CT-ΔΣ 器件噪声分析与噪声预算分配

§10.5 分析 CT-ΔΣ 环路滤波器中电阻和 OTA 的热噪声模型，给出输入等效噪声 PSD 的闭式表达式（式 10.10/10.13），论证 STF 零点如何保护热噪声不被采样混叠。§10.5.1 讨论热噪声与量化噪声的最优功率分配——热噪声应占总噪声预算约 75%。

前后关系

上下文：前几节 (§10.1-§10.4) 讨论了 OTA 的增益/带宽/稳定性。§10.5 转向热噪声——CT-ΔΣ 中除量化噪声外的第二大噪声源。——所有电阻和晶体管都注入热噪声（和 $1/ f$ 噪声）。

前置知识：

CT-ΔΣ积分器实现与OTA架构 — OTA-RC 积分器结构
CT-ΔΣ调制基础与一阶CT-MOD1 — STF 零点与隐含反混叠
CT-ΔΣ环路滤波器拓扑与建模方法 — CIFF/CIFB STF 特性

后续内容：

CT-ΔΣ比较器与反馈DAC设计 — DAC 引入额外热噪声
CT-ΔΣ系统化设计定心与闭环拟合 — 噪声与功耗折衷
16-bit音频CT-ΔΣ调制器设计实例 — 实例中的噪声分配

原理介绍

单级 OTA-RC 积分器的热噪声（图 10.12）

噪声源：电阻 $4 k T / R$ ，OTA 输出电流噪声 $4 k T γ G_{m}$ （ $γ$ 取决于设计细节）。

输入等效噪声 PSD：

S_{eq} (f) = 4 k TR (1 + γ G_{m} R) (10.10)

在优良积分器中 $G_{m} R ≫ 1$ ，因此 $S_{eq} \approx 4 k TR \cdot (1 + γ)$ 。

功耗—噪声折衷：想降低 $S_{eq}$ 3 dB → R 减半 → 为保持 $CR$ 和 $G_{m} R$ 不变， $G_{m}$ 和 $C$ 均加倍 → 功耗增加 2×。

环路滤波器总噪声与 STF 保护（二阶 CIFF 示例，图 10.13）

图 10.13 的二阶 CIFF CT-ΔΣ 中，噪声源包括：输入电阻 $R_{1}$ 、DAC 电阻 $R_{DAC}$ 、第一/二级 OTA，以及第二级电阻 $R_{2}$ 。

等效模型（图 10.14）：所有噪声源折合到输入端为 $S_{eq} (f)$ ，调制器输出受 STF 和 NTF 分别整形。

关键洞察 —— STF 零点防止噪声混叠（图 10.15）：

虽然在采样点 b 处，噪声会由 $f_{s}$ 附近折回带内，但 CT-ΔΣ 的 STF 在 $f_{s}$ 整数倍处有零点。因此 $f_{s}$ 附近的噪声在采样前已被抑制。带内热噪声 PSD 为：

S_{th} (f) = S_{eq} (f) \cdot ∣ STF (f) ∣^{2} （仅信号带内 STF 值重要）

推论：若环路滤波器是时变的（如 SC DAC 反馈），STF 零点退化 → 需考虑 $f_{s}$ 附近噪声的折叠（见 CT-ΔΣ比较器与反馈DAC设计）。

各级噪声折合到输入的二阶效应

二阶 CIFF 的低频输入等效噪声：

S_{eq} (f) \approx 8 k T R_{1} + \frac{4 k T R _{2}}{( 2 π f R _{1} C _{1} ) ^{2}} (10.13)

第一项：输入电阻和 DAC 电阻贡献
第二项：第二级噪声被第一级增益抑制（ $∣ G_{1} ∣ \approx 1/ (2 π f R_{1} C_{1})$ ，在信号带内很大）

重要结论：第二级及之后的积分器可大幅阻抗缩放，对带内热噪声几乎无影响。这也意味着增加 NTF 阶数（加积分器）的额外功耗很小——后级积分器可阻抗缩放。

CIFF/CIFF-B vs CIFB 的噪声优势：CIFF/CIFF-B 的后级噪声被第一级增益抑制，CIFB 无此特性——因此在相同功耗下 CIFF 类拓扑在噪声方面更优。

热噪声 vs 量化噪声的预算分配（§10.5.1）

CT-ΔΣ 的带内总噪声由热噪声 $N_{th}$ 和整形量化噪声 $N_{q}$ 组成：

SNR = \frac{MSA ^{2} /2}{N _{th} + N _{q}} (10.14)

三种分配策略（图 10.16）：

A： $N_{q}$ 主导（量化噪声最大）
B： $N_{th} = N_{q}$
C： $N_{th}$ 主导

功率最优论证：

假设从策略 A 开始， $N_{th}$ 加倍（ $N_{th} \to 2 N_{th}$ ），则 $N_{q}$ 需稍微降低 < 2× 以补偿。

增 $N_{th}$ 2× → 阻抗缩放 2× → 功耗减半
降 $N_{q}$ 可通过：更激进 NTF（不影响功耗）、升 OSR/阶数（微增功耗）

因此增 $N_{th}$ 总体上降低功耗。

经验法则：热噪声约占 75% 总噪声，即 $N_{q}$ 比 $N_{th}$ 低约 12 dB。

另外两个保持 $N_{q} ≪ N_{th}$ 的理由：

$N_{q}$ 可重复，但多 bit 情况下需校准和额外设计裕量
$N_{q}$ 含谐波分量（空闲音/idle tone）

关键要点

STF 零点保护热噪声不被采样混叠——这是 CT-ΔΣ 隐含反混叠特性在噪声域的另一体现。前提是环路滤波器时不变（SC DAC 会破坏此优点）
后级积分器可大幅阻抗缩放而不影响带内热噪声（受第一级增益抑制），意味着高阶 NTF 可”几乎免费”增加
功率最优噪声分配是热噪声主导（~75%），因为降低热噪声需改变无源器件阻抗、直接增加功耗，而降低量化噪声成本低得多
保持 $N_{q}$ 比 $N_{th}$ 低约 12 dB 不仅是最优的，还提供了对抗 $N_{q}$ 不可重复性和谐波分量的设计裕量

参考文献

Pavan, S. (2011). “Alias rejection of continuous-time modulators with switched-capacitor feedback DACs.” IEEE Trans. Circuits Syst. I, 58(2), 233–243.
Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §10.5. IEEE Press/Wiley.
Cherry, J. A. (1998). Theory, Practice, and Fundamental Performance Limits of High Speed Data Conversion Using Continuous-Time Delta-Sigma Modulators. Ph.D. dissertation, Carleton University.

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📙 Rosa 补充（Ch.4 NRZ/SC 反馈 DAC 噪声分析）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.4 对 CT-ΣΔM 的 DAC 反馈噪声给出了系统化分析。

NRZ DAC 的噪声特性（§4.6.1）

NRZ DAC 电流源的热噪声 PSD： $S_{I} = 4 k T / R_{D A C}$ （与电阻成反比）
等效输入噪声： $S_{e q, D A C} = 4 k T R_{D A C}$ （与输入电阻串联）
设计约束： $R_{D A C}$ 应足够大以降低噪声，但不能过大以致限制电流摆幅

SC DAC 的噪声特性（§4.6.2）

SC DAC 在每次切换时将 $k T / C_{D A C}$ 噪声注入积分器
带内 SC DAC 噪声： $\overline{v_{n, SC}^{2}} = \frac{k T}{C _{D A C} \cdot OSR}$
SC DAC 的优势：抖动敏感性低（电荷由电容决定而非脉冲宽度）
SC DAC 的劣势：高峰值电流破坏积分器线性度 + 削弱隐含反混叠

NRZ vs SC DAC 噪声对比

特性	NRZ DAC	SC DAC
噪声机制	电阻热噪声	$k T / C$ 采样噪声
抖动敏感性	高	低
积分器线性度	好（恒定电流）	差（脉冲电流）
隐含反混叠	保持	削弱
适用场景	高线性度 CT-ΣΔM	抖动受限 CT-ΣΔM

差异定位：Pavan Ch.10 侧重 OTA/电阻热噪声和噪声预算分配；Rosa Ch.4 增加了 NRZ vs SC DAC 的系统对比和 SC DAC 噪声特性的定量分析。

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