MOD2 稳定性与死区分析

§3.3 建立了 MOD2 的数学稳定性边界和有限积分器增益导致的死区。与 MOD1 的 $1/A$ 死区宽度不同，MOD2 受益于增益平方效应（gain-squaring），死区宽度仅为 $\propto 1/A^2$。但 MOD2 的整体稳定性弱于 MOD1——“恶意输入”可以破坏其稳定运行。

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前后关系

上下文：二阶ΔΣ调制器MOD2原理建立了 MOD2 的线性模型，MOD2仿真与有效量化器增益展示了大信号行为。§3.3 从数学上分析 MOD2 的稳定边界和有限增益效应。

后续章节：

• MOD2替代架构（§3.4）介绍提高稳定性的替代拓扑（如 Silva-Steensgaard）
• 广义二阶结构与最优NTF设计（§3.5）通过 NTF 零点优化允许更大的输入摆幅
• 高阶ΔΣ调制器与NTF（Ch.4）中稳定性问题是核心挑战

交叉引用：

• 反馈噪声整形与MOD1深度分析（§2.4.1）建立了 MOD1 有限积分器增益和死区的分析框架
• MOD1非线性行为与空闲音（§2.6.3）展示了 MOD1 死区宽度 $1/(2A)$

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原理介绍

MOD2 的状态空间模型

Hein 和 Zakhor [1993] 将 MOD2 建模为图 3.14 的结构，其差分方程为：

$$\begin{array}{rl}v[n]& =\text{sign}(x_2[n])\\ x_1[n+1]& =x_1[n]+v[n]+u[n]\\ x_2[n+1]& =x_1[n]+x_2[n]+2v[n]+u[n]\end{array}$$

其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是两个积分器的状态变量。注意 $x_2$ 也是量化器的输入（延迟一个样本）。

Hein-Zakhor 状态界

对于 dc 输入 $u$ 满足 $|u|\le 1$，以下边界成立：

$$\boxed{|x_1|\le |u|+2}$$ $$\boxed{|x_2|\le \frac{(5-|u|{)}^2}{8(1-|u|)}}$$

图 3.15 将这些边界与仿真结果对比：

• $|u|<0.7$：解析边界相当紧（接近仿真实际值）
• $|u|\to 1$：$x_2$ 的边界按 $(1-|u|{)}^{-1}$ 发散——量化器输入可变得任意大

MOD2 的稳定区域

条件	稳定性结论
dc $	u
任意 $	u
dc $	u
实际使用	建议 $

”恶意输入”现象（图 3.16）

即使输入幅度仅为 $u=0.3$，人为构造的输入波形（在 $\pm 0.3$ 之间以特定时序振荡）可以：

1. 使积分器输出 $x_1$ 超过 ±500（正常范围应为 ±2.3）
2. 使 $x_2$（量化器输入）超过 ±10（正常范围应为 ±5 左右）
3. 导致系统实际失效

幸运的是，这种特殊波形在正常应用中极不可能出现，也几乎不可能与调制器内部动态精确同步。

有限积分器增益与死区

MOD1 回顾（§2.4.1）

理想积分器：$H(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}$，NTF 零点在 $z=1$。

有限增益 $A$ 时：$H(z)=\frac{p{z}^{-1}}{1-p{z}^{-1}}$，$p=\frac{A}{1+A}$。

NTF 零点从 $z=1$ 移到 $z=p$。MOD1 死区宽度：

$$\boxed{|u|<\frac{1}{2A}}$$

MOD2 的增益平方效应

对于 MOD2，两个积分器各有有限增益 $A$（$p=A/(1+A)$）：

从量化器输出 $\upsilon$ 到量化器输入 $x_2$ 的传递函数：

$$L_1(z)=\frac{p^2{z}^{-1}}{(1-p{z}^{-1}{)}^2}+\frac{p{z}^{-1}}{1-p{z}^{-1}}$$

当 $u=0$ 时，系统进入极限周期 $\cdots +1,-1,+1,-1,\dots$。

稳态下，量化器输入为（图 3.17 推导）：

$$x_2[n]=L_1(z)\cdot (-1)\cos [\pi n]=\left[-\frac{3}{4}+O\left(\frac{1}{A}\right)\right]\cos [\pi n]$$

忽略 $O(1/A)$ 项，$x_2[n]\approx -\frac{3}{4}\cos [\pi n]$。

死区宽度计算

添加外部偏移 ${\delta }_{off}$ 后，保持输出序列不变的条件是 $|{\delta }_{off}|<3/4$（不改变比较器判决结果）。

${\delta }_{off}$ 等效到输入 $u$ 处需除以环路 dc 增益：

$$u_{eq}=\frac{{\delta }_{off}}{\text{dc gain from }u\text{ to }{x}_2}\approx \frac{3/4}{A^2}$$ $$\boxed{\text{死区宽度：}|u|<\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{A^2}}$$

死区对比：MOD1 vs MOD2

参数	MOD1	MOD2
理想积分器 H(z)	$1/(1-z^{-1})$	同上 × 2
NTF 零点 @ 有限增益	$z=p=A/(1+A)$	$z=p$（双重）
死区宽度	$1/(2A)$	$(3/4)/A^2$
A=100 时死区	$5\times 10^{-3}$ (0.5%)	$7.5\times 10^{-5}$ (0.0075%)
缩放因子	$\propto 1/A$	$\propto 1/A^2$（平方效应）

对于 $A=100$，MOD1 的 $u=0$ 死区为 5 mV（假设满幅 1 V），而 MOD2 的死区仅为 0.075 mV——MOD2 的增益平方效应使其对运放有限增益极不敏感。

开环增益的增益平方效应

MOD2 的环路滤波器包含两个积分器级联，开环 dc 增益为 $A^2$。这就是死区宽度 $\propto 1/A^2$ 的直观解释。这种”增益平方”效应也是 MOD2 总体更优的鲁棒性的根源。

MOD2 的局限总结

虽然 MOD2 在多数方面优于 MOD1，但存在两个主要缺点：

1. 稳定性降低：实际输入范围应限制在满幅的 80%-90%（$|u|\le 0.8\sim 0.9$）
2. 模拟复杂度增加：两个积分器、更多开关电容/运放

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数学推导

有限增益下 MOD2 的 L₁(z)

对图 3.17 的结构，有损积分器传递函数为 $p{z}^{-1}/(1-p{z}^{-1})$：

$$L_1(z)=\frac{p^2{z}^{-1}}{(1-p{z}^{-1}{)}^2}+\frac{p{z}^{-1}}{1-p{z}^{-1}}$$

（第一项为两级积分器级联路径，第二项为直通反馈路径）

u=0 时的稳态解

设 $v[n]=(-1{)}^n=\cos [\pi n]$，则 $V(z)=\frac{z}{z+1}$。

$$X_2(z)=L_1(z)V(z)=\left[\frac{p^2{z}^{-1}}{(1-p{z}^{-1}{)}^2}+\frac{p{z}^{-1}}{1-p{z}^{-1}}\right]\cdot \frac{z}{z+1}$$

在 $p\to 1$（$A\to \infty$）的极限下：

$$x_2[n]\to -\frac{3}{4}\cos [\pi n]$$

死区宽度推导

dc 输入到 $x_2$ 的传递函数：

$${\frac{X_2(z)}{U(z)}|}_{z=1}=\frac{1}{(1-p{)}^2}\approx A^2$$

（因 $1-p=1/(A+1)\approx 1/A$）

因此 $u$ 等效偏移 = ${\delta }_{off}/A^2$。当 ${\delta }_{off}<3/4$ 时输出不变，故 $|u|<3/(4A^2)$。

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关键洞察

1. 增益平方效应是 MOD2 对运放增益不敏感的根本原因：$1/A^2$ vs $1/A$
2. Hein-Zakhor 边界是 MOD2 稳定性分析的经典结果：dc 输入 $|u|<1$ 有界，但边界在 $u\to 1$ 时发散
3. 时变输入可规避 dc 稳定性结论：“恶意输入”虽然不现实，但警示了有限状态检测的重要性
4. 实际 MOD2 设计中输入幅度应限制在满幅 80%~90%：这是稳定性和信噪比之间的折中
5. 有限增益死区宽度从 MOD1 的 $1/(2A)$ 缩小到 MOD2 的 $(3/4)/A^2$：使 MOD2 在电路实现中更具优势

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参考文献

1. S. Hein and A. Zakhor, “On the stability of sigma delta modulators,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 41, no. 7, pp. 2322-2348, 1993.
2. S. Pavan, R. Schreier, and G. C. Temes, Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §3.3. IEEE Press/Wiley, 2017.
3. J. C. Candy, “A use of limit cycle oscillations to obtain robust analog-to-digital converters,” IEEE Trans. Communications, vol. 22, no. 3, pp. 298-305, 1974. （MOD1 有限增益分析的开创工作）

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