差分放大器与失调分析

差分放大器（差分对）是模拟集成电路中最重要的基本结构，几乎所有运放的输入级都使用差分对。差分对只放大两个输入端之间的差模信号，而抑制两个输入端的共模信号，这种特性使其具有优越的抗干扰能力。理解差分对的 DC 传输特性（大信号摆幅和线性范围）、小信号参数（差模增益、共模增益、CMRR）以及 器件失配导致的失调电压，是掌握运放设计的关键。本文基于 Gray §3.5 提炼。

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前后关系

前置知识：

• 单管放大级（§3.1-§3.3）— CE/CS 放大级的基本特性
• 双极晶体管大信号特性（§1.3）— V_BE 指数特性
• MOS晶体管模型与特性（§1.5-§1.6）— 平方律特性

本书内部链条：

• 差分放大器与失调分析（本文）→ 电流镜与有源负载（Ch.4）— 差分对有源负载
• → 运算放大器设计基础（Ch.6）— 运放的差分输入级
• → 输出级设计（Ch.5）— 互补输出级特性
• → 全差分运算放大器（Ch.12）— 共模反馈（CMFB）

外部关联：

• 运算放大器设计 — 运放输入级的差分对
• 失调消除技术 — 失配根源的定量分析基础
• CT-ΔΣ积分器实现与OTA架构 — 差分输入 OTA
• 反馈理论与分析 — 差分放大器的反馈应用

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原理介绍

3.5.1 射极耦合对（BJT 差分对）的 DC 传输

基本结构（Gray Fig. 3.25）：

VCC
  |
  R_C1    R_C2
    |        |
   Q1      Q2 (匹配对管)
    |        |
    ────┬────
        |
        I_TAIL (尾电流源)
        |
       VEE

大信号传输特性（Gray §3.5.1）：

输入差模电压 $V_{id}=V_{B1}-V_{B2}$，利用 Ebers-Moll 模型：

$$I_{C1}=\frac{I_{TAIL}}{1+\exp (-V_{id}/V_T)},I_{C2}=\frac{I_{TAIL}}{1+\exp (+V_{id}/V_T)}$$

差模输出电流：

$$\Delta I_C=I_{C1}-I_{C2}=I_{TAIL}\tanh \left(\frac{V_{id}}{2V_T}\right)$$

差分输出电压：

$$V_{od}=V_{C1}-V_{C2}=-\Delta I_C\cdot R_C=-I_{TAIL}{R}_C\tanh \left(\frac{V_{id}}{2V_T}\right)$$

关键参数：

参数	表达式	说明
差模跨导 $G_{md}$	$g_m=I_{TAIL}/(2V_T)$	当 $V_{id}=0$ 时
最大输出摆幅	$\pm I_{TAIL}\cdot R_C$	一个管子完全关断
线性范围	$V_{id}<V_T\approx 26\text{mV}$	BJT 指数特性线性范围窄
跨导线性化	加发射极退化 $R_E$	可扩展线性范围

传输特性曲线特征：

• $V_{id}=0$ 时，$I_{C1}=I_{C2}=I_{TAIL}/2$（平衡态）
• 当 $|V_{id}|>4V_T$（$\sim 100\text{mV}$）时，一个管子几乎承载全部尾电流
• 跨导在平衡点最大，随 $|V_{id}|$ 增大而下降

带发射极退化的射极耦合对

在发射极串联 $R_E$ 后（Gray Fig. 3.26）：

差模跨导：

$$G_{md}=\frac{g_m}{1+g_m{R}_E}$$

线性范围扩展：

• 退化后的传输特性：当 $g_m{R}_E\gg 1$ 时，线性范围 $\approx \pm I_{TAIL}\cdot R_E$
• 代价：差模增益按 $(1+g_m{R}_E)$ 倍降低

3.5.2 源极耦合对（MOS 差分对）的 DC 传输

大信号传输（Gray §3.5.3）：

使用平方律模型 $I_D=\frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{th}{)}^2$：

差模跨导：

$$g_{md}=\sqrt{\mu C_{ox}\frac{W}{L}{I}_{TAIL}}$$

电压-电流转换：

$$\Delta I_D=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\mu C_{ox}\frac{W}{L}{V}_{id}\sqrt{\frac{4I_{TAIL}}{\mu C_{ox}W/L}-V_{id}^2},& |V_{id}|<\sqrt{I_{TAIL}/(\mu C_{ox}W/L)}\\ I_{TAIL}\cdot \text{sign}(V_{id}),& |V_{id}|\ge \sqrt{I_{TAIL}/(\mu C_{ox}W/L)}\end{array}$$

最大输入线性范围：

$$V_{id,max}=\sqrt{\frac{I_{TAIL}}{\mu C_{ox}W/L}}=\sqrt{2}\cdot (V_{GS}-V_{th})\text{(单个管子的过驱动电压)}$$

BJT 与 MOS 差分对特性对比：

特性	BJT	MOS
$g_m$	$g_m=I_{TAIL}/(2V_T)\approx 19.2\cdot I_{TAIL}$	$g_m=\sqrt{2\mu C_{ox}(W/L)\cdot I_{TAIL}/2}$
线性范围	$\sim \pm 26\text{mV}$（窄）	$\sim \pm (V_{GS}-V_{th})$（宽，可控）
输入偏置电流	$I_B=I_{TAIL}/(2\beta )$	0（栅极绝缘）
跨导效率 $g_m/I$	$1/(2V_T)\approx 19.2$	$1/(V_{GS}-V_{th})\approx 1\text{-}5$

3.5.3 差分对的小信号分析

差模特性

差模半电路（Gray Fig. 3.28a）：由于对称性，将差分对沿对称轴剖开，差模信号在对称轴上等效为交流地。

• 差模电压增益：

$$A_{dm}=\frac{v_{od}}{v_{id}}=-g_m{R}_C(\text{BJT}),A_{dm}=-g_m{R}_D(\text{MOS})$$

• 差模输入电阻：

$$R_{id}=2r_{\pi }(\text{BJT}),R_{id}=\infty (\text{MOS 低频})$$

共模特性

共模半电路（Gray Fig. 3.28b）：共模信号在对称轴上等效为开路，但尾电阻/尾电流源的阻抗 Z_TAIL 在共模分析中至关重要。

共模电压增益（仅考虑尾电流源内阻 R_TAIL）：

BJT：

$$A_{cm}=\frac{v_{oc}}{v_{ic}}\approx -\frac{R_C}{2R_{TAIL}}(\text{当 }\beta R_{TAIL}\gg r_{\pi })$$

MOS：

$$A_{cm}=\frac{v_{oc}}{v_{ic}}\approx -\frac{R_D}{2R_{TAIL}}\cdot \frac{1}{1+2g_m{R}_{TAIL}}\approx -\frac{R_D}{2R_{TAIL}}$$

共模抑制比（CMRR）：

$$\text{CMRR}=\left|\frac{A_{dm}}{A_{cm}}\right|=2g_m{R}_{TAIL}(\text{匹配理想时})$$

• 单位：$\text{dB}\to \text{CMRR(dB)}=20\log (2g_m{R}_{TAIL})$
• 典型值：60-120 dB
• 提高 CMRR 的关键：增大尾电流源阻抗 R_TAIL（使用 Cascode 电流源）

共模输入范围

共模输入电压不能超过一定范围，否则尾电流源或输入管会进入线性区/截止区。

• 最大共模电压：使输入管保持饱和/有源区的上限
• 最小共模电压：使尾电流源保持饱和/有源区的下限
• 设计意义：轨到轨输入级需要两对互补差分对（NMOS + PMOS）

3.5.4 平衡差分放大器的特性

当差分放大器完全对称（完美匹配）时：

• 共模信号在输出端为零（理想 CMRR）
• 差模增益由半电路分析决定
• 电源噪声表现为共模干扰 → 被抑制

实际限制：器件失配、布局不对称 → 共模→差模转换 → CMRR 实际值低于理论值。

3.5.5 器件失配与输入失调电压

输入失调电压 $V_{OS}$ 定义为使输出电压为零时需要在输入端施加的差模电压。

BJT 差分对的失调：

$$V_{OS}=V_T\left(\frac{\Delta I_S}{I_S}+\frac{\Delta R_C}{R_C}\right)$$

• 主要来源：发射区面积失配（影响 $I_S$）、负载电阻失配
• 温度依赖：$d{V}_{OS}/dT\approx V_{OS}/T\approx 3.3\mu {\text{V/}}^{\circ }\text{C}$（每 mV 失调）

MOS 差分对的失调：

$$V_{OS}=\Delta V_{th}+\frac{V_{GS}-V_{th}}{2}\left(\frac{\Delta \beta }{\beta }\right)$$

其中 $\beta =\mu C_{ox}W/L$。

失配的统计模型（Pelgrom 定律）：

$$\sigma (\Delta V_{th})=\frac{A_{Vth}}{\sqrt{W\cdot L}},\sigma \left(\frac{\Delta \beta }{\beta }\right)=\frac{A_{\beta }}{\sqrt{W\cdot L}}$$

其中 $A_{Vth}$ 和 $A_{\beta }$ 是工艺相关的失配系数。

典型值：

• $A_{Vth}\approx 1\text{-}10\text{mV}\cdot \mu \text{m}$（取决于栅氧厚度）
• $A_{\beta }\approx 0.5\text{-}2\%\cdot \mu \text{m}$

总失调电压标准偏差：

$$\sigma (V_{OS})=\sqrt{{\sigma }^2(\Delta V_{th})+\frac{(V_{GS}-V_{th}{)}^2}{4}{\sigma }^2\left(\frac{\Delta \beta }{\beta }\right)}$$

（此部分定量失配分析与 失调消除技术 中的 “失调来源” 直接衔接）

设计降低失调的方法：

• 增大晶体管面积（WL→ 失配 ∝ 1/√(WL)）
• 使用较大的过驱动电压（降低 Δβ/β 贡献的比例）
• 共心布局、虚拟器件
• 加发射极/源极退化（对 BJT 有效）

📘 Huijsing 补充：折叠共源共栅运放的完整失调分析（§1.2.2）

Huijsing 专著给出了折叠共源共栅运放（Fig. 1-2）的完整失调表达式。当共源共栅管 M7-M10 的失配可忽略时：

$$V_{OS}=\Delta V_{T1,2}+\frac{g_{m34}}{g_{m12}}\Delta V_{T3,4}+\frac{g_{m56}}{g_{m12}}\Delta V_{T5,6}+\frac{I}{g_{m12}}\left(\frac{\Delta {\beta }_{12}}{{\beta }_{12}}+\frac{\Delta {\beta }_{34}}{{\beta }_{34}}+2\frac{\Delta {\beta }_{56}}{{\beta }_{56}}\right)$$

与 Gray 差分对失调公式的差异：

• Gray §3.5.5 只分析差分对本身的失配（$V_{OS}=\Delta V_{th}+\frac{V_{GS}-V_{th}}{2}\frac{\Delta \beta }{\beta }$）
• Huijsing 扩展到完整运放结构，包含三对失配管（输入对 M1-2、电流镜 M3-4、尾电流源 M5-6）

设计结论：

• 输入对 M1-2 应工作在弱反型以最大化 $g_{m12}$ → 最小化其他管失配的贡献
• 电流源 M5-6 和电流镜 M3-4 应工作在强反型以最小化 $g_{m34}/g_{m56}$
• 典型运算结果：当 $\Delta V_T<0.5$ mV、$\Delta \beta /\beta <0.15\%$、$g_{m12}/I=20$ V⁻¹、$g_{m12}=5g_{m56}=10g_{m34}$ → $V_{OS}\approx 0.95$ mV
• 若仅靠面积降低失调，$\sigma (V_T)<0.125\text{mV}$（$4\sigma$ 超 $0.5\text{mV}$）在 $A_{VT}=10\text{mV}\cdot \mu \text{m}$ 时需要 6400 μm² → 远大于典型运放面积

关联页：失调消除技术 — 本书更深入的 Huijsing 失调分析

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差分对设计示例

设计一个 BJT 差分对：

• 目标：$A_{dm}=-100\text{V/V}$, $V_{CC}=5\text{V}$, $I_{TAIL}=2\text{mA}$
• 每管偏置：$I_C=1\text{mA}$ → $g_m=1/0.026=38.5\text{mS}$
• $R_C=A_{dm}/g_m=100/0.0385\approx 2.6\text{k}\Omega$
• $V_{RC}=1\text{mA}\times 2.6\text{k}\Omega =2.6\text{V}$（检查输出摆幅）
• $R_{id}=2r_{\pi }=2\times 100/0.0385\approx 5.2\text{k}\Omega$（$\beta =100$）
• CMRR：若 $R_{TAIL}=100\text{k}\Omega$，$\text{CMRR}=2\times 38.5\text{m}\times 100\text{k}=7700\to 78\text{dB}$

设计一个 MOS 差分对：

• 目标：$g_m=1\text{mS}$, $I_{TAIL}=200\mu \text{A}$, $\mu C_{ox}=200\mu {\text{A/V}}^2$
• 每管偏置：$I_D=100\mu \text{A}$
• $W/L=g_m^2/(2\mu C_{ox}\cdot I_D)=(10^{-3}{)}^2/(2\times 200\mu \times 100\mu )=25$
• $V_{GS}-V_{th}=2I_D/g_m=2\times 100\mu /1\text{m}=0.2\text{V}$
• 线性范围 $\approx \pm \sqrt{2}\cdot 0.2=\pm 0.28\text{V}$

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参考文献

1. P. R. Gray, P. J. Hurst, S. H. Lewis, R. G. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits, 5th ed., Wiley, 2009, §3.5.
2. B. Razavi, Design of Analog CMOS Integrated Circuits, McGraw-Hill, 2001, Ch.3.
3. M. J. M. Pelgrom, A. C. J. Duinmaijer, A. P. G. Welbers, “Matching Properties of MOS Transistors,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol. 24, pp. 1433-1439, Oct. 1989. (Pelgrom 失配模型的开创性论文)
4. P. R. Gray, R. G. Meyer, “MOS Operational Amplifier Design—A Tutorial Overview,” IEEE J. Solid-State Circuits, vol. 17, pp. 969-982, Dec. 1982.

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📚 Razavi 补充

Razavi 第 4 章（Differential Amplifiers）在 Gray §3.5 的基础上，有以下差异和补充：

1. 教学方法差异

• Gray 的方法：用半电路法分析差分对，同时覆盖 BJT 和 MOS，公式推导严谨
• Razavi 的方法：强调直觉理解，用”跷跷板效应”形象解释差分对行为
• Razavi 更突出大信号 $g_m$ 随共模电压变化以及输入共模范围（ICMR）的计算

2. Razavi 的独特内容

• “跷跷板效应”的直观解释：输入差模电压就像跷跷板的支点，一端升高则另一端降低
• ICMR 的详细计算（Razavi §4.3）：共模输入范围上下限的系统推导，包括尾电流源的工作条件约束
• 不同负载下增益特性的对比分析（Razavi §4.4）：电阻负载 vs 电流镜负载 vs 二极管连接负载的增益、线性度、速度对比
• Gilbert 单元（Razavi §4.5）：电压乘法器的实现和增益控制

3. 差分对三种负载的详细分析（Razavi §4.4）

负载类型	增益	特点
电阻负载	$A_v=-g_m{R}_D$	线性度好，工艺变化大
电流镜负载	$A_v=-g_{m1}(r_{o2}\parallel r_{o4})$	增益高，实现差分→单端转换
二极管连接负载	$A_v\approx -g_{m1}/g_{m3}$	低阻抗，高速

• Gray §3.5 主要讨论电阻负载和简单电流镜负载，Razavi 增加了二极管连接负载的分析

4. 失调分析的 Pelgrom 模型

• 两书都覆盖 Pelgrom 定律：$\sigma (\Delta V_{th})=A_{VT}/\sqrt{WL}$
• Razavi 的讨论在 §14.2（非线性和失配章节），比 Gray §3.5.5 更深入
• Razavi 增加了失调消除技术的系统讨论（Auto-Zeroing、CDS、Chopping）

方法论对比：Gray 的差分对分析严谨全面，BJT 和 MOS 并行对比是特色；Razavi 更强调直觉理解和工程设计，ICMR 的计算方法更实用。建议掌握 Gray 的半电路分析法后，通过 Razavi 强化直觉和设计能力。

关联页：Razavi Design of Analog CMOS ICs 深度解析 §4, §14

双向链接

本文链接到

• 单管放大级 — 差分对的构成单元
• Cascode与多管放大级 — 差分对中的 Cascode 技术
• 失调消除技术 — 失配根源的定量分析衔接

链接到本文

• 运算放大器设计基础 — 运放输入级为差分对
• 运算放大器设计 — 差分输入级设计
• 全差分运算放大器 — 全差分结构
• 电流镜与有源负载 — 有源负载差分对
• CT-ΔΣ积分器实现与OTA架构 — OTA 差分输入
• Gray 模拟集成电路分析与设计 深度解析 — 来源导航页
• Allen CMOS Analog Circuit Design 深度解析 — §5.2 三种负载对比

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📘 Allen 3e 补充（§5.2 三种负载的系统对比）

Allen 对差分放大器的独特贡献是将三种负载类型系统化对比，用同一框架分析不同负载下的性能参数。

三种负载对比（Allen 系统分类）：

负载类型	增益	输出摆幅	线性度	速度	应用
电阻负载	$-g_m{R}_D$	大（$V_{DD}-V_{OV}$）	★★★★★	★★★★	高速/低增益
电流镜有源负载	$-g_{m1}(r_{o2}\Vert r_{o4})$	中（受 $r_o$ 限制）	★★★	★★★	高增益
二极管连接负载	$\approx -g_{m1}/g_{m3}$	大	★★★	★★★★★	宽带

Allen 的 DC 传输特性（§5.2.1）：

• $I_{D1}=I_{TAIL}/2\pm (I_{TAIL}/2)\sqrt{1-4v_{ID}^2/(2V_{OV}^2)}$
• 线性输入范围：$|v_{ID}|\lesssim V_{OV}$（$V_{OV}$ 是过驱动电压）
• 线性范围 vs 增益的权衡：低 $V_{OV}$ 高 $g_m$ 但线性范围窄

电流镜负载差分放大器详细分析：

• 差分-单端转换的原理：电流镜将 $i_{D2}$ 镜像到输出并与 $i_{D1}$ 相减
• $A_{dm}=-g_{m1}(r_{o2}\Vert r_{o4})$，比电阻负载增益高约 $g_m{r}_o$ 倍
• CMRR 受限：$\partial i_{TAIL}/\partial v_{ic}$ 导致 $v_{o,cm}\ne 0$

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📘 Baker 3e 补充（Ch.22 差分放大器的独特结构）

Baker §22 的差分放大器覆盖有两大独有内容：源交叉耦合对和恒定 $g_m$ 差分放大器，以及短沟道下 CMRR 的实用退化分析。

1. 源交叉耦合对（§22.2）—— Baker 独有

源交叉耦合对（Source Cross-Coupled Pair）是 Baker 独有的电路结构：两个差分对交叉连接，利用”电流导向”原理实现大摆幅差分输出。

• 结构：M1-M2 主差分对 + M3-M4 交叉耦合从对，两者共享尾电流
• 传输特性：交叉耦合负阻效应使得传输特性比标准差分对更锐利
• 增益增强：$G_m=g_{m1}+g_{m3}$（交叉耦合增加了总跨导）
• 应用：VCO 中的负阻产生、高速比较器

Gray/Razavi/Allen 均未覆盖此结构。

2. 恒定 $g_m$ 差分放大器（§22.5）—— Baker 的工程贡献

传统差分对中 $g_m$ 随共模电压变化（输入管 $V_{DS}$ 和体效应变化），Baker 提出一种自偏置恒定 $g_m$ 结构：

• 原理：通过负反馈环路调节尾电流，补偿共模电压变化对 $g_m$ 的影响
• 实现：复制一份偏置电路 + 比较器 + 电流调整环路
• 效果：在整个输入共模范围内保持 $g_m$ 变化 < 5%

3. 短沟道下的 CMRR 退化（§22.3）

Baker 强调在短沟道工艺中尾电流源输出电阻 $R_{TAIL}$ 严重下降（$r_o\propto L$），导致 CMRR 恶化：

$$CMR{R}_{short-channel}\approx 2g_m(\frac{1}{\lambda I_{TAIL}})\ll CMR{R}_{long-channel}$$

缓解措施：使用 Cascode 尾电流源（Cascode 恢复 $R_{TAIL}$ ≈ $g_m{r}_o^2$）或共模前馈补偿。

Baker 的差分放大器 vs 其他教材：Gray §3.5 提供最严谨的半电路分析（BJT+MOS）；Razavi Ch.4 侧重直观理解和线性范围；Allen §5.2 系统对比三种负载；Baker §22 的源交叉耦合对和恒定 $g_m$ 差分放大器是独特的电路拓扑贡献，在 Gray/Razavi/Allen 中都找不到。

关联页：Baker CMOS 电路设计版图与仿真 深度解析 §22

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📗 Sansen 补充（Ch.3 差分对 + Ch.15 Offset/CMRR——系统化失调分析）

Sansen 对差分放大器的覆盖分布在两个章节中：Ch.3 差动电压电流放大器（基础拓扑）和 Ch.15 Offset and CMRR（随机/系统失调），后者的深度在经典教材中独一无二。

1. Ch.3 差动对与电流镜的基础分析

Sansen Ch.3 覆盖电流镜（基本/Cascode/Wilson/改进型）和差分对（DC 传输、小信号参数、差模/共模增益），与 Gray §3.5 和 §4.2-4.3 互补，但突出 $g_m/I_D$ 统一视角：

• 差分对跨导：$g_{md}=g_m/2$（每边），$GBW=g_m/(2\pi C_L)$
• 电流镜输出电阻：$r_{out}=r_{DS2}$（基本），$r_{out}\approx g_{m3}{r}_{DS3}{r}_{DS2}$（Cascode）

2. Ch.15 随机失调——Pelgrom 模型

Sansen 深入覆盖 Pelgrom 模型（引用 Pelgrom JSSC 1989）：

$${\sigma }_{\Delta V_T}=\frac{A_{VT}}{\sqrt{WL}},A_{VT}\approx 5\text{mV}\cdot \mu \text{m}(0.25\mu \text{m NMOS}),+50\%\text{for PMOS}$$

其中 $A_{VT}\propto t_{ox}\sqrt{N_B}/4$，与栅氧厚度和衬底掺杂浓度相关。

不同管面积的 ${\sigma }_{\Delta V_T}$ 典型值（Sansen 提供）：

面积 $W/L$	${\sigma }_{\Delta V_T}$	应用
60/0.7 μm	~2 mV	通用模拟
100/0.5 μm	~1.6 mV	高精度
400/0.5 μm	~0.8 mV	精密匹配

3. Ch.15 系统失调与 CMRR

Sansen 将失调分为随机和系统两类：

类型	来源	表现	缓解
随机失调	工艺波动（$V_T$、$\beta$）	与面积 $\propto 1/\sqrt{WL}$	增大面积、共心版图
系统失调	设计不对称（$V_{DS}$ 失配、电流镜失配）	可预测	对称设计、Cascode

CMRR 与频率的关系——量化模型

Sansen 详细推导了 CMRR 随频率退化的机制，这是其他教材中较少深入覆盖的内容。

CMRR 退化的物理根源：

差分对的 CMRR 在低频时由尾电流源阻抗 $R_{TAIL}$ 决定：

$$CMR{R}_{DC}=2g_m{R}_{TAIL}$$

但随频率升高，寄生电容使尾节点阻抗下降，导致共模增益上升：

$$Z_{TAIL}(s)=R_{TAIL}\parallel \frac{1}{s{C}_{TAIL}}=\frac{R_{TAIL}}{1+s{R}_{TAIL}{C}_{TAIL}}$$

其中 $C_{TAIL}$ 是尾节点的总寄生电容（尾电流源的 $C_{db}$、输入管的 $C_{sb}$、互连寄生）。代入 CMRR 表达式：

$$CMRR(s)=2g_m\cdot Z_{TAIL}(s)=\frac{2g_m{R}_{TAIL}}{1+s{R}_{TAIL}{C}_{TAIL}}$$

因此 CMRR 在频率 $f_z=1/(2\pi R_{TAIL}{C}_{TAIL})$ 以上以 -20 dB/dec 滚降。

更完整的 CMRR 退化模型（包含 $C_{gd}$ 的贡献）：

输入管的栅漏寄生电容 $C_{gd}$ 构成了从输入到输出的前馈路径，在共模分析中等效为一个交叉耦合的不对称导纳。综合考虑尾电容 $C_{TAIL}$ 和 $C_{gd}$ 后：

$$CMRR(s)\approx \frac{2g_m{R}_{TAIL}}{(1+s{R}_{TAIL}{C}_{TAIL})(1+s/g_m\cdot C_{gd})}$$

在超高频时，CMRR 的下降速率可达 -40 dB/dec（两个寄生效应叠加）。

CMRR 带宽 vs 增益带宽的对比：

$f_{CMRR}$（CMRR 滚降频率）= $1/(2\pi R_{TAIL}{C}_{TAIL})$ 通常远低于运放的 $f_u$，因为 $R_{TAIL}$ 要求很大（Cascode 电流源）导致 RC 时间常数大。

MOST vs BJT 的 CMRR 带宽对比：

维度	MOST 差分对	BJT 差分对
$g_m$	$\sqrt{2\mu C_{ox}(W/L)I_{TAIL}/2}$	$I_{TAIL}/(2V_T)$（约 19× 更大）
$C_{TAIL}$ 主要贡献	$C_{sb}$（源-衬底结）+ $C_{db}$（尾电流源漏结）	$C_{js}$（隔离结电容）
$f_z=1/(2\pi R_{TAIL}{C}_{TAIL})$	较低（$C_{sb}$ 较大）	较高（$C_{js}$ 较小，且 BJT 版图紧凑）
中频 CMRR	$2g_m{R}_{TAIL}$	$2g_m{R}_{TAIL}$（BJT 的 $g_m$ 更高，相同 $R_{TAIL}$ 时 CMRR 更大）
超高频退化	体效应引入额外退化路径	无体效应

提高 CMRR 带宽的电路技术：

Sansen 提出三种改善 CMRR 频率特性的方法：

1. Cascode 尾电流源：将 $R_{TAIL}$ 从 $r_o$ 提高到 $g_m{r}_o^2$，同时用 Cascode 管的低寄生电容保持 $C_{TAIL}$ 不显著增加。$f_z$ 提升约 $g_m{r}_o$ 倍。

2. 共模前馈补偿（CM Feedforward）：在输入级引入一个与共模信号反相的补偿路径，抵消寄生耦合导致的共模到差模转换。原理类似调零电阻消除 RHP 零点——在 CMRR 传递函数中引入零点来抵消极点。

3. 共模信号抑制环（CMFB）：不仅是 DC 共模反馈，在 CMFB 环路中加入频率补偿使其带宽接近差模 GBW。这需要额外的补偿电容和放大器。

设计指导：对于高频混合信号电路，使用 Cascode 尾电流源是提高 CMRR 带宽的最有效方法。若仍不足，采用全差分结构（在全差分运放中，理想 CMRR → ∞ 因为差分输出抵消共模分量）。

4. MOST vs Bipolar 失调对比

维度	MOST	Bipolar
$V_T$ 失配	${\sigma }_{\Delta V_T}\approx 5\text{mV}\cdot \mu \text{m}/\sqrt{WL}$	${\sigma }_{\Delta V_{BE}}\approx 1\text{mV}\cdot \mu \text{m}/\sqrt{WL}$
$\beta$ 失配	${\sigma }_{\Delta \beta }/\beta \approx 2\%/\sqrt{WL}$	${\sigma }_{\Delta \beta }/\beta \approx 5\%/\sqrt{WL}$
面积需求	较大（$A_{VT}$ 约 $5\text{mV}\cdot \mu \text{m}$）	较小（$V_T$ 波动更小）

Sansen vs Gray/Razavi/Allen/Baker：Gray §3.5 侧重半电路分析；Razavi Ch.4 侧重直觉理解；Allen §5.2 系统对比三种负载；Baker §22 提供源交叉耦合对等独特拓扑。Sansen 的 Ch.15 随机/系统失调的系统化覆盖（含频率依赖 CMRR、MOST vs BJT 对比）是其他教材未及的深度。

关联页：Sansen 模拟集成电路设计精粹 深度解析 §3, §15

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📘 Ivanov《Operational Amplifier Speed and Accuracy Improvement》补充——输入级设计全视角（Ch.5）

Ivanov Ch.5 对输入级的覆盖有两个独特角度：从 OpAmp 系统规格出发的输入级参数分解，以及面向实际应用的设计权衡（轨到轨、CMRR/PSRR、噪声、修调）。

Rail-to-rail 输入级实现方案（§5.1）——Ivanov 的分类：

• 主流方案：NMOS/PMOS 互补差分对 + 尾电流控制电路保持 $g_m$ 恒定（与 Huijsing 覆盖的恒定 $g_m$ 方法类似）
• 单差分对 + Bootstrap 尾电流源：减少器件数量，但摆幅受限
• 低 $V_{th}$ 晶体管（native/depletion-mode）：允许单个差分对覆盖整个共模范围，但工艺限制大
• Ivanov 的评估：R-to-R 输入级虽非所有应用必需，但推荐用于避免客户应用中因共模信号意外变化导致的条件不稳定

CMRR/PSRR 的改善方法（§5.2）——Ivanov 的系统化分析：

• CMRR 的实质：输入级对共模信号的差分-共模转换的抑制能力
• 改善方向：
  1. 提高尾电流源的输出阻抗（使用 Cascode + gain boosting）
  2. 改善输入管匹配（增大面积、共心版图）
  3. 减小体效应（对 MOS 而言：单独的阱连接）
  4. 使用共模前馈补偿技术抵消共模变化对输出的影响
• PSRR：由输入级设计和偏置电流的电源稳定性共同决定 → 与 Ch.3 的 subregulated biasing 衔接

修调技术（Trimming）（§5.3-§5.4）——Ivanov 的独特覆盖：

• Ivanov 将修调分为两个层面：失调修调（Offset Trimming） 和温度漂移修调（Temperature Drift Trimming）
• 修调方法：

  方法	原理	精度	代价
  激光修调	薄膜电阻激光切割	高	需专门工序
  Zener zap	齐纳二极管短路/开路	中	一次性，不可逆
  EPROM/EEPROM	非易失存储调整 DAC	高	工艺复杂
  数字修调	片内寄存器 + DAC 调整	灵活	面积大

• 温度漂移修调：独立于失调修调，使用负 TC 电流来补偿温度引起的漂移
• 应用：负 TC 电流与 Ch.3 的四种偏置类型配合使用

输入保护电路（§5.5）——Ivanov 的实用视角：

• Bipolar 工艺中：发射结反向击穿电压通常远低于集电结 → 需专门的输入保护
• 典型保护方案：
  • 二极管箝位：输入到电源轨的正向/反向二极管，限制输入摆幅
  • 串联限流电阻：限制故障电流
  • JFET/MOS 开关保护：过压时断开输入路径
• 保护电路的设计挑战：不能影响正常工作的噪声和输入偏置电流性能

输入级折叠 Cascode 的改进（§6，间接关联）：

• 折叠 Cascode 是 R-to-R 输入 OpAmp 中连接输入级和输出级的关键中间级
• 浮动电流源（Floating Current Source, §6.1）：在折叠 Cascode 中实现 R-to-R 输出的关键技术
• 电压增益提升和电压箝位（§6.3-§6.4）：在折叠 Cascode 中应用 gain boost 技术
  • Direct voltage gain boost（§6.3）：在折叠 Cascode 中直接加 gain boost 放大器
  • 利用电流镜像的 gain boost（§6.4）：更紧凑的实现方式

Ivanov vs 其他教材：Gray §3.5 仅分析差分对本身；Razavi §4 侧重直觉理解和 ICMR；Sansen §15 深入系统/随机失调但未覆盖 rail-to-rail 输入级的系统实现和修调方案；Baker §22 提供恒定 $g_m$ 结构但仍未系统覆盖修调。Ivanov 的独特贡献：① R-to-R 输入级方案的工程权衡评估（含条件稳定性考量）；② 失调+温度漂移修调的系统分类；③ 输入保护电路的实用覆盖。这在其他经典教材中均未系统涉及。

关联页：Ivanov Operational Amplifier Speed and Accuracy Improvement 深度解析 §5, §6