量化器理论与线性模型

Pavan 教材 §2.2 深入分析量化器的特性与建模方法。量化是一个非线性无记忆过程，但通过一系列合理的近似假设，可以将其简化为一个加性白噪声模型，从而用线性系统理论分析 ΔΣ 调制器。

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前后关系

上下文：§2.2 紧随 §2.1（采样理论基础）的采样理论。采样实现了时间离散化，而量化实现幅度离散化——两者共同构成 ADC 的核心操作。

后续章节：

• §2.3（过采样数字滤波降噪）利用量化噪声的白噪声模型计算过采样的降噪效果
• §2.4（反馈噪声整形与MOD1深度分析）将量化器嵌入反馈环路实现噪声整形
• 本章的量化器模型是整个 ΔΣ 理论的立足点；§2.5-2.6 揭示了该模型的局限性

交叉引用：

• 一阶ΔΣ调制器（Ch.1）中使用的量化器模型基于本节的近似
• 高阶ΔΣ调制器与NTF（Ch.1 §1.3）在高阶情况下进一步依赖量化器线性模型

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原理介绍

量化器基本特性

量化器的传输特性为阶梯函数，其符号和关键参数如下：

• 输入：$\upsilon$，输出：$\nu$
• 步长（LSB 大小）：$\Delta =2$（全书统一约定）
• 步数：$M$，电平数：$M+1$，位数：${\log }_2(M+1)$
• 无过载输入范围：$[-(M-1),(M-1)]$
• 满摆幅（Full-Scale）：$2M$

Mid-Rise vs Mid-Tread

特性	Mid-Rise（$M$ 奇数）	Mid-Tread（$M$ 偶数）
$\upsilon =0$ 位置	跳变沿（rise）	平坦段（tread）
输出电平	$\pm 1,\pm 3,\dots ,\pm M$	$0,\pm 2,\dots ,\pm M$
输入阈值	$0,\pm 2,\dots ,\pm (M-1)$	$\pm 1,\pm 3,\dots ,\pm (M-1)$

量化误差

$$e=\nu -\upsilon$$

$e$ 是输入 $\upsilon$ 的确定性函数，表现为锯齿波。

量化噪声的四假设（“Busy Signal” 条件）

当输入 $\upsilon$ 在量化器范围内快速随机变化时（称为 busy signal），可将 $e$ 近似为：

1. 加性噪声：$e$ 与 $\upsilon$ 具有加性关系
2. 独立性：$e$ 与 $\upsilon$ 统计独立
3. 均匀分布：$e$ 在 $[-1,1]$ （$\Delta =2$ 时）上均匀分布
4. 白噪声：$e$ 的功率谱密度平坦

重要警告：上述四条假设”没有一条保证成立”（none of the assumptions above are guaranteed to be true），但对于 busy signal 是实用的工程近似。

量化噪声统计量

在 $\Delta =2$ 下：

$$\bar{e}=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{1}ede=0$$ $${\sigma }_e^2=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1{e}^{2}de=\frac{1}{3}$$

推广到任意步长 $\Delta$：${\sigma }_e^2={\Delta }^2/12$。

SQNR 基本公式

满摆幅峰峰值 $2^{N+1}\cdot \Delta /2$ 的正弦波输入：

$$\text{Signal Power}=\frac{(2^N\cdot \Delta /2{)}^2}{2}=\frac{2^{2N}{\Delta }^2}{8}$$ $$\text{Noise Power}=\frac{{\Delta }^2}{12}$$ $$SQNR=10{\log }_{10}\left(\frac{3}{2}\cdot 2^{2N}\right)=6.02N+1.76\text{dB}$$

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量化器线性模型

最佳增益（§2.2.1）

由于量化器阶梯函数可被无数条直线”近似”，需要一个系统方法确定增益 $k$。选择使均方误差最小的 $k$：

$${\epsilon }^2=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}(\nu [n]-k\upsilon [n]{)}^2$$

定义内积 $⟨a,b⟩={\lim }_{N\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{n=0}^{N-1}a[n]b[n]=E[ab]$：

$${\epsilon }^2=⟨\nu ,\nu ⟩-2k⟨\nu ,\upsilon ⟩+k^2⟨\upsilon ,\upsilon ⟩$$

最小化得：

$$k=\frac{⟨\nu ,\upsilon ⟩}{⟨\upsilon ,\upsilon ⟩}$$

仿真结果

• 正弦波输入（$f/f_s=7/256$）：大信号时 $k\approx 1$，${\sigma }_e^2\approx 1/3$；小信号时 $k$ 下降，$A<1$ 时 $k=0$（mid-tread 特性）
• 高斯白噪声输入：${\sigma }_{\upsilon }>1$ 时 $k\approx 1$，${\sigma }_e^2\approx 1/3$——比正弦波更”busy”，模型更准

过载量化器（§2.2.2）

当输入超出无过载范围时：

• 增益 $k$ 下降
• 噪声方差 ${\sigma }_e^2$ 超过 ${\Delta }^2/12$

二进制（2 电平）量化器：

$$k=\frac{E[\nu ]}{E[{\upsilon }^2]}$$

二进制量化器的增益强烈依赖于输入统计特性——这是理解单 bit ΔΣ 调制器行为的关键。

双输入量化器模型（§2.2.3）

对于 $\nu =Q({\upsilon }_1+{\upsilon }_2)$，线性化为：

$$\nu =k_1{\upsilon }_1+k_2{\upsilon }_2+e$$

若 ${\upsilon }_1\perp {\upsilon }_2$（正交），最优增益为：

$$k_1=\frac{⟨\nu ,{\upsilon }_1⟩}{⟨{\upsilon }_1,{\upsilon }_1⟩},k_2=\frac{⟨\nu ,{\upsilon }_2⟩}{⟨{\upsilon }_2,{\upsilon }_2⟩}$$

脱敏效应（Desensitization）

当量化器过载时，$k_1\ne k_2$，且信号的增益大于噪声的增益（$k_1>k_2$）。这与 RF 放大器中的脱敏现象完全类似：大干扰信号周期性驱动放大器进入压缩区，使小信号的有效增益降低。

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关键洞察

1. 量化噪声模型是”必要的恶”：明知不精确，却是分析 ΔΣ 调制器的唯一可行数学工具
2. 增益 $k$ 的信号依赖性：这一事实使得高阶 ΔΣ 调制器（Ch.4）的稳定性分析变得极其复杂
3. 二进制量化器增益的特殊性：$k$ 的反比缩放特性（输入放大 10 倍则增益缩小 10 倍）是一阶 ΔΣ 单 bit 环路稳定的根本原因
4. 脱敏效应在 ΔΣ 中的体现：量化器的有效增益对信号和噪声不同——这是高阶调制器中谐波失真的源头之一

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参考文献

1. R. M. Gray and D. L. Neuhoff, “Quantization,” IEEE Trans. Information Theory, vol. 44, no. 6, pp. 2325-2383, 1998. — 量化理论的权威综述
2. A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, Discrete-Time Signal Processing. Prentice-Hall, 1989.

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📙 Rosa 补充（Ch.1 量化器的工程视角）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.1 对量化器理论增加了以下工程洞察：

Midrise vs Midtread 的电路实现差异

Rosa 特别强调了 midrise/midtread 量化器在全差分电路中的实现方式：

• Midrise：偶数级台阶，零值不是有效输出级（默认）
• Midtread：奇数级台阶，零值是有效输出级——全差分电路中通过两个单比特量化器（比较器）相减获得 3 级量化器
• 电路实现：$V_{ref}/2$ 电阻分压 + 两个比较器 + 数字逻辑，简单且对称

量化噪声 PSD 的统一推导

Rosa 从加性白噪声近似出发，给出 PSD 的严格推导：

• $S_E=\frac{e^2}{f_s}=\frac{{\Delta }^2}{12f_s}$ [Eq.1.5]
• 强调：该 PSD 在 $[-f_s/2,+f_s/2]$ 内均匀分布，仅当 $f\ll f_s$ 时白噪声近似有效
• 单比特量化器严格来说不满足白噪声假设，但工程上仍广泛使用此近似

多位量化器级数增加时的谱纯度改善

Rosa 用双音信号激励量化器的仿真（Fig.1.7）直观展示了：

• $\Delta =1\text{V}$（单比特）→ 大量互调产物（tone）
• $\Delta =1/8\text{V}$（~3-bit）→ tone 显著减少
• $\Delta =1/64\text{V}$（~6-bit）→ 谱底平坦，白噪声近似高度有效

差异定位：Pavan Ch.2 的量化器分析侧重最佳量化器增益 $k_q$ 的推导与过载/脱敏效应，Rosa 侧重电路实现（midtread 全差分、多位量化器谱纯度改善的仿真证据）。

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