CT-ΔΣ 环路滤波器拓扑与建模方法

CT-ΔΣ 的环路滤波器有多种拓扑（CIFB/CIFF/CIFF-B/CRFB），各具不同的 STF 滚降、积分器摆幅和设计折衷。通过连续时间状态空间描述和离散化，CT-ΔΣ 可转化为等效 DT 系统进行仿真验证，动态范围缩放则平衡噪声和摆幅约束。

前后关系

上下文：在前几节建立 CT-ΔΣ 基本原理（§8.1-§8.2）和 DAC 脉冲形状效应（§8.3-§8.4）后，§8.5-§8.8 转向环路滤波器的具体实现拓扑以及仿真和设计方法学。

前置知识：

CT-ΔΣ调制基础与一阶CT-MOD1 — 脉冲不变变换
高阶CT-ΔΣ调制与DAC脉冲形状效应 — CT-MOD2 与高阶设计
CIFB与CRFB反馈环路滤波器拓扑 — DT 域 CIFB/CRFB
CIFF与CRFF前馈环路滤波器拓扑 — DT 域 CIFF/CRFF
ΔΣ环路状态空间描述 — DT 域 ABCD 矩阵

后续章节：

CT-ΔΣ设计实例 — 三阶 CIFF 的完整设计
Ch.10（CT-ΔΣ电路设计实现，规划中）— 集成电路实现

原理介绍

CIFB 族：反馈结构（§8.5.1）

三阶 CIFB CT-ΔΣ 调制器如图 8.25 所示。三个 DAC 分别从最后、中间、第一个积分器反馈：

L_{0} (s) = \frac{k _{3}}{s ^{3}}, L_{1} (s) = \frac{k _{3}}{s ^{3}} + \frac{k _{2}}{s ^{2}} + \frac{k _{1}}{s}

特性

STF 高频滚降 $1/ f^{3}$ ：最陡峭的带外衰减，对 RF 输入干扰的抑制最好
快/精路径解耦：内部 DAC（ $k_{1}$ ）构成”快路径”，外部 DAC（ $k_{3}$ ）构成”精路径”
积分器摆幅大：每个积分器输出包含大量输入分量 → 第一个积分器单位增益频率低 → 大电容、大面积、对后续噪声敏感
需要多个 DAC：实现复杂度高

输入前馈改进（图 8.26）

CIFB 的积分器大幅摆问题可通过输入前馈缓解：

L_{0} (s) = \frac{b _{3}}{s ^{3}} + \frac{b _{2}}{s ^{2}} + \frac{b _{1}}{s} + b_{0}

若 $b_{0} = 1, b_{1} = k_{1}, b_{2} = k_{2}$ ，则积分器输出不含 dc 输入分量。代价是高频 STF 变为 $b_{0} \cdot NTF (e^{j 2 π f})$ ——失去了原有的 $1/ f^{3}$ 滤波特性。

CIFF 族：前馈结构（§8.5.2）

三阶 CIFF CT-ΔΣ 调制器如图 8.27 所示。仅需一个反馈 DAC：

L_{0} (s) = L_{1} (s) = \frac{k _{3}}{s ^{3}} + \frac{k _{2}}{s ^{2}} + \frac{k _{1}}{s} (8.32)

特性

仅需一个 DAC：显著降低硬件复杂度
积分器摆幅小：除最后一个积分器外，输出不含输入分量 → 第一个积分器单位增益频率高 → 小电容、小面积
STF 滚降仅 $1/ f$ ：由于前馈引入的零点，高频滚降最差
STF 带外可能抬升（peaking）：对无线应用中带外干扰敏感

CIFF 与 CIFB 的 STF 关系

STF_{CIFF} (s) = (1 + \frac{k _{2}}{k _{3}} s + \frac{k _{1}}{k _{3}} s^{2}) STF_{CIFB} (s) (8.33)

前馈路径的零点使 CIFF 的 STF 在高频抬升——这是为积分器小摆幅付出的代价。

CIFF-B 族：混合结构（§8.5.3）

CIFF-B 结构（图 8.28）结合了 CIFB 和 CIFF 的优点：

L_{0} (s) = \frac{k _{3}}{s ^{3}} + \frac{k _{2}}{s ^{2}}, L_{1} (s) = \frac{k _{3}}{s ^{3}} + \frac{k _{2}}{s ^{2}} + \frac{k _{1}}{s} (8.34)

特性

STF 滚降 $1/ f^{2}$ ：介于 CIFB（ $1/ f^{3}$ ）和 CIFF（ $1/ f$ ）之间
快/精路径解耦（如 CIFB）：通过 $k_{1}$ DAC 形成快速反馈
输入积分器摆幅小（如 CIFF）：积分器输出不含低频输入分量

CIFF-B 在高速设计中特别受欢迎——兼顾了高频滚降（抗混叠）和积分器效率。

三种拓扑对比

特性	CIFB	CIFF	CIFF-B
反馈 DAC 数量	3	1	2
高频 STF 滚降	$1/ f^{3}$	$1/ f$	$1/ f^{2}$
输入积分器摆幅	大	小	小
快/精路径解耦	是	否	是
对 RF 干扰抑制	优	差	良

复 NTF 零点（§8.6）

原理

Ch.4 表明，将 NTF 零点在信号带宽内展开（而非全部集中于 dc）可提高 SQNR。最优 NTF 零点位于单位圆：

z_{0, i} = e^{j ω_{i}}

根据脉冲不变映射 $s_{k} = ln (z_{k})$ ，CT 环路滤波器需在虚轴上有共轭极点：

p_{i} = ln (z_{0, i}) = j ω_{i} (8.35)

实现方式

通过在一对积分器间添加负反馈谐振回路（图 8.29），形成 $s^{2} + ω_{i}^{2}$ 的谐振器。对应的拓扑称为：

CRFB（Cascade of Resonators with FeedBack）：在 CIFB 基础上增加谐振反馈（图 8.29）
CRFF（Cascade of Resonators with FeedForward）：在 CIFF 基础上增加谐振回路
CRFF-B：在 CIFF-B 基础上增加谐振回路

仿真建模（§8.7）

CT 状态空间描述

以二阶 CIFF CT-ΔΣ 为例（图 8.30），积分器输出为状态变量 $x_{1}, x_{2}$ ：

\overset{x}{˙}_{1} = x_{2} + b_{1} u - k_{1} v

\overset{x}{˙}_{2} = b_{2} u - k_{2} v - x_{1} + b_{0} u

矩阵形式（ $N$ 阶，两个输入 $u$ 和 $v$ ）：

\dot{x} (t) = A_{c} x (t) + B_{c} [u (t) v (t)] (8.37)

ϕ (t) = C_{c} x (t) + D_{c} [u (t) v (t)] (8.38)

其中 $A_{c} : N \times N$ ， $B_{c} : N \times 2$ ， $C_{c} : 1 \times N$ ， $D_{c} : 1 \times 2$ 。

DT 离散化

对于缓慢变化的输入和 NRZ 反馈， $u (t)$ 和 $v (t)$ 可近似为分段常数（图 8.31）。状态从 $n$ 到 $n + 1$ 的演化：

x [n + 1] = e^{A_{c}} x [n] + A_{c}^{- 1} (e^{A_{c}} - I) B_{c} [u [n] v [n]] (8.39)

ϕ [n] = C_{c} x [n] + D_{c} [u [n] v [n]] (8.40)

等效 DT 状态矩阵：

A_{d} = e^{A_{c}}, B_{d} = A_{c}^{- 1} (e^{A_{c}} - I) B_{c}, C_{d} = C_{c}, D_{d} = D_{c} (8.41)

一旦离散化，CT-ΔΣ 可用与 DT-ΔΣ 相同的仿真代码（如 simulateDSM）进行验证。

非 NRZ DAC 的扩展

对于任意 DAC 脉冲 $p_{d a c} (t)$ ，将 $B_{c}$ 分为 $[B_{c 1} B_{c 2}]$ （分别对应 $u$ 和 $v$ 的输入矩阵），修改 $B_{d}$ 的第二列：

B_{d 1} = A_{c}^{- 1} (e^{A_{c}} - I) B_{c 1}

B_{d 2} = \int_{0}^{1} e^{A_{c} (1 - τ)} B_{c 2} p_{d a c} (τ) d τ (8.42) - (8.43)

动态范围缩放（§8.8）

问题描述

实际 CT-ΔΣ 面临两个约束：

积分器热噪声：每个积分器贡献输入参考噪声（图 8.32）
饱和：积分器输出受有限电源电压限制

在 CIFF 结构中（图 8.32）， $x_{3}$ （最后一个积分器输出）包含大幅输入分量（ $k_{3} x_{3} \approx u$ ， $k_{3} < 1$ ），而 $x_{1}$ 仅处理小幅量化噪声 → 各状态摆幅差异巨大。

缩放原理

状态缩放不改变传输函数：将第一个积分器增益乘以 $α$ ，所有感知 $\overset{x}{^}_{1}$ 的路径增益除以 $α$ （图 8.33）。状态变换矩阵 $T$ （对角阵）：

\hat{x} = T x, x = T^{- 1} \hat{x}

缩放后的状态矩阵：

\hat{A} = T A T^{- 1}, \hat{B} = TB, \hat{C} = C T^{- 1}, \hat{D} = D (8.46)

设计指导

$α$ 太小 → 放大热噪声（后端增益 $k_{1} / α$ 很大）
$α$ 太大 → 积分器饱和 → 调制器失稳
最优：使各积分器输出在信号峰值下尽可能大但不超出电源轨

动态范围缩放后积分器单位增益频率提高 → 电容值降低 → 面积减小。

关键洞察

三种拓扑构成完整的设计空间：CIFB（最优 STF 滤波，代价最大）、CIFF（最简单，积分器最有效）、CIFF-B（最佳折衷，实践中广泛使用）
CT 离散化是仿真的关键：将 CT 状态空间转化为 DT 等效后，可直接重用 DT-ΔΣ 工具箱的全部功能
复 NTF 零点的 CT 实现依赖谐振器： $s^{2} + ω_{i}^{2}$ 回路使 NTF 零点从 dc 分散到信号带宽内

参考文献

Schreier, R. & Zhang, B. (1996). “Delta-sigma modulators employing continuous-time circuitry.” IEEE Trans. Circuits Syst. I, 43(4), 324–332.
Norsworthy, S. R., Schreier, R., & Temes, G. (1997). Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design, and Simulation. IEEE Press.

KnowledgeWiki

探索

CT-ΔΣ环路滤波器拓扑与建模方法

关系图谱