PLL 图形化分析与稳定性判据

图形化分析方法——根轨迹、Bode 图、Nyquist 图、Nichols 图——是理解和设计 PLL 的重要工具。稳定性（相位裕度 ≥ 45°）是所有 PLL 设计的基本约束。基于 Gardner Phaselock Techniques Ch.3 提炼。

前后关系

前置知识：

PLL基本结构与传递函数 — G(s)/H(s)/E(s)、ωn/ζ/K 参数
反馈控制系统基本概念

本书内部链条：

Ch.3（本文）← Ch.2（传递函数）— 图形分析的输入数据
→ 数字PLL传递函数与稳定性（Ch.4）— DPLL 同样需要图形分析

外部关联：

Wireline系统中Jitter与CDR — CDR 的相位裕度/稳定性设计

原理介绍

1. 根轨迹法（Root Locus）

根轨迹是闭环极点随环路增益 K 变化在 s-平面上的轨迹。

基本规则（参见 Gardner App.3A）

分支数 = 开环极点个数
起点（K=0）在开环极点，终点（K→∞）在开环零点（含无穷远零点）
实轴上的根轨迹：在奇数个开环极+零点右侧的区间
与虚轴交点：用 Routh-Hurwitz 判据求解
渐近线： $n - m$ 条，交点 σ_a，角度 θ_a

Type 1 PLL 根轨迹

一阶环（F(s)=1）：单个极点从原点沿负实轴→-∞。

滞后滤波器（F(s)=1/(sτ+1)）（Gardner Fig. 3.1）：

两极点：s=0, s=-1/τ
Kτ=1/4 时实轴相遇 → 分离为共轭复数
复平面轨迹为垂直线 σ=-1/(2τ)

滞后-超前滤波器（Gardner Fig. 3.2）：

零点 s=-1/τ₂ 使复轨迹变为圆，圆心 -1/τ₂
大 K 时回到实轴 → 过阻尼

Type 2 PLL 根轨迹

二阶环（F(s)=(sτ₂+1)/sτ₁）：

两极点均在原点 s=0
零点 s=-1/τ₂，圆心 -1/τ₂，半径 1/τ₂
无条件稳定

三阶环（含额外极点 s=-1/τ₃, b=τ₂/τ₃）（Gardner Fig. 3.3-3.4）：

b < 1：不稳定（零极点抵消不足）
b ≈ 9, Kτ₂=3：三极点重合在 sτ₂=-3（准最优）
大 K 时复轨迹渐近线 σ=-(b-1)/2

Type 3 PLL 根轨迹（Gardner Fig. 3.5）

三极点均在原点 s=0
设两个零点重合在 s=-1/τ₂
条件稳定：低增益时右半平面 → 需确保增益不落入不稳定区

高阶 PLL 根轨迹

四阶 Type 2（两个高频极点重合在 s=-b）（Gardner Fig. 3.6-3.7）：

b < 2：全增益范围不稳定
b < 10：难以达到 ζ>0.707
b ≈ (8+4√3) ≈ 14.93：三极点重合于某一 K
大 K 时复轨迹以 ±60° 渐近线进入右半平面
稳定有上限 K_max（与二阶/三阶不同）

环路延迟

延迟 exp(-sτ_d) 产生无限多根，根轨迹法不能直接适用。

2. Bode 图

Bode 图显示 |G(jω)|（dB）和 Arg[G(jω)]（度），均为频率（对数）的函数。

稳定性判据

增益交叉频率 ω_gc：|G(jω_gc)| = 1 (0 dB)
相位交叉频率 ω_π：Arg[G(jω_π)] = -π
相位裕度：PM = Arg[G(jω_gc)] + π
增益裕度：GM = -20log|G(jω_π)| dB

稳定条件：PM > 0（无条件稳定环）或 PM > 0 且增益在稳定区间（条件稳定环）。

相位裕度与阻尼的关系（二阶 Type 2 PLL）

ζ	ω_gc/K	PM (deg)
0.5	1.275	51.8
0.707	1.106	65.6
1.0	1.037	76.4
2.0	1.002	86.4
5.0	1.000	89.4

PM ≥ 45° 对应 ζ ≥ 0.5
PM ≥ 60° 优选（ζ ≈ 0.707）
大阻尼时 PM → 90°（受 VCO 1/s 积分限制）

Bode 图示例（Type 1/2/3）

一阶环（Gardner Fig. 3.10）：幅值 -6 dB/oct 直线，相位恒 -90°，恒稳定
二阶 Type 2：幅值低频 0 dB，高频 -6 dB/oct；相位从 -180°（低频）→ -90°（高频），PM 由 Kτ₂ 决定
三阶 Type 2：增加 -6 dB/oct（额外极点），高频 -12 dB/oct

3-dB 带宽（二阶 Type 2）

ω_{3 d B} = K [\frac{1}{2} + \frac{1}{4 ζ ^{2}} + \frac{1}{2} 1 + \frac{1}{ζ ^{2}} + \frac{1}{2 ζ ^{4}}]^{1/2}

大 ζ 时 ω_3dB ≈ K。

3. Nyquist 图

极坐标绘制 G(jω)，ω 从 0 → ∞
稳定判据：对无条件稳定环，G(jω) 包围 (-1,0) 的净次数 = 0
图中可直接读出 PM 和 GM
PLL 中较少直接使用，通常用 Bode 或 Nichols 替代

4. Nichols 图

直角坐标绘制 |G(jω)|(dB) 与 ArgG(jω) 的关系
恒定 |H| 的 M-等高线过绘到图上
可直接读出闭环频率响应 |H(jω)|
M-等高线峰值对应 |H|_max → 增益峰值
稳定判据：|G| = 0 dB 线在 -180° 线上方的交点决定 PM

示例（二阶 Type 2）

Nichols 图显示：

低频：|G| 大 → |H| ≈ 0 dB
ω_gc 附近：|H| 出现峰值（若 ζ 小）
高频：|G| 小 → |H| ≈ |G|

5. 闭环频率响应

从开环数据直接计算闭环响应（Gardner App.3C）：

H (jω) = \frac{G ( jω )}{1 + G ( jω )}

Gardner App.3C 特别给出由开环幅相数据直接计算误差响应的公式（设 $G (jω) = ∣ G ∣ e^{j ϕ}$ ）：

∣ E (jω) ∣^{2} = \frac{1}{1 + 2∣ G ∣ cos ϕ + ∣ G ∣ ^{2}}

该式无需代数化简即可从 Bode/Nichols 数据逐点算出 |E|，用于预测跟踪误差峰值与调制误差（见 PLL跟踪性能）。

|H(jω)| 在 ω_gc 附近的形状（峰值 = 增益峰值）与 PM 直接相关
PM = 65.6°（ζ=0.707）→ 峰值 ≈ 1.55 dB
PM = 51.8°（ζ=0.5）→ 峰值 ≈ 3.0 dB

6. P+I 双路径与 PI 积分器等价（Gardner App.3B）

Gardner App.3B 证明：比例路径 $K_{1}$ 与积分路径 $K_{2} / s$ 的并联双路径结构（Fig. 2.2b）与有源 PI 滤波器 $- (s τ_{2} + 1) / (s τ_{1})$ 在传递函数上完全等价：

K_{1} + \frac{K _{2}}{s} = \frac{K _{1} s + K _{2}}{s} \equiv - \frac{s τ _{2} + 1}{s τ _{1}} (K_{1} = τ_{2} / τ_{1}, K_{2} = 1/ τ_{1})

这一等价性是后续数字 PLL（P+I 数字滤波 F(z)=κ₁+κ₂/(1−z⁻¹)，见数字PLL传递函数与稳定性）与电荷泵 PLL（比例支路+积分电容自然分离）分析的共同基础。

参考文献

Gardner, F. M. (2005). Phaselock Techniques (3rd ed.), Ch.3 + App.3A-3C. John Wiley & Sons.
Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering (5th ed.). Prentice Hall. [控制理论系统性参考]
Franklin, G. F., et al. (2014). Feedback Control of Dynamic Systems (7th ed.). Pearson. [根轨迹/Bode/Nyquist/Nichols 标准处理]

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