电路中的 Jitter 与 Phase Noise

从物理层面理解 jitter 的产生：噪声电流对电容充电的时间不确定性→反相器延迟的随机性→振荡器中积累为随机游走过程。Lesson 模型和 ISF/LTV 分析为振荡器相位噪声提供了两个互补的分析框架。

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前后关系

前置知识：

• Jitter基本概念与定义 — 时域定义
• Jitter与Phase Noise关系 — 相位噪声频域表示

本书内部链条：

• Ch.4（本文）→ Ch.5-8 的应用层分析依赖 Ch.4 的电路 jitter 模型
• → Ch.9（Jitter与Phase Noise高级统计概念）Lorentzian 谱源于振荡器模型
• → Ch.10（Jitter数值方法与Matlab仿真）1/f² 和 1/f³ 噪声生成基于此

外部关联：

• CT-ΔΣ时钟抖动缓解与FIR反馈DAC — 时钟抖动缓解：FIR DAC
• CT-ΔΣ时间常数变化与时钟抖动 — 振荡器相位噪声对 CT-ΔΣ 的影响
• ΔΣ调制器性能FoM — 振荡器 FoM 对比
• CT-ΔΣ比较器与反馈DAC设计 — DAC 抖动分析

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原理介绍

基本电路中的 Jitter

噪声电流充电容

最简单的时基产生电路——电流源对电容充电至阈值 $V_{TH}$：

$$T_0=\frac{C{V}_{TH}}{I_0}$$

考虑并联噪声电流 $i_n(t)$（热噪声），节点电压偏离理想斜坡：

$${\sigma }_t^2\propto \frac{kT\gamma }{I_0^2}\cdot t$$

• $\gamma$：噪声系数（MOS：$\gamma \approx 2/3$ 用于长沟道）
• jitter 方差随时间线性增长（充电时间越长，不确定性越大）

CMOS 反相器延迟

反相器延迟 = 基延迟（$C_L{V}_{TH}/I_0$）+ excess delay（jitter）：

$$t_{pd}=\frac{C_L{V}_{TH}}{I_0}+\Delta t_{noise}$$

• 噪声电流使 $V_{out}(t)$ 提前或推迟到达 $V_{TH}$
• 级联反相器的 excess delay 是随机游走过程

CMOS 差分对

差分对中尾电流源的噪声和负载噪声：

$${\sigma }_{\Delta t}^2\propto \frac{kT\gamma }{I_{SS}}\cdot \frac{C_L}{g_m}$$

差分结构的共模抑制特性使其对电源噪声比单端反相器更鲁棒。

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振荡器中的 Jitter

环形振荡器

三阶环振（3 个反相器环）：$T_{nom}=6t_{pd}$

绝对抖动的随机游走模型：

$$Y[n]=Y[n-1]+X_1[n]+X_2[n]+X_3[n]$$

• 每个反相器的 excess delay $X_i[n]$ 独立同分布
• $Y[n]$ 方差 $\propto n$（周期数）→ unbounded
• 周期抖动：$\text{Var}[p_k]=3\cdot \text{Var}[X]$（有限）

核心结论：

• 自由运行振荡器的 absolute jitter 方差随 $n$ 线性增长 → ${\sigma }_a^2\propto t$
• PLL 通过反馈将低频相位噪声高通滤波，使 absolute jitter 收敛

弛豫振荡器

基于比较器 + RC 定时，jitter 来源：

• RC 充放电噪声
• 比较器输入参考噪声
• 阈值电压噪声

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振荡器相位噪声分析

Leeson 模型（1966）

$$\mathcal{L}(\Delta \omega )=10{\log }_{10}\left[\frac{FkT}{P_s}\left(1+{\left(\frac{{\omega }_0}{2Q\Delta \omega }\right)}^2\right)\right]$$

• $F$：经验噪声因子（含所有噪声源的贡献）
• $P_s$：振荡器载波功率
• $Q$：谐振腔品质因数
• ${\omega }_0$：振荡频率
• $\Delta \omega$：频率偏移

模型揭示：

• 近载波处（$\Delta \omega \ll {\omega }_0/2Q$）：$\mathcal{L}\propto 1/\Delta {\omega }^2$（热噪声被谐振放大）
• 远载波处（$\Delta \omega \gg {\omega }_0/2Q$）：$\mathcal{L}\propto 1$（噪声基底）
• $Q$ 每提高一倍 → 近载波相位噪声改善 6dB

LC 振荡器

LC 槽路（$L$、$C$、$R_p$）提供高 $Q$ 选频：

$$Q_{LC}=\frac{R_p}{{\omega }_{0}L}={\omega }_0{R}_{p}C$$

• Cross-coupled pair（NMOS 或 CMOS）补偿槽路损耗
• 相位噪声优势：$Q_{LC}\gg 1$，远优于环形振荡器
• 面积权衡：电感占据大量芯片面积

晶体振荡器

• $Q$ 极高（$10^4-10^6$）
• 相位噪声极低（接近载波处可达 -160dBc/Hz@1kHz）
• 但仅能产生特定频率（基频或泛音），需 PLL 倍频

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ISF 与 LTV 分析

Hajimiri & Lee（1998）提出的**线性时变（LTV）**框架：

冲激敏感函数（ISF）

$\Gamma ({\omega }_{0}t)$：描述振荡波形不同相位处注入噪声脉冲对总 excess phase 的影响。

核心观察：

• 噪声脉冲在波形峰值处注入 → $\Gamma \approx 0$（幅度恢复为主，相位影响极小）
• 噪声脉冲在过零点处注入 → $\Gamma$ 最大（相位影响最大）
• 对称波形 → ISF 偶次谐波为零 → 抑制闪烁噪声上变

从 ISF 到相位噪声：

$$\mathcal{L}(\Delta \omega )=10{\log }_{10}\left(\frac{{\sum }_i\overline{{\Gamma }_i^2}\cdot \overline{i_{n,i}^2}/\Delta f}{2q_{max}^2\Delta {\omega }^2}\right)$$

• $q_{max}$：节点最大电荷摆幅
• $\overline{{\Gamma }_i^2}$：第 $i$ 个噪声源的 ISF 有效值
• $\overline{i_{n,i}^2}/\Delta f$：该噪声源的电流谱密度

Leeson 噪声因子 $F$ 的 LTV 解释

$$\mathcal{L}(\Delta \omega )=10{\log }_{10}\left(\frac{kT}{P_s}\cdot \frac{{\omega }_0^2}{4Q^2\Delta {\omega }^2}\cdot \sum _i\overline{{\Gamma }_i^2}\cdot {\gamma }_i\right)$$

LTV 将 Leeson 模型中的经验 $F$ 因子分解为每个器件的 ISF + 噪声系数的显式求和。

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振荡器 FoM

定义（归一化品质因子）：

$$FoM=\mathcal{L}(\Delta f)-20{\log }_{10}\left(\frac{f_0}{\Delta f}\right)+10{\log }_{10}\left(\frac{P}{1\text{mW}}\right)$$

振荡器类型	典型 FoM [dB]	优势	劣势
环形振荡器	155-165	面积小、多相位	相位噪声差
LC 振荡器	175-190	相位噪声好、频率高	面积大、调谐范围有限
晶体振荡器	190+（含外部）	相位噪声极好	固定频率、片外

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理想分频器与倍频器

分频器（$+N$）

$${\sigma }_{a,out}=\frac{{\sigma }_{a,in}}{N}\text{（jitter 缩放）}$$ $${\mathcal{L}}_{out}(f)={\mathcal{L}}_{in}(f)+20{\log }_{10}N\text{（相位噪声退化）}$$

推理：输入 jitter 除以 $N$ 倍周期，但相位噪声谱密度增加 $N^2$ 倍（能量守恒 + 频率缩放）。

倍频器（$\times N$）

$${\sigma }_{a,out}=N\cdot {\sigma }_{a,in}$$ $${\mathcal{L}}_{out}(f)={\mathcal{L}}_{in}(f)+20{\log }_{10}N$$

倍频放大了 jitter 和相位噪声，是 PLL 设计中参考路径噪声优化的关键挑战。

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参考文献

1. Da Dalt, N., & Sheikholeslami, A. (2018). Understanding Jitter and Phase Noise, Ch.4. Cambridge University Press.
2. Leeson, D. B. (1966). “A Simple Model of Feedback Oscillator Noise Spectrum.” Proc. IEEE, 54(2), 329-330.
3. Hajimiri, A., & Lee, T. H. (1998). “A General Theory of Phase Noise in Electrical Oscillators.” IEEE JSSC, 33(2), 179-194.
4. Demir, A., Mehrotra, A., & Roychowdhury, J. (2000). “Phase Noise in Oscillators: A Unifying Theory and Numerical Methods for Characterization.” IEEE Trans. CAD, 19(6), 655-674.
5. Lee, T. H., & Hajimiri, A. (2000). “Oscillator Phase Noise: A Tutorial.” IEEE JSSC, 35(3), 326-336.

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📕 Razavi PLL 补充（Ch.2-6 电路级相位噪声机制——环形与 LC 振荡器的定量分析）

Razavi《Design of CMOS Phase-Locked Loops》Ch.2-6 从 CMOS 电路层面深入分析振荡器相位噪声的物理机制，与 DaDalt Ch.4 的框架互补。

相位噪声 vs 频率噪声的区分（Ch.2 §2.4.1）

• 相位噪声：$S_{\phi }(f)\propto 1/f^2$（白噪声调制相位）或 $\propto 1/f^3$（flicker 调制相位）
• 频率噪声：$S_f(f)=f^2{S}_{\phi }(f)$，平坦区对应相位噪声的 $1/f^2$ 区
• 区分意义：频率噪声在 PLL 中通过 VCO 积分转换为相位噪声，理解两者关系是 PLL 设计的基础

环形振荡器 $1/f^2$ 区相位噪声方程（Ch.3 §3.1）

$$\mathcal{L}(\Delta f)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\overline{i_n^2}/\Delta f}{I_{bias}^2}\cdot \frac{f_0^2}{\Delta f^2}$$

• 噪声电流方差与偏置电流的比值决定相位噪声
• $f_0^2/\Delta f^2$ 体现随机游走特性（相位累积）
• 设计指导：增大 $I_{bias}$ 降低噪声，但增加功耗

LC 振荡器 tail 噪声定量分析（Ch.5 §5.3）

Tail 热噪声：

$$\overline{i_{n,tail}^2}=4kT\gamma g_{m,tail}$$

tail 电流噪声通过交叉耦合对的开关行为混频上变换到 ${\omega }_0$ 附近，贡献 $1/f^2$ 区相位噪声。

Tail 闪烁噪声：

$$\overline{v_{n,tail}^2}=\frac{K_f}{C_{ox}{W}_{tail}{L}_{tail}f}$$

通过 ISF 的 DC 分量 ${\Gamma }_{dc}$ 上变换为 $1/f^3$ 区相位噪声：

$${\mathcal{L}}_{1/f^3}(\Delta \omega )=\frac{{\Gamma }_{dc}^2\cdot \overline{i_{n,1/f}^2}/\Delta f}{2q_{max}^2\Delta {\omega }^2}$$

降低 tail flicker 噪声的方法：

• 增大 tail 管面积 ($W\cdot L$)：降低 $K_f/(C_{ox}WL)$
• 增大 tail 节点电容 $C_{tail}$：抑制二次谐波电压，减小 ${\Gamma }_{dc}$
• 使用 PMOS tail：PMOS 的 $1/f$ 噪声系数通常低于 NMOS

Cyclostationary 噪声分析（Ch.5 §5.2.2）

振荡器中器件偏置周期性变化 → 噪声源 PSD 被周期性调制：

$$S_n(f,t)=S_{n,static}(f)\cdot w(t)$$

其中 $w(t)$ 为周期性加权函数。分析时需对 $w(t)$ 做 Fourier 展开，各谐波分量与噪声谱卷积。

Razavi vs DaDalt：DaDalt Ch.4 用统一的 Leeson/ISF 框架分析各类振荡器。Razavi Ch.2-6 对环形振荡器和 LC 振荡器分别推导定量公式，特别对 tail 噪声和 cyclostationary 效应有更深入的电路级分析。

关联页：Razavi Design of CMOS PLLs 深度解析 Ch.2-6