高阶ΔΣ调制器NTF系统化设计

高阶 ΔΣ 调制器的 MSA 改进与系统化 NTF 设计

直接采用 $(1-z^{-1}{)}^L$ 的高阶 NTF 因高频增益过大而过早失稳。本章核心对策：将 NTF 极点从 $z=0$ 移至靠近 $z=1$ 的位置，以此降低带外增益（OBG），换取更大的稳定输入范围。§4.3 进一步提供了基于 Butterworth 原型高通滤波器的完整系统化设计流程。

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前后关系

上下文：高阶ΔΣ调制器稳定性与MSA 揭示了量化器过载导致有效增益下降、根轨迹移出单位圆的失稳机制。NTF 的高频增益是过载的罪魁祸首——$(1-z^{-1}{)}^3$ 在 $f_s/2$ 处的增益为 8（18 dB）。

后续延伸：高阶NTF零点优化与Bode积分 从理论上证明了带内/带外增益的此消彼长是基本原理（Bode 积分），而 §4.4 的零点优化可进一步降低带内噪声。

交叉引用：广义二阶结构与最优NTF设计 在二阶调制器中已经展示了极点移动的初步思想（$a_1{a}_2{a}_3$ 系数）。MOD2替代架构 中的 Boser-Wooley 结构也有有限运放增益导致极点偏移的问题。

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原理介绍

问题陈述

三阶 NTF $(1-z^{-1}{)}^3$ 的幅频特性：

• dc 处：$|NTF|=0$（完美抑制）
• $f_s/2$ 处：$|NTF|=8$（过大增益 ⇒ 量化噪声被强烈放大 ⇒ 过载 ⇒ 失稳）

核心思想：低通滤波 NTF

将 NTF 乘以低通函数 $G(z)$：

$$NT{F}_{\text{mod}}(z)=(1-z^{-1}{)}^3\cdot G(z)$$

$G(z)$ 的理想特性：$|G(1)|\gg |G(-1)|$，即 dc 附近增益大、$f_s/2$ 附近增益小。

极点移动等价性：与其引入新极点，不如直接将 NTF 原有极点从 $z=0$ 移到靠近 $z=1$ 的位置：

$$\boxed{NTF(z)=\frac{(1-z^{-1}{)}^L}{D(z)}}$$

其中 $D(z)=1-d_1{z}^{-1}-d_2{z}^{-2}-\cdots -d_L{z}^{-L}$，根接近 $z=1$。

几何解释（图 4.8-4.9）：频率响应 $|NTF(e^{j\omega })|$ 等于零点向量长度积除以极点向量长度积。$z=0$ 的极点距 $z=-1$ 最远（因子 2），移近 $z=1$ 后 $|NTF(e^{j\pi })|$ 显著降低。

带内性能的代价

$G(1)>1$ ⇒ 带内 NTF 增益不再为零：

$$|NTF(e^{j\omega })|\approx \frac{{\omega }^L}{|D(1)|}(\omega \ll 1)$$

带内 RMS 噪声与 $1/|D(1)|$ 成正比——低 OBG ⇒ 高带内噪声。$|D(1)|$ 的典型值：0.042（OBG=1.48）⇒ 带内 NTF 增益是 $(1-z^{-1}{)}^3$ 的 $1/0.042\approx 24$ 倍。

MSA vs SQNR 权衡

这是 ΔΣ 调制器设计的中心权衡：

• 更极端的极点移动（更小的 OBG）⇒ 更大的 MSA ⇒ 更大的带内噪声 ⇒ 更小的 SQNR
• 更小的极点移动（更大的 OBG）⇒ 更小的 MSA ⇒ 更小的带内噪声 ⇒ 更大的 SQNR

设计者需要在 MSA 和 SQNR 之间找到最佳平衡点。

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系统化 NTF 设计流程

设计步骤（6 步法）

以三阶、OSR=64、16 电平量化器、目标 SQNR > 115 dB 为例：

步骤 1：选原型高通滤波器族。常用：Butterworth、Chebyshev、inverse Chebyshev、Elliptic。本例选 Butterworth，3-dB 截止频率 ${\omega }_c=\pi /8$。

步骤 2：用 MATLAB 获得滤波器系数。

[b, a] = butter(3, 1/8, 'high')
% H(z) = (0.6735 - 2.0204z^{-1} + 2.0204z^{-2} - 0.6735z^{-3})
%       / (1 - 2.2192z^{-1} + 1.7151z^{-2} - 0.4535z^{-3})

步骤 3：缩放满足 $NTF(\infty )=1$。$H(\infty )=0.6735\ne 1$ ⇒ $NTF(z)=H(z)/0.6735$：

$$NTF(z)=\frac{1-3z^{-1}+3z^{-2}-z^{-3}}{1-2.2192z^{-1}+1.7151z^{-2}-0.4535z^{-3}}$$

OBG（Out-of-Band Gain） = $NTF(\infty )=1/0.6735=1.48$。

步骤 4：计算环路滤波器 $L_1(z)$。

$$L_1(z)=1-\frac{1}{NTF(z)}=\frac{0.7808z^{-1}-1.285z^{-2}+0.5465z^{-3}}{1-3z^{-1}+3z^{-2}-z^{-3}}$$

采用 $L_0=L_1$ 的特殊结构（图 4.12）实现调制器。

步骤 5：仿真验证。MSA ≈ 85% FS，峰值 SQNR ≈ 102 dB——距离目标 115 dB 还差 13 dB。

步骤 6：增加截止频率。将 Butterworth 拐角从 $\pi /8$ 增至 $\pi /4$ ⇒ OBG ↑ 2.25，MSA ↓ 80%，SQNR ↑ 116 dB——达标。

过程总结

设计变量	OBG	MSA	峰值 SQNR	是否达标？
${\omega }_c=\pi /8$	1.48	85%	102 dB	❌
${\omega }_c=\pi /4$	2.25	80%	116 dB	✅

随着 OBG 增加：NTF 更激进 ⇒ 带内衰减更强 ⇒ SQNR ↑；但量化噪声放大更严重 ⇒ MSA ↓。

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关键洞察

1. NTF 极点移动是稳定性与精度的”旋钮”——通过单一参数 $D(z)$ 的极点位置即可连续调节整个 MSA-SQNR 权衡空间
2. 标准滤波器族是捷径：Butterworth（最大平坦）、Chebyshev（更陡过渡带）、Elliptic（最陡但有通带/阻带波纹）均可——关键是 MATLAB 可提供现成系数
3. $L_0=L_1$ 结构是方便但不完美的选择——它使设计简化但 STF 被锁定为低通特性，后续将看到 CIFF 等更灵活的结构
4. OBG 的典型范围：1.4-3.0。小于 1.4 时带内噪声失控；大于 3.0 时 MSA 过小

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参考文献

1. S. Pavan, R. Schreier, and G. C. Temes, Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §4.2-4.3. IEEE Press/Wiley, 2017.
2. S. R. Norsworthy, R. Schreier, and G. Temes, Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design, and Simulation. IEEE Press, New York, 1997.
3. R. Schreier, “An empirical study of high-order single-bit delta-sigma modulators,” IEEE Trans. Circuits Syst. II, vol. 40, no. 8, pp. 461-466, 1993.
4. K. C. Chao, S. Nadeem, W. L. Lee, and C. G. Sodini, “A higher order topology for interpolative modulators for oversampling A/D converters,” IEEE Trans. Circuits Syst., vol. 37, no. 3, pp. 309-318, 1990.

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