DAC 失配问题与旋转选择（DWA）原理

§6.1–§6.2。DAC 的元件失配会导致非线性失真。本节从”测量并取消”与”盲整形”两条技术路径出发，系统推导旋转选择（DWA）如何将失配误差转变为一阶高通整形噪声。

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前后关系

上下文：§1.5 已指出多 bit 量化器可大幅提升 ΔΣ 调制器性能，但反馈 DAC 的单元失配会破坏转换器线性度。1-bit DAC 天然线性但限制了 SQNR。Ch.5 的 MASH 架构可部分绕过多 bit DAC 问题（第二级免 DAC 校正），但第一级仍受局限。

后续章节：

• §6.3–§6.4（旋转实现与替代失配整形拓扑）讨论旋转的电路实现和多种改进拓扑
• §6.5（高阶失配整形原理）将失配整形推广至高阶
• §6.6–§6.7（三电平分段DAC与过渡误差整形）扩展至三电平/非单元元素和过渡误差
• Ch.13（ΔΣ DAC）将失配整形用于 DAC 方向

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原理介绍

6.1 DAC 失配问题的两条解决路径

多 bit DAC 的输出为：

$$y=\sum _{i=1}^M{b}_i(t)(1+{ϵ}_i)V_{\text{ref}}$$

当 ${ϵ}_i\ne 0$ 时，传递函数呈现非线性，产生谐波失真。

解决此问题有两条根本不同的路径：

路径一：数字校正（Digital Correction）——如图 6.1 所示，在工厂或上电时测量每个单元的误差 ${ϵ}_i$，存入查找表（LUT），在工作时实时补偿。缺点：（1）需要精确测量；（2）误差缓变会导致性能退化。

路径二：失配整形（Mismatch Shaping）——本章主题。盲操作（blind），无需测量误差，利用动态选择逻辑将失配误差的能量推到带外。实现简单、对误差漂移不敏感。

6.2 2-元素 DAC 的逐步推理

以最简单的 3 电平（2 单元）DAC 为例。两单元标称值均为 1，实际为 $1+\delta$ 和 $1-\delta$。

• 码 0：不选任何单元 → 输出 0
• 码 2：选两个单元 → 输出 2
• 码 1：选择一个单元 → 输出 $1+\delta$ 或 $1-\delta$（取决于选哪个）

固定选择：始终选同一个单元 → 输出始终为 $1\pm \delta$ → 静态二阶非线性 → 产生 H2 谐波。

随机选择：随机选单元 → 失配误差被白化 → 消除谐波但仅变为白噪声。

交替选择（一阶整形的萌芽）：本次选单元 1，下次选单元 2，再下次选单元 1……这正是 ΔΣ 哲学——“现在犯错，后续弥补”。

考虑输入序列 $\nu =[0,0,1,0,2,1,1,1,2]$，交替选择下：

误差序列:   0, 0, -δ, 0, 0, +δ, -δ, +δ, 0
累积误差:   0, 0, -δ, -δ, -δ, 0, -δ, 0, 0

累积误差有界 → 误差序列（累积误差的差分）被一阶整形。图 6.2 的仿真显示，1% 失配下交替选择将 SNDR 从 50 dB 恢复至 83 dB（理想 85 dB）。

6.2 M 元素旋转选择（DWA）

推广到 M 个元素的旋转算法（图 6.6）：

1. 将所有 M 个单元视为一个环形队列
2. 维护一个指针 ptr 指向下一次起始位置（初值 0）
3. 每次需要 $m[n]$ 个单元时，从 ptr 开始顺序取 $m[n]$ 个
4. 更新：$\text{ptr}\leftarrow (\text{ptr}+m[n])\mathrm{mod}M$

误差分析：定义元素 $i$ 的误差为 $e_i=a_i-1$，且 $\sum e_i=0$。经过 $N$ 个周期后，每个元素被选用的次数差异最多为 1 → 累积误差有界 → 误差被一阶整形。

图 6.7 的频谱显示了明显的 20 dB/decade 的一阶整形斜率，SNDR 从随机选择的 59 dB 提升至 87 dB。

功率定量分析

随机选择的 MNP：$M$ 元素 DAC 的 INL 方差（式 6.4）：

$${\sigma }_m^2=\frac{2m(M-m)}{M^2}{\sigma }^2$$

对码 $m$ 平均后得到平均失配噪声功率（式 6.5）：

$${\overline{\sigma }}^2=\frac{M}{3}{\sigma }^2$$

相对于满幅正弦波的带内功率（式 6.6）：

$$\text{MNP}\approx \frac{8{\sigma }^2}{3M(\text{OSR})}$$

当 $M=16,\sigma =1\%,\text{OSR}=16$ 时，$\text{MNP}\approx -60$ dBFS，与仿真值 59 dB 接近。

旋转选择的 MNP：一阶整形后，白噪声功率 $P$ 的带内部分为：

$$P_{\text{in-band}}=P\cdot \frac{2}{\text{OSR}}{\int }_0^{\pi }4{\sin }^2\frac{\omega }{2}d\omega =P\cdot \frac{2{\pi }^2}{3(\text{OSR}{)}^3}$$

旋转下累积误差的功率与平均 INL 方差相同，即 $P=M{\sigma }^2/3$。因此（式 6.8）：

$$\text{MNP}\approx \frac{8{\sigma }^2}{9M(\text{OSR}{)}^3}\cdot \frac{{\pi }^2}{2}$$

代入数值得到 -76 dBFS，比仿真 -90 dBFS 高估 14 dB，说明白噪声近似过于保守，工程中必须以仿真为准。

旋转产生的杂散问题

旋转是确定性算法，会产生信号相关的杂散（spurs）。在 OSR=16 时，-30 dBFS 的小信号输入可在 f/64 附近产生接近 -80 dBFS 的 H2 杂散。图 6.8 的蒙特卡洛 CDF 显示，为达到 99.9% 的良率，需在 H2 中位数之上预留 12 dB 裕量。

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关键洞察

1. 随机选择 vs 旋转：随机选择将失配白化（SNDR 59 dB），旋转将失配一阶整形（SNDR 87 dB），两者天壤之别但实现复杂度接近
2. ΔΣ 哲学的统一性：失配整形与噪声整形在数学上完全同构——都是用反馈使误差序列的累积和有界
3. 白噪声近似的局限性：式（6.8）高估 MNP 14 dB，说明频率域近似（假定累积误差为白噪声）用于失配整形时远不如用于 ΔΣ 量化噪声准确
4. 杂散的良率代价：确定性旋转的 H2 良率分析（99.9% → +12 dB margin）是实际工程设计中极易被忽视的关键步骤

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §6.1-§6.2. IEEE Press/Wiley.
2. Baird, R. T., & Fiez, T. S. (1995). “Improved ΔΣ DAC Linearity Using Data Weighted Averaging.” IEEE ISCAS, 1, 13-16.
3. Leung, B. H., & Sutarja, S. (1992). “Multi-bit Σ-Δ A/D Converter Incorporating a Novel Class of Dynamic Element Matching.” IEEE TCAS-II, 39, 35-51.

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