MASH ΔΣ调制器

MASH（Multi-stAge noise-SHaping）通过级联多个低阶稳定环路来同时实现高阶噪声整形和低阶稳定性——用数字取消的策略绕过稳定性的根本限制。

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前后关系

上下文：§1.4 紧接 §1.3 的高阶调制器讨论。在指出高阶单环路存在严峻稳定性问题后，MASH 提供了一种替代方案：用多个低阶稳定级的组合来实现高阶效果。

后续章节：

• Ch.5（多级ΔΣ调制器与Leslie-Singh结构、MASH级联ΔΣ调制器原理、MASH噪声泄漏与失配效应、Sturdy-MASH鲁棒级联架构、噪声耦合ΔΣ架构、分裂与交叉耦合ΔΣ调制器）全面展开多级调制器的分析、设计、非理想性研究
• MASH 与单环路 ΔΣ 是 Ch.4 和 Ch.5 的核心对比内容

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原理介绍

核心理念

不是用一个高阶环路来达到强噪声抑制，而是测量并取消第一级的量化误差。具体做法：

1. 第一级（低阶、稳定）输出 $V_1$ 含有信号和量化误差 $E_1$
2. 将 $E_1$ 以模拟形式提取出来
3. 第二级（同样低阶、稳定）对 $E_1$ 进行量化
4. 用数字滤波器组合两路输出，取消 $E_1$，保留 $E_2$ 的高阶整形

    u ---> [Stage 1 (低阶 ΔΣ)] --- V1 ---> H1(z) --- (+)
              |                                     ^
              |--- (提取 E1) ---> [Stage 2 (低阶 ΔΣ)] --- V2 ---> H2(z) --- (+)
                                                                       |
                                                                   [数字输出 V]

数学分析

第一级输出（$z$ 域）：

$$V_1(z)=ST{F}_1(z)U(z)+NT{F}_1(z)E_1(z)$$

第二级将 $E_1$ 作为输入：

$$V_2(z)=ST{F}_2(z)E_1(z)+NT{F}_2(z)E_2(z)$$

数字滤波器 $H_1$ 和 $H_2$ 设计条件（$E_1$ 取消条件）：

$$H_1(z)NT{F}_1(z)-H_2(z)ST{F}_2(z)=0$$

最简单的选择：

$$H_1(z)=k\cdot ST{F}_2(z),H_2(z)=k\cdot NT{F}_1(z)$$

其中 $k$ 为信号增益归一化常数。

示例：2-2 MASH

两级均为二阶调制器：

• $ST{F}_1=z^{-1}$, $NT{F}_1=(1-z^{-1}{)}^2$
• $ST{F}_2=z^{-2}$, $NT{F}_2=(1-z^{-1}{)}^2$
• 选择 $H_1=z^{-2}$, $H_2=(1-z^{-1}{)}^2$, $k=2$

总输出：

$$V(z)=z^{-2}U(z)+2(1-z^{-1}{)}^4{E}_2(z)$$

结果：

• 信号传递函数：$z^{-2}$（纯延迟）
• 噪声传递函数：$(1-z^{-1}{)}^4$（四阶整形！）
• 稳定性行为：二阶（两级各自稳定）
• 噪声整形效果：四阶

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MASH vs 单环路高阶

特性	单环路高阶	MASH
NTF 阶数	$L$	$L_1+L_2+\cdots$
稳定性	难维护，$	NTF
输入摆幅	受限	相对宽松
对模拟精度	较不敏感	极敏感
功耗	较低	较高（多路量化/滤波）
设计复杂度	中等	高

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MASH 的非理想性

模拟-数字失配

MASH 的致命弱点：$E_1$ 取消条件依赖于模拟传递函数 $ST{F}_2$ 和 $NT{F}_1$ 的精确实现。

实际传递函数 $ST{F}_{2a}$ 和 $NT{F}_{1a}$ 与理想值存在偏差：

$$V(z)=k[ST{F}_2(z)NT{F}_{1a}(z)-NT{F}_1(z)ST{F}_{2a}(z)]E_1(z)+\cdots$$

当 $ST{F}_{2a}\ne ST{F}_2$ 或 $NT{F}_{1a}\ne NT{F}_1$ 时，$E_1$ 泄漏到输出，严重破坏噪声性能。

典型来源

1. SC 电路中电容比误差：±0.1% 匹配 ⇒ 限制泄漏在 -60 dB
2. 运放有限增益：积分器泄漏 ⇒ NTF 零点偏移
3. 时钟抖动（CT 实现中）：DAC 脉冲宽度变化

缓解方法

• 动态元件匹配（DEM）
• 数字校正：数字域测量并补偿失配
• 相关双采样（CDS）：降低 1/f 噪声

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MASH 的变体

3-阶以上 MASH

类型	各级阶数	总 NTF 阶数	典型应用
2-1 MASH	二阶 + 一阶	3	中等精度，低功耗
2-2 MASH	二阶 + 二阶	4	通用高精度
2-1-1 MASH	二阶 + 一阶 + 一阶	4	极高精度
3-3 MASH	三阶 + 三阶	6	超高精度，低 OSR

MASH 与 ECC（Error Correction Circuitry）

• 早期 MASH 使用修正电路
• 现代设计多采用数字后台校准
• 有些 MASH 使用具有噪声耦合的简化数字逻辑来减少模拟复杂度

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §1.4 & Ch.5. IEEE Press/Wiley.
2. Hayashi, T., et al. (1986). “A Multistage Delta-Sigma Modulator without Double Integration Loop.” ISSCC Digest, 182-183. （首个 MASH 提案）
3. Brandt, B. P., & Wooley, B. A. (1991). “A 50-kHz 16-bit A/D Converter Using a Multistage Delta-Sigma Modulator.” IEEE JSSC, 26(12), 1905-1911.

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相关页面

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