CT-ΔΣ 调制基础与一阶 CT-MOD1

CT-ΔΣ 调制器通过脉冲不变变换（Impulse-Invariant Transform, IIT）将 DT-ΔΣ 的环路滤波器映射到连续时间域，并继承了 DT 原型的 NTF。更重要的是，由于采样发生在环路内部，CT-ΔΣ 天然具有隐含反混叠特性。

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前后关系

上下文：§1.6 以直观方式引入 CT-ΔΣ 概念（从一阶 RC 滤波器出发），§8.1-§8.2 正式建立 DT→CT 映射的数学框架。此前 Ch.2 对 MOD1 的详细分析（NTF、STF、量化噪声模型）是理解 CT-MOD1 的前提。

前置知识：

• 一阶ΔΣ调制器 — DT-MOD1 的完整分析，NTF = $1-z^{-1}$
• 采样理论基础 — 采样定理、混叠、OSR
• CT-ΔΣ调制 — Ch.1.6 引入的 CT-ΔΣ 直观概念

后续章节：

• 高阶CT-ΔΣ调制与DAC脉冲形状效应 — CT-MOD2 与高阶推广
• CT-ΔΣ环路滤波器拓扑与建模方法 — CIFB/CIFF/CIFF-B 拓扑与仿真
• CT-ΔΣ设计实例 — 完整设计流程
• Ch.9（非理想CT-ΔΣ调制器，规划中）— ELD、时钟抖动、时间常数变化
• Ch.10（CT-ΔΣ电路设计实现，规划中）— 电路实现细节

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原理介绍

DT-MOD1 与 CT-MOD1 的根本区别

DT-MOD1（图 8.1a）中，输入 $u(t)$ 在环路前被采样得到 $u[n]$，DT 环路滤波器处理离散时间序列的差。CT-MOD1（图 8.1b）中，输入 $u(t)$ 不被预采样，而是与反馈 DAC 的连续时间输出波形 $v(t)$ 在连续时间域相减，结果由连续时间环路滤波器处理后，在环路内采样量化。

关键优势：采样在环路内部发生，CT 环路滤波器在采样前对输入进行预处理，产生隐含反混叠。

DAC 脉冲形状的一般模型

任何 DAC 都与一个脉状 $p(t)$ 相关联：

$$v(t)=\sum v[n]p(t-nT)(8.1)$$

三种常用脉冲：

• NRZ（非归零）DAC：$p(t)=1$，$0\le t\le T$，保持整个周期
• RZ（归零）DAC：$p(t)=2$，$0\le t\le T/2$，脉冲宽度减半、幅度翻倍
• Impulsive（冲激）DAC：$p(t)=\delta (t)$，理想冲激

从 $v[n]$ 到 $v(t)$ 的频谱关系

首先构造连续时间 Dirac 冲激序列 $v_1(t)=\sum v[n]\delta (t-nT)$，其傅里叶变换为：

$$V_1(f)=\sum v[n]e^{-j2\pi fnT}=V(e^{j2\pi fT})(8.3)$$

DAC 输出 $v(t)$ 可视为 $v_1(t)$ 通过脉冲响应为 $p(t)$ 的 LTI 滤波器：

$$V(f)=P(f)V_1(f)=P(f)V(e^{j2\pi fT})(8.4)$$

量化器模型（CT 适用版）

CT 量化器模型（图 8.3）：

1. 输入 $\varphi (t)$ 乘以冲激串 $\sum \delta (t-nT)$ —— 采样
2. 叠加量化误差冲激串 $e[n]\delta (t-nT)$
3. 通过 DAC 脉冲滤波器 $p(t)$ 生成反馈波形

脉冲不变变换：CT-MOD1 的 NTF 设计

核心思路：令 CT 环路在采样瞬间的脉冲响应与 DT 原型相同，从而实现相同的 NTF。

DT 侧：在量化器输入处断开环路，输入 $\delta [n]$，DT 环路滤波器输出：

$$l_{DT}[n]=\{0,1,1,1,\dots \}(8.5)$$

CT 侧：在量化器输入处断开环路，输入冲激串 $\delta (t)$，经过 DAC 脉冲 $p(t)$ 驱动 CT 环路滤波器，在采样瞬间得到：

$$l_{CT}(n)=[p(t)\ast l(t){]}_{t=n}(8.6)$$

若 $l_{CT}(n)=l_{DT}[n]$，则两系统的 NTF 完全相同。

CT-MOD1 的解：对于 NRZ DAC，用连续时间积分器（$1/s$）替换 DT 积分器即可实现脉冲不变条件（图 8.5b）。频率缩放时，将环路滤波器带宽乘以 $f_s$（图 8.6b）。

NTF 对 DAC 脉冲形状的鲁棒性

CT-MOD1 的 NTF 对 DAC 脉冲形状不敏感——只要满足：

1. ${\int }_0^{T}p(t)dt=1$（面积归一化）
2. $p(t)=0$ 对 $t\notin [0,T]$（持续时间 $\le T$）

则无论脉冲形状如何（NRZ/RZ/Impulsive），采样点 $l_{CT}(n)$ 完全相同（图 8.7）。NTF 仅依赖于脉冲的面积。

极点映射：$s_k=\ln (z_k)$

DT 积分器极点 $z=1$ 对应 CT 极点 $s=\ln (1)=0$。对于 $N$ 阶 DT 调制器，$L_1(z)$ 有 $N$ 个零在 $z=1$，则 $L_{CT}(s)$ 必须包含 $N$ 个积分器（$s=0$ 处的 $N$ 重极点）。一般映射关系为：

$$s_k=\ln (z_k)(8.12)$$

CT-MOD1 的 STF 与隐含反混叠

STF 推导（图 8.8）：将 CT-MOD1 重排为 CT 滤波 + NTF 串行结构。输入 $u(t)=e^{j2\pi ft}$ 时，环路滤波器输出为 $u(t)/(j2\pi f)$（积分器的时域响应），采样后受 NTF $(1-e^{-j2\pi f})$ 整形：

$$\text{STF}(f)=\frac{1}{j2\pi f}\cdot (1-e^{-j2\pi f})=e^{-j\pi f}\text{sinc}(f)(8.11)$$

STF 的幅度响应（图 8.10-8.11）：

• 直流增益为 1
• 在 $f_s$ 整数倍处为零（$f=\pm f_s,\pm 2f_s,\dots$）
• 这意味着所有可能混叠到直流的分量被固有消除——隐含反混叠
• 混叠带的 STF 响应很小但不为零（图 8.11 给出约 10-40 dB 的衰减）

直观理解（图 8.13）：若 $u(t)=\cos (2\pi f_{s}t)$，则 $u(t)$ 的平均值为 0 → 积分器输入均值为 0 → 反馈波形均值为 0 → $v[n]$ 均为 0。这表明 CT-MOD1 对 $f_s$ 处的输入完全无响应。

时域解释：STF 的脉冲响应是宽度为 $T$ 的矩形脉冲（图 8.12 插图），时域上的矩形窗对应频域上的 sinc 函数。

CT-MOD1 小结（§8.2.1）

1. 通过脉冲不变变换，CT 环路滤波器可以等效 DT 原型的 NTF
2. NTF 对 DAC 脉冲形状不敏感（仅依赖面积）
3. STF 在 $f_s$ 整数倍处有零点 → 隐含反混叠
4. 极点映射 $s_k=\ln (z_k)$ 表明 $N$ 阶 DT 环路 → $N$ 个 CT 积分器

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参考文献

1. Candy, J. C. (1985). “A use of double integration in sigma delta modulation.” IEEE Trans. Commun., 33(3), 249–258.
2. Schreier, R. & Zhang, B. (1996). “Delta-sigma modulators employing continuous-time circuitry.” IEEE Trans. Circuits Syst. I, 43(4), 324–332.

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