO、源耦合 VCO 电路、频率调谐范围	$d θ_{o} / d t = K_{o} v_{c}$ 线性模型
环路滤波器	电荷泵电路 + 滤波器阻抗	$F (s)$ 传递函数
稳定性	环路带宽设计、SPICE 瞬态锁定仿真	Bode 图、根轨迹、相位裕度
版图	VCO 版图技巧（隔离电源噪声）	无

2. Baker 的独特 DPLL 内容

XOR 鉴相器：XOR 门作为 PD 的完整分析（输入相位差 → 输出占空比 → 平均电压），给出 PD 增益 $K_{d} = V_{DD} / π$
PFD（相位频率检测器）：三态 PFD 的电路实现（两个 D-FF + 与非门复位），死区消除技术
电流饥饿型 VCO： $f_{V CO} = I_{c t r l} / (N \cdot C_{n o d e} \cdot V_{s w in g})$ ，控制电压与频率的关系曲线
源耦合 VCO：差分延迟单元，共模噪声抑制，适合 PLL 应用
电荷泵：完整电路（上拉/下拉电流源 + 开关），匹配设计（决定参考杂散）

3. DLL（延迟锁定环）

Baker 也覆盖了 DLL——与 PLL 相比，DLL 是一阶系统（无条件稳定），无相位噪声累积：

延迟单元：电流饥饿型延迟单元，控制电压调节延迟
VCDL 设计：电压控制延迟线的线性度优化
应用：时钟相位调整、占空比校正、时钟同步

Baker 的 PLL vs Gardner：Gardner 提供 PLL 系统级数学工具（传递函数/Bode/根轨迹），这是理解 PLL 线性行为的理论基础；Baker 提供的是这些理论模块的 CMOS 电路实现——VCO 的电路拓扑、PD 的门级实现、电荷泵的电流镜设计。两者结合可完成从系统规格到电路实现的完整设计。

关联页：Baker CMOS 电路设计版图与仿真深度解析 §19

📕 Razavi PLL 补充（Ch.7 基本 PLL 架构——从 PD 到 CP-PLL 的电路级演进）

Razavi《Design of CMOS Phase-Locked Loops》Ch.7 从电路实现角度逐步构建 PLL，与 Gardner Ch.1-2 的系统理论视角互补。

简单 PLL → CP-PLL 的演进分析

Razavi 展示 PLL 架构的演进过程：

简单 PLL（PD + LPF + VCO）：锁定范围小，无法检测频率误差
加入 PFD：同时检测相位和频率误差，扩大捕获范围
加入电荷泵：将相位误差转换为电流，实现 Type 2 PLL（零稳态相位误差）

PFD/CP/Capacitor 级联传递函数

PFD 将相位误差 $Φ_{e}$ 转换为 UP/DN 脉冲宽度，CP 将脉冲转换为电流 $I_{CP}$ ，电容将电流积分控制 VCO：

\frac{I _{o u t}}{Φ _{e}} = \frac{I _{CP}}{2 π} [A/rad]

\frac{V _{c t r l}}{Φ _{e}} (s) = \frac{I _{CP}}{2 π} \cdot Z_{L F} (s)

其中 $Z_{L F} (s)$ 为环路滤波器阻抗。

二阶 Type 2 CP-PLL 参数（单个串联 $R_{1}$ - $C_{1}$ + 并联 $C_{2}$ ）：

ω_{n} = \frac{I _{CP} K _{V CO}}{2 π N ( C _{1} + C _{2} )}, ζ = \frac{R _{1} C _{1}}{2} ω_{n}

相位裕度计算：

PM = tan^{- 1} (\frac{ω _{u} R _{1} C _{1}}{1 - ω _{u}^{2} R _{1} C _{1} C _{2} / ( C _{1} + C _{2} )})

其中 $ω_{u} \approx I_{CP} K_{V CO} R_{1} / (2 π N)$ 为单位增益频率。

高阶环路：三阶/四阶滤波器用于进一步衰减参考杂散，但增加极点使相位裕度设计更具挑战。

📘 Banerjee PLL 补充

以下补充基于 Dean Banerjee PLL Performance Simulation and Design 深度解析第 1-2、8-9 章。

滤波器系数体系（Ch.8）

Banerjee 提出以 滤波器系数 A0/A1/A2/A3 统一描述所有阶数滤波器的传递函数：

Z (s) = \frac{1 + s \cdot T 2}{s \cdot ( A 0 + A 1 \cdot s + A 2 \cdot s ^{2} + A 3 \cdot s ^{3} )}

被动滤波器中 $A 0 = \sum$ 所有电容；有源滤波器中 $A 0 = C 1 + C 2$ 与阶数无关。详见 Banerjee 环路滤波器系数与传递函数。

Gamma 优化因子（Ch.9）

Banerjee 的核心创新：

γ = \frac{T 2}{A 0 \cdot ω _{c}^{2}}

将滤波器设计从极点/零点试凑简化为闭环参数驱动的计算流程。详见 Banerjee 环路滤波器优化与实现。

环路带宽缩放规则（Ch.9）

电容 $\propto K / F_{c}^{2}$ ，电阻 $\propto F_{c} / K$ ，其中 $K = K_{ϕ} \cdot K_{v co} / N$ 。该规则在 Ch.20-23 滤波器设计中反复使用。

Razavi vs Gardner：Gardner Ch.1-2 从线性系统理论严格推导 PLL 传递函数和类型分类。Razavi Ch.7 从电路实现角度构建 PLL，强调 PFD/CP 级联的直觉理解和实际设计约束（复位脉冲宽度、电流匹配、电压裕度）。

关联页：Razavi Design of CMOS PLLs 深度解析 Ch.7

KnowledgeWiki

探索

PLL基本结构与传递函数

关系图谱