控制系统校正与设计

校正是控制系统设计的核心环节：在已知被控对象的基础上，加入校正装置使系统满足给定的性能指标。本章涵盖 PID、串联校正、前馈校正和复合校正。

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校正的基本概念

校正方式分类

方式	连接位置	特点
串联校正	前向通路中串联	最常用，设计直观
反馈校正	局部反馈回路	改善局部性能
前馈校正	扰动到控制的通路	补偿可测扰动
复合校正	串联 + 前馈	兼顾反馈和前馈优势

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PID 校正

PID 控制器

$$G_c(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_{d}s=K_p\left(1+\frac{1}{T_{i}s}+T_{d}s\right)$$

其中 $T_i=K_p/K_i$（积分时间），$T_d=K_d/K_p$（微分时间）。

三种作用的分工

作用	效果	频域解释
P（比例）	提高响应速度，减小稳态误差	提高低频增益
I（积分）	消除稳态误差（提高型别）	低频段 $-20$ dB/dec，提高型别
D（微分）	改善阻尼，减小超调	高频段 $+20$ dB/dec，提供相位超前

PID 参数整定方法

• Ziegler-Nichols 法：先求临界增益 $K_u$ 和临界周期 $T_u$，按经验公式设定
• 试凑法：先 P → 加 I → 加 D，逐步调整

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串联超前校正

传递函数

$$G_c(s)=\frac{aTs+1}{Ts+1},a>1$$

特性

• 提供相位超前，最大超前角 ${\phi }_m=\arcsin \frac{a-1}{a+1}$
• 出现在 ${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{a}}$
• 同时提高高频增益 → 穿越频率 ${\omega }_c$ 右移 → 带宽增大

设计步骤

1. 根据稳态误差要求确定开环增益 $K$
2. 计算未校正系统的 $\gamma$ 和 ${\omega }_c$
3. 确定需要的 ${\phi }_m$（含 $5°\sim 12°$ 安全余量）
4. 由 $\sin {\phi }_m=\frac{a-1}{a+1}$ 求 $a$
5. 令 ${\omega }_m={\omega }_c^{\prime }$（新穿越频率），求 $T$

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串联滞后校正

传递函数

$$G_c(s)=\frac{bTs+1}{Ts+1},b<1$$

特性

• 压低高频增益，使穿越频率 ${\omega }_c$ 左移
• 在低频段保持增益不变 → 不影响稳态精度
• 相位影响：在新 ${\omega }_c$ 处引入少量相位滞后（需控制 $b$ 和 $T$）

适用场景

• 稳态精度满足但动态性能不满足
• 通过降低 ${\omega }_c$ 增大相位裕度

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串联超前-滞后校正

传递函数

$$G_c(s)=\frac{(a{T}_{1}s+1)(b{T}_{2}s+1)}{(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}$$

综合超前和滞后的优势：

• 超前部分 → 增大相位裕度
• 滞后部分 → 改善低频增益（稳态精度）

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前馈校正

按扰动补偿

利用可测量的扰动 $N(s)$ 产生补偿控制：

$$G_n(s)=-\frac{G_2(s)}{G_1(s)}$$

使扰动对输出的影响完全抵消（完全补偿条件）。

按输入补偿

在参考输入端加入前馈，使输出精确跟踪输入：

$$G_r(s)=\frac{1}{G(s)}$$

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复合校正

反馈 + 前馈结合：

• 反馈回路保证稳定性和抑制不可测扰动
• 前馈通路补偿主要可测扰动或改善跟踪精度
• 不改变闭环特征方程 → 前馈不影响稳定性

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物理直觉

超前校正 = “预知未来”

微分作用感知信号变化趋势，提前产生控制动作 → 相当于”相位超前” → 增加阻尼。

滞后校正 = “记忆过去”

积分作用积累历史误差，持续输出直到误差消除 → 提高低频增益 → 消除稳态误差。

Bode 图设计思路

校正 = 修改 Bode 图形状以满足三段论要求：

• 低频段足够高（稳态精度）
• 中频段以 $-20$ dB/dec 穿越（动态性能）
• 高频段足够低（抗噪声）

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与已有知识的关联

• Bode 图设计基础 → 频域分析法与稳定性
• 反馈补偿 → 反馈放大器稳定性与频率补偿（模拟 IC 频率补偿）
• PID 在 PLL 中的应用 → 环路滤波器与电荷泵PLL
• 数学模型 → 控制系统数学模型
• 根轨迹法 → 根轨迹法

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来源：胡寿松 自动控制原理 第八版 深度解析 Ch.6