高阶 CT-ΔΣ 调制与 DAC 脉冲形状效应

从 CT-MOD2 到 $N$ 阶 CT-ΔΣ，DAC 脉冲形状对 NTF 的影响随阶数增加而增加——CT-MOD1 仅依赖脉冲面积，CT-MOD2 依赖面积和延迟，$N$ 阶 CT-ΔΣ 依赖前 $N$ 个矩。Pavan 引入的矩方法为系统分析脉冲形状效应提供了统一框架。

---

前后关系

上下文：在 CT-MOD1（§8.1-§8.2）建立脉冲不变变换和隐含反混叠基本原理后，§8.3-§8.4 将分析推广到二阶和高阶。

前置知识：

• CT-ΔΣ调制基础与一阶CT-MOD1 — 脉冲不变变换、DAC 脉冲模型、$s=\ln (z)$ 映射
• 二阶ΔΣ调制器MOD2原理 — DT-MOD2 的 NTF = $(1-z^{-1}{)}^2$ 和 CIFF/CIFB 实现
• CIFB与CRFB反馈环路滤波器拓扑 — DT 域反馈拓扑结构

后续章节：

• CT-ΔΣ环路滤波器拓扑与建模方法 — CIFB/CIFF/CIFF-B 在 CT 域的实现
• CT-ΔΣ设计实例 — 三阶 CIFF 设计
• Ch.9（非理想CT-ΔΣ调制器，规划中）— ELD 问题在 §8.4.1 的矩方法中已隐含预示

---

原理介绍

CT-MOD2（§8.3）

CT-MOD2 采用 CIFF 结构（图 8.14），其 DT 原型 $L(z)$ 为：

$$L(z)=\frac{1}{\text{NTF}(z)}-1=\frac{z}{(z-1{)}^2}(8.13)$$

CT 环路滤波器假定形式为：

$$L_{CT}(s)=\frac{k_1}{s}+\frac{k_2}{s^2}(8.14)$$

系数求解

对于一个单位冲激输入，$1/s$ 和 $1/s^2$ 路径在 NRZ DAC 下的采样脉冲响应可由表 8.1 查得：

CT 传输函数	采样脉冲响应的 $z$ 变换（NRZ DAC）
$1/s$	$z^{-1}/(1-z^{-1})$
$1/s^2$	$(0.5z^{-1}+0.5z^{-2})/(1-z^{-1}{)}^2$
$1/s^3$	$(\frac{1}{6}(z^{-2}+4z^{-1}+1))/(1-z^{-1}{)}^3$

令加权组合等于 $L(z)$：

$$\frac{k_1{z}^{-1}}{1-z^{-1}}+\frac{k_2(0.5z^{-1}+0.5z^{-2})}{(1-z^{-1}{)}^2}=\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$$

两边同乘 $(1-z^{-1}{)}^2$ 并令系数相等，解得：

$$k_1=1.5,k_2=1$$

重要观察：CT-MOD2 的环路滤波器不是简单地将 DT 积分器替换为 CT 积分器——$1/s$ 和 $1/s^2$ 路径需要适当加权，且权重依赖于 DAC 脉冲形状。

CT-MOD2（CIFF）的 STF

$$\text{STF}(f)=\left(\frac{1.5(j2\pi f)+1}{(j2\pi f{)}^2}\right)(1-e^{-j2\pi f}{)}^2=(1+1.5(j2\pi f))e^{-j2\pi f}{\text{sinc}}^2(f)(8.17)$$

• 直流增益为 1
• STF 在 $s=-2/3$ 处有零点（来自前馈结构），高频渐近滚降 $1/f$
• 在 $f_s$ 整数倍处仍为零——隐含反混叠保留

CT-MOD2（CIFB）的 STF

$$\text{STF}(f)=\frac{1}{(j2\pi f{)}^2}(1-e^{-j2\pi f}{)}^2=e^{-j2\pi f}{\text{sinc}}^2(f)(8.18)$$

• 高频渐近滚降 $1/f^2$——比 CIFF 更好的抗混叠
• 脉冲响应为三角形脉冲（宽度 $2T$）

DAC 脉冲形状对 CT-MOD2 的影响（§8.3.1）

$1/s^2$ 路径的脉冲响应

$$l_2(t)=[t\cdot u_1(t)]\ast p(t)={\int }_0^{t}p(\tau )(t-\tau )d\tau (8.19)$$

当 $t>1$（脉冲已结束）：

$$l_2(t)={\int }_0^{1}p(\tau )(t-\tau )d\tau =t\underset{{\mu }_0}{\underbrace{{\int }_0^{1}p(\tau )d\tau }}-\underset{{\mu }_1}{\underbrace{{\int }_0^1\tau p(\tau )d\tau }}(8.20)$$

采样后：

$$l_s(n)=n{\mu }_0-{\mu }_1=n-{\mu }_1(\text{当 }{\mu }_0=1)(8.22)$$

关键结论：CT-MOD2 的采样脉冲响应仅依赖于 DAC 脉冲的两个特征——面积 ${\mu }_0$ 和 平均延迟 ${\mu }_1$。对于面积相同、延迟相同的脉冲（NRZ/RZ/Raised Cosine），NTF 完全相同（图 8.18）。

高阶 CT-ΔΣ 调制器（§8.4）

对于 $N$ 阶 CT-ΔΣ，DT 原型如图 8.19a 所示，$L_0(z)$ 和 $L_1(z)$ 分别为输入和反馈的环路滤波器。CT 实现如图 8.19b。

设计约束

• 为使 STF 直流增益为 1，$L_0(z)$ 和 $L_1(z)$ 在 $z\to 1$ 时必须趋近
• NTF 在 $z=1$ 处有 $N$ 个零点 → $L_1(z)$ 有 $N$ 个 $z=1$ 极点
• 由 $s=\ln (z)$ 映射 → $L_0(s)$ 和 $L_1(s)$ 都必须有 $N$ 个 $s=0$ 极点（$N$ 个积分器）

系统化系数求解（图 8.20）

1. 从 NTF 确定 $L_1(z)=1/\text{NTF}(z)-1$
2. 确定 $L_1(z)$ 的脉冲响应 $l[n]$
3. 确定各 $1/s^i$ 路径在给定 DAC 脉冲下的采样脉冲响应 $x_i[n]$
4. 解超定线性方程组：$\sum k_i{x}_i[n]=l[n]$

该方程组虽然是超定的，但存在唯一解（与 CT-MOD2 类似）。

高阶 STF

$$\text{STF}(f)=L_0(j2\pi f)\cdot \text{NTF}(e^{j2\pi f})(8.24)$$

对于 CIFF 结构（$L_0=L_1$，图 8.21），STF 在 $f_s$ 整数倍处有与 NTF 同阶的零点，保持良好的隐含反混叠。

矩方法：脉冲形状影响的高阶推广（§8.4.1）

分析框架

对于 $N$ 阶 CT-ΔΣ，考虑最慢路径 $1/s^N$。其脉冲响应 $x_N(t)$ 通过 $p(t)$ 与斜坡 $t^{N-1}/(N-1)!$ 的卷积得到。当 $t>1$：

$$x_N(t)=\frac{1}{(N-1)!}{\int }_0^{1}p(\tau )(t-\tau {)}^{N-1}d\tau$$

展开二项式并提取矩：

$$x_N(t)=\frac{{\mu }_0}{(N-1)!}{t}^{N-1}-\frac{{\mu }_1}{(N-2)!}{t}^{N-2}+\cdots +(-1{)}^{N-1}{\mu }_{N-1}(8.28)$$

其中第 $i$ 阶矩定义为：

$${\mu }_i={\int }_0^1{\tau }^{i}p(\tau )d\tau ({\mu }_0=1)$$

关键定理

$N$ 阶 CT-ΔΣ 的 NTF 完全由 DAC 脉冲的前 $N$ 个矩（${\mu }_0,{\mu }_1,\dots ,{\mu }_{N-1}$）决定。 若两个不同脉冲具有完全相同的前 $N$ 个矩，则 NTF 完全相同。

常用 DAC 脉冲的矩（表 8.2）

DAC 类型	${\mu }_0$（面积）	${\mu }_1$（延迟）	${\mu }_2$（惯性矩）	${\mu }_3$
Impulse（$\delta (t)$）	1	0	0	0
NRZ	1	0.5	1/3	1/4
RZ（50% 占空比）	1	0.25	1/12	1/32
指数（$\frac{1}{{\tau }_d}{e}^{-t/{\tau }_d}$）	1	${\tau }_d$	$2{\tau }_d^2$	$6{\tau }_d^3$

脉冲形状变化时的系数修正

若脉冲从 $p(t)$ 变为 $q(t)$，要保持相同 NTF，系数需按以下公式调整（以三阶为例，${\mu }_0=1$）：

$$\begin{array}{rl}{k}_3^{\prime }& =k_3\\ k_2^{\prime }& =k_2+k_3({\mu }_1-{\mu }_1^{\prime })\\ k_1^{\prime }& =k_1+({\mu }_1-{\mu }_1^{\prime })(k_2)+k_3\left(\frac{{\mu }_2-{\mu }_2^{\prime }}{2}\right)-\frac{k_3}{2}({\mu }_1^2-{\mu }_1^{\prime 2})\end{array}(8.30)$$

实际意义：在实际高阶 CT-ΔΣ 中，$k_3,k_4,\dots$ 通常远小于 $k_1,k_2$，因此仅控制 ${\mu }_0$ 和 ${\mu }_1$ 就足够使 NTF 对脉冲细节高度不敏感。

仿真验证（图 8.24）

四阶 CT-ΔΣ，使用四种脉冲（NRZ、延迟 RZ、Raised Cosine、延迟 Impulse），均具有相同的 ${\mu }_0=1$ 和 ${\mu }_1=0.5$。结果：

• OBG = 1.5（单 bit 典型值）：NTF 曲线几乎无法区分
• OBG = 3.0（多 bit 上限值）：NTF 仅微小差异
• 原因：高 OBG 需要更大的 $k_N$ → 对矩差异更敏感

---

参考文献

1. Schreier, R. & Zhang, B. (1996). “Delta-sigma modulators employing continuous-time circuitry.” IEEE Trans. Circuits Syst. I, 43(4), 324–332.
2. Cherry, J. A. (1998). Theory, Practice, and Fundamental Performance Limits of High Speed Data Conversion Using Continuous-Time Delta-Sigma Modulators. Ph.D. dissertation, Carleton University.
3. Pavan, S. (2014). “Continuous-time delta-sigma modulator design using the method of moments.” IEEE Trans. Circuits Syst. I, 61(6), 1629–1637.

相关页面

• CT-ΔΣ调制基础与一阶CT-MOD1 — 脉冲不变变换基础
• 二阶ΔΣ调制器MOD2原理 — DT-MOD2 原型
• CT-ΔΣ环路滤波器拓扑与建模方法
• CT-ΔΣ设计实例
• CIFB与CRFB反馈环路滤波器拓扑 — DT 域 CIFB/CIFF
• Pavan ΔΣ 数据转换器 Ch.8 深度解析