失配整形与多bit ΔΣ调制器

1-bit DAC 天然线性但限制了性能；多 bit DAC 性能优异但存在非线性。失配整形是一种将 DAC 元件失配误差噪声整形的技术，兼取两者之长。

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前后关系

上下文：§1.5 在 §1.3-1.4 讨论高阶和 MASH 调制器之后，引入另一个实际问题——反馈 DAC 的非线性。多 bit 量化器可大幅提升调制器性能，但反馈 DAC 的失配会导致失真。

后续章节：

• Ch.6（DAC失配问题与旋转选择DWA原理、旋转实现与替代失配整形拓扑、高阶失配整形原理、三电平分段DAC与过渡误差整形）完整覆盖失配整形的原理、算法、实现
• Ch.13（ΔΣ DAC）讨论 ΔΣ DAC 中的失配整形
• Ch.5（MASH级联ΔΣ调制器原理）中 MASH 第二级的多 bit 量化可免 DAC 校正

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原理介绍

单 bit vs 多 bit 量化

特性	单 bit 量化器	多 bit 量化器
量化噪声基数	大（${\Delta }^2/12$）	小（$2^{-2N}{\Delta }^2/12$）
环路稳定性	差（增益不确定）	好（增益确定）
输入摆幅	小（稳定性约束）	大
所需 OSR	高	低
DAC 线性度	本征线性	需失配整形

DAC 线性度的关键性

在 ΔΣ 调制器中，反馈 DAC 出现在环路内部（如图 1.17）：

u --->(+)---[环路滤波器]---[ADC]---> v (数字输出)
       ^                           |
       |-------[DAC (反馈)]<--------|

• 环路反馈迫使 DAC 输出信号在带内精确跟随输入 $u$
• 若 DAC 非线性，其输入（即调制器输出 $v$）会被扭曲以补偿 DAC 的非线性 ⟹ 输出失真
• DAC 的线性度直接影响整个转换器的线性度

单 bit DAC 的本征线性

1-bit DAC 只有两个输出值，输入-输出关系可以用一条直线精确描述：

$$y=k\cdot x+\text{offset}$$

这是线性系统的严格定义——由于只有两个点，任何通过这两点的直线都是精确的。因此 1-bit DAC 不会产生谐波失真。

多 bit DAC 的非线性问题

假设 $M$ 个 DAC 单元各自有增益误差 ${ϵ}_i$：

$$y=\sum _{i=1}^M{b}_i(t)\cdot (1+{ϵ}_i)\cdot V_{\text{ref}}$$

当 ${ϵ}_i\ne 0$ 时，DAC 的传递函数不是直线，产生谐波失真。

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失配整形原理

核心思想

在概念上与噪声整形完全对称——不是在环路中整形量化噪声，而是让 DAC 单元的选择逻辑将失配误差整形到带外。

类比 ΔΣ 噪声整形：

• 量化噪声整形：用环路滤波让量化噪声 $e[n]$ 的高频分量通过，低频被抑制
• 失配整形：用单元选择逻辑让 DAC 失配误差的高频分量通过，低频被抑制

典型实现：DWA（Data-Weighted Averaging）

基本的单元旋转算法：

1. 维护一个指针指向下一次要使用的 DAC 单元
2. 每次需要 $k$ 个单元时，从指针位置顺序取 $k$ 个
3. 更新指针位置

效果：

• 一阶 DWA：将 DAC 失配误差整形为 $1-z^{-1}$ 的高通特性
• 二阶 DWA：将失配误差整形为 $(1-z^{-1}{)}^2$

更高级的技术

技术	阶数	复杂度	特点
随机选择	0	低	白化失配误差，无整形
DWA	1	低	一阶整形，最常用
二阶 DWA	2	中	更强整形，逻辑复杂
树形 DEM	可变	高	可任意阶，面积大
VQ（向量量化）	高	极高	理论最优

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低 OSR 场景的处理

当 OSR 很低（例如 $\text{OSR}<8$）时，噪声整形的优势减弱。此时可以采用数字校正方法：

1. 测量：在工厂测试或系统启动时测量每个 DAC 单元的误差
2. 存储：将测量结果存储在查找表（LUT）中
3. 补偿：在实际工作时，根据选择的单元组合预失真数字输入

这种方法在原理上类似于仪器中的数字预失真（DPD）。

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多 bit ΔΣ 的设计优势

综合来看，多 bit + 失配整形在以下场景特别有价值：

• 低 OSR 高速 ΔΣ：OSR = 8~16 时，多 bit 可大幅提高 SNR
• CT-ΔΣ：多 bit 量化器减少时钟抖动敏感度（量化步长更小）
• 宽带宽 ΔΣ：无需极高 OSR，即可覆盖 MHz 级带宽

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §1.5 & Ch.6. IEEE Press/Wiley.
2. Baird, R. T., & Fiez, T. S. (1995). “Linearity Enhancement of Multibit ΔΣ A/D and D/A Converters Using Data Weighted Averaging.” IEEE Trans. Circuits Syst. II, 42(12), 753-762. （DWA 的原始论文）
3. Galton, I. (1997). “Spectral Shaping of Circuit Errors in Digital-to-Analog Converters.” IEEE Trans. Circuits Syst. II, 44(10), 808-817.

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相关页面

• MASH ΔΣ调制器
• CT-ΔΣ调制
• ΔΣ DAC
• DAC失配问题与旋转选择DWA原理
• 旋转实现与替代失配整形拓扑
• 高阶失配整形原理
• 三电平分段DAC与过渡误差整形
• Pavan ΔΣ 数据转换器 Ch.1 深度解析
• Pavan ΔΣ 数据转换器 Ch.6 深度解析
• Rosa Sigma-Delta Converters Practical Design Guide 深度解析

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📙 Rosa 补充（Ch.2 DEM 技术与双量化）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.2 对失配整形和多 bit ΣΔM 增加了实用 DEM 技术分类。

DEM 技术系统分类（§2.4）

Rosa 将 DEM 技术按复杂度和性能系统分类：

DEM 方法	整形阶数	硬件复杂度	特点
随机化（Randomization）	0	低	白化失配，无整形
旋转选择（Barrel Shift）	0	低	周期性旋转，产生 tone
DWA（Data-Weighted Averaging）	1	低	一阶整形，最广泛
ILA（Individual Level Averaging）	1	中	每个电平独立平均
CLA（Clocked Level Averaging）	1	中	时钟控制轮换
二阶 DEM	2	高	更强带内抑制
Tree-structured DEM	可变	很高	可任意阶，面积大

DWA 的 tone 问题与解决

Rosa 指出 DWA 在低阶调制器中可能引入 tone：

• 当输入为直流时，DWA 指针周期性循环，产生离散谱线
• 解决：在 DWA 指针中加入伪随机扰动（dithered DWA）
• 或者使用二阶 DEM 彻底消除 tone

双量化（Dual Quantization）技术（§2.4.2）

Rosa 详细介绍了前馈/反馈路径使用不同位数的技术：

• 前向路径用 $N_f$ 位 ADC（决定量化噪声基底）
• 反馈路径用 $N_b$ 位 DAC（决定反馈精度）
• 当 $N_f>N_b$ 时，量化噪声被整形，DAC 失配误差仅受 DEM 处理
• 实际意义：降低反馈 DAC 复杂度而不损失性能

差异定位：Pavan Ch.6 侧重 DWA 的严格数学分析和高阶失配整形理论；Rosa 侧重 DEM 技术全景分类、DWA tone 解决方案和 双量化工程实现。