ΔΣ调制器中的抽取与插值滤波

ΔΣ 调制器的输出（ADC）或输入（DAC）需要数字滤波器来移除带外整形噪声并完成采样率转换。抽取（ADC 侧）与插值（DAC 侧）是实现 ΔΣ 系统完整信号链的关键数字处理环节。

前后关系

上下文：§1.10 在完整介绍 ΔΣ ADC 和 DAC 之后，描述连接两者的数字滤波器。抽取用于 ADC 输出将过采样数据流降为奈奎斯特率，插值用于 DAC 输入将奈奎斯特率数据流升为过采样率。

后续章节：Ch.14 完整覆盖抽取和插值滤波器的设计、多级实现、低功耗技术。

v[n] (f_s) → [数字低通滤波器] → [降采样 M = OSR] → 数字输出 (奈奎斯特率)

数字输入 → [升采样 M = OSR] → [数字低通滤波器] → v[n] (f_s) → [数字 ΔΣ 调制器]

K 阶 Sinc 滤波器传递函数：

H (z) = (\frac{1 - z ^{- M}}{1 - z ^{- 1}})^{K}

频率响应：

∣ H (e^{jω}) ∣ = \frac{sin ( M ω /2 )}{sin ( ω /2 )}^{K}

ΔΣ @ 6.144 MHz → Sinc³ 滤波器 (↓64) → FIR 半带 (↓2) → 48 kHz 输出

Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §1.10 & Ch.14. IEEE Press/Wiley.
Hogenauer, E. B. (1981). “An Economical Class of Digital Filters for Decimation and Interpolation.” IEEE Trans. ASSP, 29(2), 155-162.

Rosa《Sigma-Delta Converters》Ch.1 对抽取与插值滤波给出了更完整的工程分析。

CIC 滤波器传递函数与频率响应

Rosa 给出 CIC（sinc 滤波器）的严格推导：

$Z$ 域： $H_{C I C} (z) = \frac{1}{M} \cdot \frac{1 - z ^{- M}}{1 - z ^{- 1}}$ [Eq.1.25]
频率响应： $H_{C I C} (e^{j 2 π f}) = \frac{sinc ( M π f )}{sinc ( π f )}$ [Eq.1.26]
$K$ 阶级联： $H_{C I C}^{K} (z)$ ，规则 $K = L + 1$ （ $L$ 为调制器阶数）

输出字长公式

$K$ 阶 CIC 抽取器的输出字长：

b_{o u t} = b_{in} + K lo g_{2} M

其中 $b_{in}$ 为 ΣΔM 输出位数， $M$ 为抽取因子。若 $M = 2^{p}$ ，则 $b_{o u t} = b_{in} + p \cdot K$ 。

实例：2 阶 CIC + 1-bit 一阶 ΣΔM + $M = 32$ （ $p = 5$ ）→ 输出 11-bit。

CIC 的 droop 问题

Rosa 强调 CIC 在信号带内引入幅度滚降（droop），降低有效分辨率。解决方案：

插值器（ΣΔ DAC 用）

Rosa 同样分析了 ΣΔ DAC 端的插值滤波：

差异定位：Pavan Ch.1 仅简要提及抽取滤波；Rosa 给出完整的 CIC 传递函数、字长公式和 droop 问题的工程分析，并补充了 DAC 端插值器。