状态空间分析与综合

状态空间方法是现代控制理论的基础。它用一阶微分方程组描述系统，能处理多输入多输出（MIMO）系统，并为最优控制和估计提供框架。

---

状态空间描述

状态方程与输出方程

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

其中：

• $x\in {\mathbb{R}}^n$：状态向量（$n$ 个内部变量）
• $u\in {\mathbb{R}}^p$：输入向量
• $y\in {\mathbb{R}}^q$：输出向量
• $A$：系统矩阵，$B$：输入矩阵，$C$：输出矩阵，$D$：直传矩阵

与传递函数的关系

$$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$$

状态空间描述比传递函数包含更多信息（内部状态），传递函数只描述输入-输出行为。

状态转移矩阵

$$\Phi (t)=e^{At}$$

解的形式：$x(t)=e^{At}x(0)+{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

计算方法：

• 幂级数：$e^{At}=I+At+\frac{(At{)}^2}{2!}+\cdots$
• Laplace 变换：$e^{At}={\mathcal{L}}^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]$

---

可控性

定义

系统 $(A,B)$ 完全可控：存在有限时间和控制输入，能将任意初态转移到任意终态。

判据

$$\text{rank}[BAB{A}^{2}B\cdots A^{n-1}B]=n$$

可控性矩阵 $Q_c=[B,AB,\dots ,A^{n-1}B]$ 满秩 ↔ 系统完全可控。

物理意义

• 可控 = 输入能”到达”所有状态变量
• 不可控 = 存在某些状态不受输入影响（与输入”断联”）

---

可观测性

定义

系统 $(A,C)$ 完全可观测：通过观测输出 $y(t)$，能在有限时间内唯一确定初始状态 $x(0)$。

判据

$$\text{rank}\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]=n$$

可观测性矩阵 $Q_o$ 满秩 ↔ 系统完全可观测。

对偶性

$(A,B)$ 可控 ↔ $(A^T,B^T)$ 可观测。可控性和可观测性互为对偶。

---

Lyapunov 稳定性分析

基本定理

选取正定函数 $V(x)=x^{T}Px$（$P=P^T>0$），若沿系统轨迹：

$$\dot{V}(x)=x^T(A^{T}P+PA)x<0$$

则系统渐近稳定。

Lyapunov 方程

对线性系统 $\dot{x}=Ax$，稳定性等价于：

$$A^{T}P+PA=-Q$$

存在正定解 $P>0$（对任意 $Q>0$）→ 系统渐近稳定。

---

状态反馈

极点配置

状态反馈控制律：$u=-Kx+v$

闭环系统：$\dot{x}=(A-BK)x+Bv$

极点配置定理：$(A,B)$ 完全可控 → 通过选择 $K$，可将 $A-BK$ 的特征值配置在任意位置。

设计步骤

1. 验证可控性
2. 确定期望闭环极点 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$
3. 令 $\det (sI-A+BK)=(s-{\lambda }_1)(s-{\lambda }_2)\cdots (s-{\lambda }_n)$
4. 比较系数求 $K$

---

状态观测器

全维观测器

重构所有状态变量：

$$\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x})$$

误差动态：$\dot{e}=(A-LC)e$，选择 $L$ 使 $A-LC$ 的特征值在期望位置（需可观测）。

分离原理

状态反馈 + 观测器构成的闭环系统：

• 闭环极点 = 状态反馈极点 + 观测器极点
• 可分别独立设计 $K$ 和 $L$

---

物理直觉

状态空间 = 系统的”内部视图”

• 传递函数 = 只看输入输出（黑箱）
• 状态空间 = 看到所有内部变量（白箱）
• 状态 = 描述系统当前”状态”所需的最少变量集

可控性 vs 可观测性

• 可控 = “能否通过操纵杆控制飞机所有自由度？”
• 可观测 = “能否通过仪表盘推断飞机所有状态？“

极点配置的设计自由度

传递函数方法只能调整增益 $K$；状态空间方法可以独立配置 $n$ 个极点——设计自由度大得多。

---

与已有知识的关联

• 传递函数关系 → 控制系统数学模型（$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$）
• 稳定性分析 → 线性系统时域分析（Routh 判据）
• 离散状态空间 → 离散控制系统（$x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)$）
• 最优控制 → 最优控制理论（LQR 基于状态反馈）

---

来源：胡寿松 自动控制原理 第八版 深度解析 Ch.9