信号流图技术与梯形滤波器设计
概述
信号流图（Signal Flowgraph, SFG）是一种拓扑网络表示方法，用节点（变量）和分支（传递函数）描述线性系统。在滤波器设计中，SFG 技术用于将无源 RLC 原型精确转换为有源积分器型实现，从而获得极低灵敏度的高阶有源滤波器。
SFG 基本规则
| 操作 | 规则 |
|---|---|
| 并行分支合并 | a + b → 一个分支，BMF = a + b |
| 级联节点消除 | a·b → 一个分支，BMF = a × b |
| 节点缩放 | 入分支 × k，出分支 ÷ k，节点值 × k |
| 自环消除 | 入分支 ÷ (1 - y)，自环 y 消除 |
从 RLC 到积分器型——转换步骤
步骤 1：状态方程提取
对每个元件（L/C）写出积分形式的 I-V 关系：
- 电容：
- 电感：
步骤 2：构建 SFG
使用 KCL/KVL 将电流和电压关系连接成图：
- 电压节点（顶行）
- 电流节点（底行）
- 分支标注传递函数（1/sC、1/sL、1/R …）
步骤 3：归一化
将所有电流节点乘以缩放电阻 R*，将电流变量转换为电压变量（因为运放积分器的输入和输出均为电压量）。
步骤 4：合成
选择合适的元件值，使各积分器时间常数匹配 RLC 原型。
双端接 LC 梯形滤波器
结构特点
R_s — L2 — L4 — ... — L_n — R_L
| | |
C1 C3 C5 ... C_n
- 源和负载端均接电阻（双端接）
- 所有元件交替为串臂（L）和并臂（C）
- 具有最低的元件公差灵敏度
设计流程
- 确定规格：f_pass、R_pass、f_stop、R_stop
- 选滤波器类型：Butterworth / Chebyshev / Elliptic
- 确定阶数：查图表或 Matlab 工具
- 查表获得归一化 L/C 值：Zverev 或 Williams & Taylor 表
- 去归一化：
- SFG 转换为积分器型有源实现
- 动态范围缩放：调整内部节点电压最大化信号摆幅
- 噪声缩放：按目标噪声水平调整电容和电阻值
灵敏度对比——梯形 vs 级联 Biquad
以 **7 阶 Elliptic LPF（CDMA IS95）**为例：
| 指标 | 级联 Biquad | RLC 梯形 | 改善 |
|---|---|---|---|
| 通带偏差 @1% 失配 | 2.2 dB（29%） | 0.2 dB（2%） | ~11× |
| 阻带偏差 @1% 失配 | 3 dB（40%） | 1.7 dB（21%） | ~2× |
物理原因：双端接 LC 梯形中，各元件偏离导致的反射波在匹配端口被吸收，不会累积到传输函数中。而级联 Biquad 中各级的失配直接相乘。
工程意义：对高 Q 高阶滤波器（如 CDMA IS95），级联 Biquad 几乎不可能满足量产良率要求，必须使用梯形拓扑。
传输零点的实现
在积分器型梯形滤波器中，传输零点由串联电容（C-loop）产生。通过 SFG 变换，这些 C-loop 可被等效为压控电压源，无需额外有源元件：
这种”无源加法”方式精确实现零点，不增加功耗。
CDMA IS95 接收滤波器设计实例
- 规格：f_pass=650kHz, R_pass=0.2dB, f_stop=750kHz, R_stop=49dB
- 选择：7 阶 Elliptic（因 CDMA 基带可用 DSP 补偿相位）
- 归一化值（Zverev 表，r=20%）：C1=1.177, C2=0.194, L2=1.195, C3=1.511, C4=1.011, L4=0.724, C5=1.278, C6=0.712, L6=0.802, C7=0.836
- 最终片上级（6 阶差分实现，含缩放）：C
2-3pF, R8-12kΩ