CT-ΔΣ 积分器实现与 OTA 架构

§10.1-§10.4 系统比较三种积分器拓扑（Opamp-RC/OTA-RC/Gm-C）的优劣，深入分析单级 OTA、Miller 补偿两级 OTA、前馈补偿两/多级 OTA 的传递函数、带宽限制及稳定性特性，并解析前馈放大器的 Barkhausen 悖论。

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前后关系

上下文：前几章已建立 CT-ΔΣ 的架构级设计基础（Ch.8 的脉冲不变变换/矩方法/CIFF/CIFB 拓扑，Ch.9 的 ELD/时钟抖动/亚稳态分析）。Ch.10 跨入电路实现层面——积分器是环路滤波器的核心构建块，其非理想性直接影响 NTF 能否按设计实现。

前置知识：

• CT-ΔΣ调制基础与一阶CT-MOD1 — 积分器在环路中的角色
• CT-ΔΣ环路滤波器拓扑与建模方法 — CIFB/CIFF 拓扑
• 运算放大器设计 — 运放基本指标
• 频率补偿技术 — Miller/Cascode 补偿基础

后续内容：

• CT-ΔΣ器件噪声分析与噪声预算分配 — OTA 热噪声建模
• CT-ΔΣ系统化设计定心与闭环拟合 — 非理想 OTA 的 NTF 恢复
• CT-ΔΣ环路滤波器非线性分析与辅助运放技术 — OTA 弱非线性失真

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原理介绍

三种积分器拓扑对比

1. Opamp-RC 积分器（图 10.1a）

理想条件下 $V_o(s)/V_i(s)=1/(sCR)$。优点：理想运放提供虚地→电流电压转换高度线性，寄生不敏感（输出零阻抗、虚地节点电压不变），驱动下一级无问题。

致命缺陷：低输出阻抗需要共漏输出级，严重限制输出摆幅。

共漏级输出摆幅分析（图 10.2）：

• 输出上限：$V_{DD}-V_{\text{dsat}}-V_{\text{th}}$（NMOS 进入线性区前）
• 输出下限：$V_{\text{SS}}+V_{\text{dsat}}$（尾电流源进入线性区前）
• 峰峰值：$V_{DD}-V_{\text{SS}}-3V_{\text{dsat}}-V_{\text{th}}$

若 $V_{DD}=1.2\text{V},V_{\text{th}}=0.5\text{V},V_{\text{dsat}}=100\text{mV}$，摆幅仅 400 mV。这导致电容值增大、ADC 步长减小、量化器设计复杂化。

2. OTA-RC 积分器（图 10.1b）

OTA 是压控电流源，通过负反馈实现零输出阻抗（不需共漏级）。输出摆幅仅受 $V_{\text{dsat}}$ 限制：峰峰值 $\approx V_{DD}-2V_{\text{dsat}}$（远优于 Opamp-RC）。线性度依靠负反馈维持，是 CT-ΔΣ 最常用的积分器类型。

3. Gm-C 积分器（图 10.1c）

开环结构，$V_o(s)/V_i(s)=G_m/(sC)$。速度最快但因开环工作线性度差（与器件特性强相关）、对寄生电容敏感。仅适用于内积分器（线性度要求较低的场合）。

单级 OTA-RC 积分器（§10.1.1）

图 10.3a，有限 $G_m$ 导致两个问题：

a) 单位增益频率偏移：

$$\alpha =\frac{G_{m}R}{G_{m}R+1}<1$$

实际 UGF 从 $1/(CR)$ 降到 $\alpha /(CR)$。可通过调整 R 或 C 修正。

b) RHP 零点：输入经积分电容前馈产生，叠加相位滞后（等效于 ELD）。

$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{\alpha }{sCR}\cdot \frac{1}{1+\frac{sC}{G_m}}$$

消除方法（图 10.3b）：在积分电容路径串联电阻 $R_z=1/G_m$，使传递函数恢复 $1/(sCR)$。

单级 OTA 的实践问题（图 10.4）：

• 以差分对实现的单级 OTA 增益有限
• 当级联积分器时输入共模≈输出共模→$V_{\text{cm}}\le V_{\text{th}}$
• 高线性度需要 $G_{m}R\gg 1$，功耗不经济

Miller 补偿 OTA-RC 积分器（§10.2）

图 10.5：两级 OTA，$G_{m1}$ 与 $G_{m2}$ 级联，$C_C$ 跨 $G_{m2}$ 进行 Miller 补偿，串联电阻 $R_z=1/G_{m2}$ 消除 RHP 零点。

改进点：

• DC 增益大幅提高（两级）
• 内部节点共模无约束→输出可达 $V_{DD}-V_{\text{dsat}}$
• 可加 Cascode 提升第一级增益

等效跨导分析：

$$i_2=i_1\frac{C_C}{C_1}\Rightarrow G_{m,\text{eff}}\approx G_{m1}\frac{C_C}{C_1}(10.5)$$

这意味着 Miller 补偿 OTA 可视为等效单级 OTA，但其 $G_m$ 被 $C_C/C_1$ 因子提升。使积分器接近理想的条件：

$$\frac{G_{m,\text{eff}}}{C}/\frac{1}{RC}\gg 1\Rightarrow \frac{G_{m1}}{C_C}\gg \frac{1}{RC}(10.6)$$

额外极点：考虑寄生后，积分器传递函数变为：

$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{sCR}\cdot \frac{1}{1+s/p_0}(10.7)$$

这引入了一个寄生极点 $p_0$——是后续设计定心需要补偿的主要对象。

前馈补偿 OTA-RC 积分器（§10.3）

图 10.6：第三跨导 $G_{m3}$ 感知并泵入输出节点电流，提供”快速路径”。$G_{m1}+G_{m2}$ 构成高增益慢路径。

与 Miller 补偿对比（图 10.7）：

• Miller：UGB ≈ $G_{m1}/C_C$，需 $C_C$ 使 UGB < $G_{m2}/(C_1+C_2)$
• 前馈：UGB ≈ $G_{m3}/C_2$，比 Miller 的 UGB 高得多
• 原因：Miller 故意”慢下来”，前馈不”慢”即实现稳定

前馈的零点问题：前馈在传递函数中引入零点，导致慢建立瞬态——这在 SC 电路（关心采样值）中不能接受，但在 CT-ΔΣ（关心完整波形）中不是问题。

反馈因子的稳定性差异：

• Miller：反馈因子越大越不稳定，单位反馈最差
• 前馈：反馈因子越小越不稳定，单位反馈最稳定→不适合通用运放

高阶前馈 OTA（图 10.8，Mitteregger 2006）：

三阶前馈 OTA 传递函数：

$$A(s)=\frac{G_1}{s{C}_1}+\frac{G_2{G}_3}{s^2{C}_1{C}_2}+\frac{G_2{G}_4{G}_5}{s^3{C}_1{C}_2{C}_3}(10.8)$$

优点：过渡带更窄，可在更宽频带上维持高增益（图 10.8b）。 条件稳定的处理：保证一阶路径最后饱和——即使内部节点饱和，恢复过程中仍有稳定的”主路径”。

前馈放大器稳定性（§10.4）

考虑三阶前馈 OTA 的环路增益（单位反馈）：

$$LG(s)=\frac{k_1}{s}+\frac{k_2}{s^2}+\frac{k_3}{s^3}(10.9)$$

设 $k_1=2.5,k_2=0.5,k_3=0.1$，则在 UGF 附近幅频响应以 20 dB/dec 滚降，相位裕度接近 90°。但在 $\omega \approx 10^2$ rad/s 处，$|LG|=12.5>1$ 且 $\angle LG=-180^{\circ }$。

Barkhausen 悖论：$|LG({\omega }_1)|>1$ 且 $\angle LG({\omega }_1)=-180^{\circ }$ 时系统为何还能稳定？

直觉解析（图 10.10-10.11）：

• $|LG(j{\omega }_1)|=12.5$ 是稳态增益，不代表瞬态响应
• 开关闭合瞬间（输入从 A 跳到 10A），一阶路径 $k_1/s$ 主导瞬态响应
• 一阶路径的输出是斜坡（积分器特性），经反相后使反馈信号下降（淬灭振荡）
• 若 $k_1$ 不够大，瞬态纠正不足→振荡建立

结论：一阶路径的高增益是前馈环路稳定的关键。

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关键要点

1. OTA-RC 是 CT-ΔΣ 积分器的最佳工程折衷：线性度（负反馈）、摆幅（$V_{DD}-2V_{\text{dsat}}$）、寄生不敏感三项优势远超 Opamp-RC（摆幅 400 mV）和 Gm-C（有线性的无速度，有速度的无线线性）
2. 前馈补偿在 CT 域优于 Miller 补偿：相同功耗下 UGB 高得多。慢建立瞬态在 CT 域可接受（连续波形相关，非采样值相关）
3. 前馈放大器的稳定判据与传统直觉不同：$|LG|>1$ 且 $\angle LG=-180^{\circ }$ 仍可能稳定。一阶路径的瞬态”淬灭”作用解释 Barkhausen 悖论
4. 高阶前馈 OTA 可以实现更窄的过渡带，但条件稳定的特性要求在过载恢复中确保一阶路径最后饱和
5. 单级 OTA 的 $G_{m}R$ 是关键的品质因数：既要足够大以保证线性度和 UGF 精度，又要考虑功耗——为后续设计定心（§10.8）留下优化空间

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参考文献

1. Mitteregger, G., et al. (2006). “A 20 mW 640 MHz CMOS continuous-time ADC with 20 MHz signal bandwidth, 80 dB dynamic range and 12 bit ENOB.” IEEE J. Solid-State Circuits, 41(12), 2641–2649.
2. Cherry, J. A. (1998). Theory, Practice, and Fundamental Performance Limits of High Speed Data Conversion Using Continuous-Time Delta-Sigma Modulators. Ph.D. dissertation, Carleton University.
3. Pavan, S. (2014). “Systematic design centering of continuous-time oversampling converters.” IEEE Trans. Circuits Syst. I, 61(6), 1629–1637.

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• Rosa Sigma-Delta Converters Practical Design Guide 深度解析

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📙 Rosa 补充（Ch.4 CT 积分器/谐振器、有限增益与时间常数误差）

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.4 对 CT 积分器实现增加了系统化分析。

CT 积分器类型对比（§4.2）

积分器类型	实现	线性度	频率范围	特点
Active-RC	OTA + R + C	高（负反馈）	中频	最常用，Pavan 也推荐
Gm-C	跨导器 + C	中（开环）	高频	线性度受限，速度快
Gm-LC	跨导器 + LC	低	RF	仅用于 BP-ΣΔM 谐振器

有限 DC 增益的统一分析

Rosa 给出有限增益对 CT 积分器的统一影响：

• 理想积分器：$H(s)=1/(sRC)$
• 实际积分器：$H(s)=A_{DC}/(1+sRC\cdot A_{DC})$，极点从 dc 偏移到 $f_p=1/(2\pi RC\cdot A_{DC})$
• 对 NTF 的影响：零点偏移 $\Delta f_z\approx f_s/(2\pi \cdot A_{DC}\cdot \text{OSR})$

RC 时间常数偏差的灵敏度分析（§4.3）

Rosa 分析了 RC 工艺偏差（$\pm 20\%$）对 NTF 的影响：

• NTF 极点/零点偏移 $\propto \Delta RC/RC$
• 对带内噪声的影响：$\Delta \text{IBN}/\text{IBN}\approx 2L\cdot \Delta RC/RC$
• 解决：需用 RC 调谐环路（PLL 或数字校准）将时间常数锁定到 $T_s$ 附近

差异定位：Pavan Ch.10 侧重 OTA-RC 的前馈补偿和稳定分析；Rosa 增加了 CT 积分器类型系统对比、有限增益的统一公式和 RC 偏差的灵敏度分析。