控制系统数学模型

数学模型是分析和设计控制系统的基础。时域用微分方程，复域用传递函数和结构图，不同形式之间可互相转换。

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微分方程

列写步骤

1. 确定输入量和输出量
2. 根据物理规律列写方程（基尔霍夫定律、牛顿定律等）
3. 消去中间变量，得到输入-输出关系的微分方程
4. 标准化：输出项在左端、输入项在右端，导数按降幂排列

典型元件微分方程

RLC 无源网络（二阶）：

$$LC\frac{d^2{u}_o}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_o}{dt}+u_o=u_i$$

电枢控制直流电动机（简化，忽略电感 $L_a$）：

$$T_m\frac{d{\omega }_m}{dt}+{\omega }_m=K_m{u}_a-K_c{M}_c$$

其中 $T_m=\frac{R_a{J}_m}{R_a{f}_m+C_m{C}_e}$ 为机电时间常数。

弹簧-质量-阻尼器：

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+f\frac{dx}{dt}+Kx=F(t)$$

相似系统

不同物理系统可有相同形式的微分方程：

• RLC 网络 ↔ 弹簧-质量-阻尼器（均为二阶）
• 这使我们可以用简单系统研究复杂系统

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传递函数

定义

零初始条件下，输出 Laplace 变换与输入 Laplace 变换之比：

$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_n}$$

特点

• 仅由系统结构和参数决定，与输入形式无关
• 只适用于线性定常系统
• $n$ 为系统阶数（分母最高次幂）
• 极点和零点完全决定系统特性

典型环节

传递函数可分解为六种典型环节的乘积：

环节	传递函数	实例
比例	$K$	放大器
积分	$\frac{1}{s}$	电容器（电流→电压）
微分	$s$	测速发电机
惯性	$\frac{1}{Ts+1}$	RC 低通滤波
振荡	$\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$	RLC 谐振电路
延迟	$e^{-\tau s}$	传输管道

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结构图与化简

基本连接方式

连接	等效传递函数
串联	$G=G_1\cdot G_2$
并联	$G=G_1\pm G_2$
负反馈	$G=\frac{G_1}{1+G_{1}H}$
正反馈	$G=\frac{G_1}{1-G_{1}H}$

化简规则

• 比较点前移：经过方框 $G$ → 除以 $G$
• 比较点后移：经过方框 $G$ → 乘以 $G$
• 引出点前/后移类似

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信号流图与 Mason 公式

Mason 公式

直接从信号流图求传递函数，无需逐步化简：

$$P=\frac{1}{\Delta }\sum _k{P}_k{\Delta }_k$$

其中：

• $P_k$ = 第 $k$ 条前向通路的增益
• $\Delta =1-\sum L_i+\sum L_i{L}_j-\sum L_i{L}_j{L}_k+\cdots$（特征式）
  • $L_i$ = 各回路增益
  • 第二项 = 两两不接触回路增益之积
  • 第三项 = 三个互不接触回路增益之积
• ${\Delta }_k$ = 去掉第 $k$ 条前向通路后的余子式

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非线性系统的线性化

小偏差法（切线法）

对非线性函数 $y=f(x)$ 在工作点 $(x_0,y_0)$ 附近 Taylor 展开，略去高阶项：

$$\Delta y\approx {\frac{df}{dx}|}_{x_0}\Delta x$$

即在工作点附近用切线代替曲线。

多变量情况

$$\Delta y={\frac{\partial f}{\partial x_1}|}_{x_{10},x_{20}}\Delta x_1+{\frac{\partial f}{\partial x_2}|}_{x_{10},x_{20}}\Delta x_2$$

控制系统正常工作时，被控量偏差一般很小，小偏差线性化在工程中广泛使用。

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物理直觉

传递函数的物理含义

• 传递函数 = 系统对单位脉冲 $\delta (t)$ 的响应（Laplace 域）
• 极点 = 系统的固有频率（自由振荡模式）
• 零点 = 对某些频率的”阻挡”作用

类比：传递函数 vs 频率响应

• 给系统输入 $e^{st}$ → 输出为 $G(s)\cdot e^{st}$
• $s=j\omega$ 时 → $G(j\omega )$ 就是频率响应（Bode 图的基础）

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与已有知识的关联

• Laplace 变换基础 → Laplace变换与z变换（Oppenheim 视角）
• 信号流图滤波器 → 信号流图技术与梯形滤波器设计（模拟 IC 滤波器）
• 线性系统叠加原理 → 线性时不变系统与卷积（Oppenheim LTI）
• 数学模型与校正 → 控制系统校正与设计
• 时域分析 → 线性系统时域分析

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来源：胡寿松 自动控制原理 第八版 深度解析 Ch.2