三电平、分段 DAC 与过渡误差整形

§6.6–§6.7。将失配整形扩展到非标准 DAC 结构（三电平元素、分段加权元素），并引入过渡误差整形（TES）来处理 CT DAC 的切换动态非线性。

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前后关系

上下文：§6.2–§6.5 的讨论假设 DAC 由 M 个等权重的 1-bit 单元构成。实际设计中可能使用三电平元素（降低量化噪声和热噪声），或分段加权结构（减少单元数量），这些都需要扩展 DEM 算法。§6.7 更进一步，处理 CT DAC 特有的切换动态误差。

后续章节：

• Ch.7（离散时间 ΔΣ ADC 电路设计）将进一步讨论多 bit 量化器的具体电路实现
• Ch.13（ΔΣ DAC）将失配整形用于纯数字 DAC

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原理介绍

6.6.1 三电平元素（Tri-Level Elements）

三电平元素的优势（图 6.30(a)）：每个元素可输出 -1、0、+1 三种状态。

1. 量化步长减半：相同数量的元素，量化噪声降低 6 dB
2. z 态热噪声为零：不激活时不会贡献热噪声

三电平 DEM 实现（图 6.30(b)）：

• 正输入数据编码为 M bit 的 thermometer 码 p（n 全部为 0）
• 负输入数据编码为 M bit 的 thermometer 码 n（p 全部为 0）
• p 和 n 分别经过 shuffler 后得到 P 和 N
• 每个元素的 z 信号 = NOR(p, n)

注意 p 和 n 不同时非零，因此 z 态自然产生。

6.6.2 非单元元素与分段加扰

当 M 很大时，全单元 DEM 的数字硬件开销显著。分段加扰（Segmented Scrambling，图 6.31）将 M 个单元分组为不同权重的子 DAC。

示例：257 电平 DAC 由 16 个权重 16 的元素（DAC1）和 32 个权重 1 的元素（DAC2）构成。

分解方式：

1. 输入 V 经一阶 ΔΣ 调制器 MOD1 量化 → 输出 V1（16 的倍数）+ 量化误差 E1
2. V2 = V - V1（范围 [-16, 16]），由 DAC2 处理
3. MOD1 的 NTF = 1 - z⁻¹ → V2 的范围有保证

误差分析：

$$D_{\text{out}}=V1(1+{ϵ}_1)+V2(1+{ϵ}_2)=V+V2+V1{ϵ}_1+V2{ϵ}_2$$

其中 ${ϵ}_1$ 和 ${ϵ}_2$ 分别为 DAC1 和 DAC2 的增益误差。

由于 $V2=(1-z^{-1})E1$，且 $V1{ϵ}_1+V2{ϵ}_2$ 项中的 $ϵ$ 由各自的 DEM 整形，段间增益失配也被整形。

递归分段：可将分段加扰递归应用到极致，如 Chan & Galton (2006) 使用 14 级递归，28 个权重为 $2^{13},2^{13},2^{12},2^{12},\cdots ,2,2,1,1$ 的元素构造了 $2^{14}$ 个电平。代价是输出范围减半。

6.7 过渡误差整形（Transition-Error Shaping）

前文的静态失配整形对离散时间和连续时间 DAC 均有效。但 CT DAC 存在切换动态非线性——即使单元之间完全匹配，从低到高和从高到低的切换波形也可能不对称。

CT 1-bit DAC 的非线性模型（图 6.32）

定义四种输出波形：

• ${\Delta }_{\text{LL}}(t)$：保持在低电平
• ${\Delta }_{\text{LH}}(t)$：从低切换到高
• ${\Delta }_{\text{HH}}(t)$：保持在高电平
• ${\Delta }_{\text{HL}}(t)$：从高切换到低

使用线性模型（图 6.32(b)）：

$$\text{out}={\Delta }_0(t)+{\Delta }_1(t)\nu [n]+{\Delta }_2(t)\nu [n-1]+\Delta (t)x[n]$$

其中 $x[n]=\nu [n]\cdot \nu [n-1]$ 取值为 $\pm 1$，表示是否发生切换。

线性条件（式 6.27）：模型中的 $\Delta (t)\equiv 0$ 等价于：

$${\Delta }_{\text{LL}}+{\Delta }_{\text{HH}}={\Delta }_{\text{LH}}+{\Delta }_{\text{HL}}$$

重要结论：

• 全差分 DAC 自动满足此条件（${\Delta }_{\text{LL}}={\Delta }_{\text{HH}},{\Delta }_{\text{LH}}={\Delta }_{\text{HL}}$）
• 非对称性的主要来源：开关管 $V_{\text{TH}}$ 失配、控制信号延迟失配
• 非线性分量的频谱：$\Delta (t)$ 与 $x[n]$ 的卷积 → 对 $x[n]$ 进行整形即可整形过渡误差

一阶过渡误差整形电路（图 6.33）

与向量基失配整形结构类似，但将反馈对象从元素选择向量 $\mathbf{sv}$ 改为过渡向量 $\mathbf{xv}$。

核心思想：每个环路控制对应元素的切换率。当某个元素切换太频繁时，偏置比较器使其保持当前状态。

设计挑战：$\mathbf{xu}$ 向量的选择。选择 $xu=0.7$（对应的平均切换率约 2.4 个元素/周期）在仿真中效果最佳（图 6.34）。

效果：H2 比纯 thermometer 编码降低 30+ dB。但整形交叉频率约 $f=0.03$，对 OSR=16 的改善有限。在 $f=0.07$ 附近出现较大杂散能量。

组合失配整形 + 过渡误差整形（图 6.35）

最前沿的方案将两种环路加权组合：

$$\mathbf{sv}=\beta \cdot {\mathbf{sv}}_{\text{MS}}+(1-\beta )\cdot {\mathbf{xv}}_{\text{TES}}$$

设计者根据两种误差源的相对大小选择 $\beta$（0 到 1）。

图 6.36 展示了二阶失配整形 + 一阶过渡误差整形的仿真结果，$\beta =0.5$ 时两个向量 $\mathbf{sv}$ 和 $\mathbf{xv}$ 的频谱都得到了整形。

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关键洞察

1. 三电平的双重收益：量化步长减半（-6 dB 量化噪声）+ 零态零热噪声，但代价是增加了 z 信号生成的额外逻辑
2. 分段加缩放的硬件效率：28 个元素即可构造 $2^{14}$ 电平，硬件效率极高；但可用输出范围减半，需在效率和动态范围间权衡
3. 过渡误差被普遍低估：在许多 CT ΔΣ 设计中，过渡误差可能比静态失配更严重——因为它来自开关动态而非单元匹配精度
4. 过渡误差整形仍在婴儿期：书中的 TES 分析仅覆盖一阶整形，$\mathbf{xu}$ 选择仍是一个开放问题（open problem），需要更多研究
5. 信息论最优结果：Welz & Galton (2004) 证明了带 dither 的树形 ESL 的 PSD 平滑性质，这是失配整形领域为数不多的严格理论结果之一

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §6.6-§6.7. IEEE Press/Wiley.
2. Nguyen, K. Q., & Schreier, R. (2006). “System and Method for Tri-Level Logic Data Shuffling.” U.S. Patent 7,090,063.
3. Chan, K. L., & Galton, I. (2006). “A 14b 100 MS/s DAC with Fully Segmented Dynamic Element Matching.” ISSCC, 2390-2399.
4. Risbo, L., et al. (2011). “Digital Approaches to ISI-Mitigation in High-Resolution Oversampled Multi-Level D/A Converters.” IEEE JSSC, 46(12), 2892-2903.
5. Sanyal, A., & Sun, N. (2015). “Dynamic Element Matching Techniques for Static and Dynamic Errors in Continuous-Time Multi-Bit ΔΣ Modulators.” IEEE JETCAS, 5(4), 598-611.
6. Welz, J., & Galton, I. (2004). “A Tight Signal-Band Power Bound on Mismatch Noise in a Mismatch-Shaping DAC.” IEEE Trans. Info. Theory, 50(4), 593-607.

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