LPTV系统与CT-ΔΣ混叠分析

线性周期时变（LPTV）系统理论为分析 CT-ΔΣ 调制器（尤其是使用时变环路滤波器如 SC DAC 的调制器）提供了严格的数学框架。核心结论：以频率 $f_s$ 变化且输出以相同频率采样的 LPTV 系统，在采样值意义上等效于一个 LTI 滤波器后接采样器。

---

前后关系

上下文：附录C 为全书最理论性的章节之一，为 Ch.8-Ch.10 的 CT-ΔΣ 分析提供严格理论基础。

前置知识：CT-ΔΣ调制、反馈控制原理与系统组成（理解 LTI 系统分析）

后接：CT-ΔΣ系统化设计定心与闭环拟合、CT-ΔΣ环路滤波器非线性分析与辅助运放技术

---

LTI → LTV → LPTV 演化

LTI 系统

• 叠加原理 + 时不变性
• 冲激响应 $h(t)$，频率响应 $H(f)=\mathcal{F}\{h(t)\}$
• 复指数是特征函数：$e^{j2\pi ft}\to H(f)e^{j2\pi ft}$

LTV 系统（线性时变）

• 满足叠加原理但不满足时不变性
• 双变量冲激响应 $h(t,\tau )$：观察时间 $t$，冲激施加在 $t-\tau$ 前
• 复指数响应：$e^{j2\pi ft}\to H(f,t)e^{j2\pi ft}$，增益随时间变化

LPTV 系统（线性周期时变）

• LTV + 周期性：$\alpha (t)=\alpha (t+T)$，$T=1/f_s$
• 冲激响应满足 $h(t,\tau )=h(t+T,\tau )$
• 时变频率响应 $H(f,t)$ 以 $T$ 为周期

---

谐波传递函数

傅里叶级数展开

$H(f,t)$ 以 $T$ 为周期，可展开为：

$$H(f,t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{H}_k(f)e^{j2\pi k{f}_{s}t}$$

其中 $H_k(f)$ 称为 谐波传递函数（Harmonic Transfer Function）：

$$H_k(f)=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}H(f,t)e^{-j2\pi k{f}_{s}t}dt$$

物理意义

当 LPTV 系统被 $e^{j2\pi ft}$ 激励时，输出为：

$$y(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{H}_k(f)e^{j2\pi (f+k{f}_s)t}$$

即输入单频 $f$ 在输出产生 $f+k{f}_s$ 的无穷多个频率分量。

电路仿真

• .PSS 分析：求周期稳态工作点
• .PAC 分析（Periodic AC）：得到谐波传递函数 $H_k(f)$

---

带抽样的 LPTV 系统（核心结论）

LTI 等效性

以 $f_s$ 变化的 LPTV 系统，输出以相同 $f_s$ 采样时，在采样值意义上等价于一个 LTI 滤波器后接采样器：

$$H_{eq}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{H}_k(f)$$

物理直观：输出中的 $f+k{f}_s$ 分量以 $f_s$ 采样时，全部混叠回基带，各次谐波传递函数之和构成等效 LTI 响应。

时域法求 $h_{eq}(t)$

1. 用 $\delta (t-\Delta t)$ 激励 LPTV 系统
2. 采集采样输出序列 $\{y(nT)\}=h_{eq}(nT-\Delta t)$
3. 扫描 $0\le \Delta t<T$ 可重构完整 $h_{eq}(t)$

---

伴随网络法

构建规则

原始网络 $N$	伴随网络 $\hat{N}$
线性 R、C、L	保持不变
周期开关（$\varphi (t)$ 控制）	开关由 $\varphi (-t)$ 控制
CCCS（$i_2=R{i}_1$）	VCVS（${\hat{v}}_1=R{\hat{v}}_2$），端口交换
VCCS（$i_2=G{v}_1$）	VCCS（${\hat{i}}_1=G{\hat{v}}_2$），端口交换
求和节点	分支点
分支点	求和节点
时变增益 $\alpha (t)$	时变增益 $\alpha (-t)$

应用方法

伴随网络一次仿真即可确定 $h_{eq}(t)$：

1. 构建伴随网络 $\hat{N}$
2. 在 $\hat{N}$ 的”输出”端口施加 $\delta (t)$
3. 观察 $\hat{N}$ “输入”端口的波形，即为 $h_{eq}(t)$

---

CT-ΔΣ 混叠抑制分析

理想情况（时变环路滤波器）

当环路滤波器为 LTI 时：

$$STF(f)=L_0(j2\pi f)\cdot NTF(e^{j2\pi f})$$

STF 在 $f_s$ 整数倍处有零点 → 隐含抗混叠。

SC DAC 导致的退化

使用时变环路滤波器（如 SC DAC）时，等效 LTI 响应为：

$$L_{eq}(j2\pi f)=L_{ideal}(j2\pi f)+\frac{f_{s}C}{G_{ota}}\sum _k{L}_{ideal}(j2\pi (f+k{f}_s))e^{-j2\pi (f+k{f}_s)\cdot 0.5T}$$

退化机制：

• SC DAC 的周期性采样操作引入 $f_s$ 附近频率分量的混叠路径
• 有限 $G_m$ 下，$f_s$ 处 STF 零点深度仅 $\approx 1/(G_{m}R)$（约 20 dB）
• 混叠抑制从理想情况的无穷大急剧退化到约 20 dB

重要结论：SC DAC 在提供抖动免疫力的同时，严重削弱了 CT-ΔΣ 的隐含抗混叠能力。这是 CT-ΔΣ 设计中需要仔细权衡的核心折衷之一。

---

多输入 LPTV 系统

对于具有多个输入源的 LPTV 网络，所有等效 LTI 滤波器的冲激响应可通过单次伴随网络分析同时获得。

噪声分析：各独立噪声源通过各自等效 LTI 滤波器贡献到输出，总输出 PSD 为各贡献之和。

---

📙 Rosa 补充（Ch.10 混叠分析与 LPTV 系统实用诠释）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.10 对 LPTV 系统在 CT-ΔΣ 中的应用增加了实用诠释。

LPTV 系统的工程直觉（§10.2.1）

Rosa 用简单的开关模型解释 LPTV 概念：

• 时变增益的物理来源：斩波 OTA 的 $g_m(t)$ 在 $\pm g_m$ 之间切换 → 等效于 LTI 增益 ${\bar{g}}_m$ 与调制器 $m(t)$ 的乘积
• 混叠路径的两种类型：
  1. 低频信号 → 调制到 $f_s$ 附近的带外（SC DAC 的主效应）
  2. 高频阻塞 → 调制回基带（CT-ΔΣ 反混叠退化的主因）

SC DAC 混叠的定量公式

Rosa 对 SC DAC 的混叠给出了简洁的工程公式：

$$\text{Alias Rejection}\approx 20{\log }_{10}\left(1+\frac{G_{m}R}{\pi }\cdot \frac{f_B}{f_s}\right)\text{ dB}$$

• 当 $G_{m}R\gg 1$ 时，混叠抑制与 $G_{m}R$ 成正比
• 典型值：$G_{m}R=40$, $f_B/f_s=1/64$ → 混叠抑制约 26 dB

SC DAC 与 NRZ DAC 的混叠对比

DAC 类型	混叠抑制（典型）	抖动敏感性	OTA 线性度要求
NRZ（LTI 近似）	无穷大（理论）	高	低
RZ	好	中	中
SC（LPTV）	~20-30 dB	低	高

差异定位：Pavan App.C 建立了 LPTV 理论的严格数学框架（谐波传递函数、伴随网络法）；Rosa 增加了 LPTV 的物理直觉、SC DAC 混叠抑制的简化工程公式和 三种 DAC 的混叠-抖动-线性度三维对比。

---

参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), Appendix C. IEEE Press/Wiley.
2. Schreier, R. & Zhang, B. (1996). “Delta-sigma modulators employing continuous-time circuitry.” IEEE Trans. CAS I, 43(4), 324-332.
3. Pavan, S. (2011). “Alias rejection of continuous-time modulators with switched-capacitor feedback DACs.” IEEE Trans. CAS I, 58(2), 233-243.

相关页面

• CT-ΔΣ调制
• CT-ΔΣ调制基础与一阶CT-MOD1
• CT-ΔΣ系统化设计定心与闭环拟合
• Pavan ΔΣ 数据转换器 附录C LPTV系统 深度解析