Ivanov OpAmp Ch10: 附录——多维系统对称链接理论

附录（原为Valery N. Ivanov的俄文文章翻译改编）研究一类具有对称链接的多维线性系统的结构特性与线性变换。基于信号流图（Signal Flow Graph）方法，将n维系统简化为带共模反馈的二维系统进行统一分析。本文基于Ivanov & Filanovsky (2004) Appendix提炼。

前后关系

前置知识：

Ivanov OpAmp Ch2 - 结构设计方法论与信号流图 — 信号流图基础
信号流图技术与梯形滤波器设计 — SFG在电路中的应用
线性时不变系统与卷积 — 线性系统基础

本书内部链条：

Appendix为全书数学理论基础，支持Ch.2的信号流图方法和Ch.7的Class AB通用结构推导

外部关联：

差分放大器与失调分析 — 差分结构的具体实现
反馈控制原理与系统组成 — 反馈系统通用理论

§A.1 多维系统与共模反馈的通用表示

基本方程

考虑一类具有对称链接的多维（n通道）线性系统（Fig. A1a）：

z_{i} = c_{i} (u_{i} - r_{i} x_{i}^{'}), i = 1, \dots, n

x_{c} = i = 1 \sum n c_{i} y_{i}, y_{c} = ρ_{c} x_{c}

其中 $u_{i}$ 为输入信号， $z_{i}$ 为输出信号， $c_{i}$ , $q_{i}^{'}$ , $r_{i}$ 和 $ρ_{c}$ 为传递系数。

称为”带共模反馈的系统”——共模反馈可正可负。

等效变换（Fig. A1b）

定义 $q_{i} = q_{i}^{'} c_{i}$ , $x_{i} = r_{i}^{- 1} u_{i}$ , $y_{i} = c_{i} z_{i}$ → 得到与Fig. A1a等效的简化图。

§A.2 二维系统简化

任意通道a与其余通道的组合

从n通道中选择一个通道a，其余(n-1)通道合并为通道b：

q_{b} = i e q a \sum q_{i}, x_{b} = \frac{\sum _{i e q a} q _{i} x _{i}}{q _{b}}, y_{b} = \frac{\sum _{i e q a} q _{i} y _{i}}{q _{b}}, r_{b} = \frac{\sum _{i e q a} q _{i} r _{i}}{q _{b}}

这简化了分析，帮助可视化一般系统性质。

桥式等效表示（Fig. A2b）

r_{ab} = ρ_{a} ρ_{b} (r_{a} c_{b} - r_{b} c_{a}), r_{ba} = ρ_{a} ρ_{b} (r_{b} c_{a} - r_{a} c_{b})

ρ_{ab} = ρ_{a} ρ_{b} (q_{a} r_{b} - q_{b} r_{a}), ρ_{ba} = ρ_{a} ρ_{b} (q_{b} r_{a} - q_{a} r_{b})

桥式结构对反馈参数变化高度敏感——这一性质被仪器仪表中的桥式传感器常规利用。

§A.3 无反馈等效变换

变换系数（Fig. A2c/d）

α_{a} = \frac{1 - ρ _{c} q _{b}}{1 + ρ _{c} ( q _{a} + q _{b} )}, α_{b} = \frac{1 - ρ _{c} q _{a}}{1 + ρ _{c} ( q _{a} + q _{b} )}

α_{ab} = α_{ba} = \frac{ρ _{c} q _{a} q _{b}}{1 + ρ _{c} ( q _{a} + q _{b} )}

重要条件：若 $ρ_{c} q_{a} q_{b} ≫ 1$ ，则：

α_{a} \approx α_{b} \approx α \approx \frac{1}{q _{a} + q _{b}}

§A.4 差模与共模信号分析

信号分解

差模和共模分量：

x_{d} = (x_{a} - x_{b}) /2, x_{c m} = (x_{a} + x_{b}) /2

传递函数

通道a的输出：

y_{a} = - α_{a d} x_{d} + 2 ε_{a} x_{c m}

其中 $α_{a d} \approx α_{a} + α_{ab}$ 为差分增益， $ε_{a}$ 为共模衰减系数。

衰减系数：

ε_{a} = \frac{1 - α _{a}}{1 + α _{a}} \approx \frac{q _{b}}{ρ _{c} q _{a} ( q _{a} + q _{b} )}

关键结论

当 $ρ_{c} q_{a} q_{b} ≫ 1$ 时，共模衰减增强。这使得系统能够放大极小差分信号 $x_{d}$ ，并对参数变化具有鲁棒性。

§A.5 参数变化的鲁棒性

非对称增益情况

若通道a有本地反馈或非线性失真导致增益变化（ $q_{a} ≫ q_{b}$ ）：

\tilde{q} \to q_{a}, α_{a} \approx α_{b} \approx α \approx q_{a}

此时各”通道a vs 其他通道组合”的二维系统对差分信号有不同的传递系数，但共模衰减参数仍然很小。

控制系统解释（Fig. A4）

二维系统可解释为控制系统的通用结构：

通道b：受控对象的传递系数
通道a：表示期望特性的模型
$ρ_{c}$ ：反馈放大器，放大对象与模型输出的差值

当 $ρ_{c} q_{a} q_{b} ≫ 1$ 且 $r_{a}^{- 1} ≫ r_{b}^{- 1}$ 时，对象输出由模型参数定义，与对象特性基本无关。

§A.6 符号反转与结构变体

差模反馈结构（Fig. A5a）

若通道a或反馈中的链接符号反转（ $r_{a}, ρ_{ab}, ρ_{ba} < 0$ ）：

共模反馈抑制差分分量（而非共模分量）
通道间的参数差异和输入信号差异被减小

其他有用变体

变体	特点
级联共模反馈（Fig. A5b）	共模反馈链接本身可具有相同结构，即 $q_{a}^{'}, q_{b}^{'}$ 各有自己的本地反馈
本地负反馈（Fig. A5c）	$q_{a}^{'}, q_{b}^{'}$ 添加本地反馈γ → 变换后 $q_{a} = \frac{q _{a}^{'}}{1 + γ _{a} ( q _{a}^{'} - 1 )}$
分裂反馈（Fig. A5d）	共模反馈链接拆分为两个，每个影响对向信号路径

§A.7 功能完备性与电路应用

功能完备单元

带共模反馈的差分结构可作为线性多维系统的功能完备单元（类似NOR和NAND是逻辑操作的功能完备单元）：

可表示任意电网络中的电压和电流关系
四类输入级（Fig. A6a-d）均可归纳为同一结构

求和与分配电路

求和电路（Table AA1）：

类型	条件	功能
简单求和	zL→0（电流仪）或zL→∞（电压仪）	$\sum i_{k}$ 或 $\sum u_{k}$
加权求和	zk特定的值	$\sum a_{k} i_{k}$
平均求和	所有zk相等	$(1/ n) \sum u_{k}$

分配电路（Table AA2）：

类型	条件	功能
简单分配	zs→0（电压源）或zs→∞（电流源）	均分电压或电流
加权分配	Gk特定值	加权分配
平均分配	所有Gk相等且zLk=0	平均分配

输入级统一表示（Fig. A6）

四类电压/电流输入级均可表示为带共模反馈的差分结构：

类型	差分阻抗	共模阻抗	表示
(a) VCCS	高	高	输出电流取决于输入电压与平均电压差
(b) 大共模小差模输入电阻	小	大	1/gmi输入电阻
(c) 大差模小共模	大	小	—
(d) 双低阻抗	小	小	—

§A.8 核心意义

本附录为全书的结构设计方法论提供了严格的数学基础：

统一框架：差分放大器、求和电路、分配电路均可表示为同一结构
简化分析：n维系统简化为二维系统，避免复杂矩阵形式
系统综合：从通用结构出发，通过等价变换生成电路解集
共模/差模性能预测：直接计算参数变化的影响

关键公式汇总

公式	说明
$z_{i} = c_{i} (u_{i} - r_{i} x_{i}^{'})$	n通道系统基本方程
$α_{a} \approx α_{b} \approx 1/ (q_{a} + q_{b})$	强反馈下传递系数近似
$x_{d} = (x_{a} - x_{b}) /2, x_{c m} = (x_{a} + x_{b}) /2$	差模/共模分解
$ε_{a} \approx q_{b} / (ρ_{c} q_{a} (q_{a} + q_{b}))$	共模衰减系数
条件 $ρ_{c} q_{a} q_{b} ≫ 1$	强共模反馈条件
$q_{a} = q_{a}^{'} / (1 + γ_{a} (q_{a}^{'} - 1))$	带本地反馈的链接传递

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