分裂与交叉耦合ΔΣ调制器

将单一路径分裂为两个匹配的半电路，利用量化误差的不相关性实现额外 3 dB SQNR 增益；通过交叉耦合两半的量化误差，进一步获得 $1-z^{-1}$ 噪声整形；时间交织再附加 6 dB 的 SQNR 提升——逐步逼近”几乎免费”的噪声整形。

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前后关系

上下文：§5.6 在本章最后讨论了利用电路分裂和交叉耦合来实现噪声整形的技术。这是 §5.5 噪声耦合思想的延伸——在分裂路径中嵌入噪声耦合，同时获得路径多样性和噪声整形的双重好处。

前置知识：

• 噪声耦合ΔΣ架构：交叉耦合的基本构建单元
• MASH级联ΔΣ调制器原理：噪声取消的多级思想

后续章节：

• ΔΣ调制器中的抽取与插值滤波：数字后处理

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原理介绍

分裂调制器（Split Modulator）

图 5.12(a) 展示了一个分裂调制器——两个相同的半电路接收相同输入 $u$，输出相加：

u --> [Half 1 (ΔΣ)] -- v1 --> (+)
      [Half 2 (ΔΣ)] -- v2 --> (+) --> V

假设两半匹配，$ST{F}_1=ST{F}_2=1$，$NT{F}_1=NT{F}_2=NTF$：

$$V_1=U+NTF\cdot E_1$$ $$V_2=U+NTF\cdot E_2$$

总输出：

$$V=\frac{V_1+V_2}{2}=U+NTF\cdot \frac{E_1+E_2}{2}(5.28)$$

由于两半的随机失配和噪声，$e_1$ 和 $e_2$ 不相关，噪声功率相加：

$$\text{噪声功率}=|NTF{|}^2\cdot \frac{{\sigma }_{e1}^2+{\sigma }_{e2}^2}{4}=|NTF{|}^2\cdot \frac{2{\sigma }^2}{4}=\frac{|NTF{|}^2\cdot {\sigma }^2}{2}$$

与单一电路（噪声功率 $|NTF{|}^2{\sigma }^2$）相比，SQNR 提升 3 dB。

值得注意的是：分裂电路的总电容和总跨导与单一电路相同（每半减半），因此总功耗基本相同——3 dB 的 SQNR 提升几乎是”免费”的。

分裂结构的原始动机是实现数字后台校准（McNeill 2005），利用两半输出的差异来估计和校正 ADC 的非理想性。

噪声耦合分裂（NCS）

图 5.12(b) 在分裂基础上加入 交叉耦合——将 $e_1$ 馈入第二半、$e_2$ 馈入第一半：

u --> [Half 1] -- v1 --->(+)
        |    ^            |
        |    |-- e1 ------| (延迟后反馈到 Half 2)
        |                 |
u --> [Half 2] -- v2 --->(+)
        |    ^
        |    |-- e2 ------| (延迟后反馈到 Half 1)

数学上，这相当于对每个半路的量化误差差分化：

$$V=U+NTF\cdot (1-z^{-1})\cdot \frac{E_1+E_2}{2}(5.29)$$

与式 (5.28) 相比，NTF 额外乘了 $(1-z^{-1})$——获得额外一阶噪声整形。

噪声耦合时间交织（NCTI）

图 5.12(c) 更进一步：两半电路以半个时钟周期偏移工作（时间交织）：

$$V=U+NTF\cdot (1-z^{-1/2})\cdot \frac{E_1+E_2}{2}(5.30)$$

在带内低频处，$(1-z^{-1/2})\approx \frac{1}{2}(1-z^{-1})$，因此 NCTI 的噪声整形效果约比 NCS 好 6 dB。

NTF 对比

图 5.13 对比了三种架构的 NTF（以二阶环路滤波器为例）：

架构	NTF（低频近似）	低频额外衰减
分裂	$\Vert NTF\Vert$	0 dB
NCS	$\Vert (1-z^{-1})\Vert \cdot \Vert NTF\Vert$	一阶整形
NCTI	$\Vert (1-z^{-1/2})\Vert \cdot \Vert NTF\Vert$	一阶整形 + 6 dB

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架构对比总结

特性	分裂	NCS	NCTI
半电路数	2	2	2（时间交织）
额外耦合	无	交叉耦合 $e_1$, $e_2$	交叉耦合 + 半周期偏移
SQNR 提升（vs 单一）	3 dB	3 dB + 一阶整形	3 dB + 一阶整形 + 6 dB
额外模拟开销	极少	延迟 + 加法	延迟 + 加法 + 双相时钟
适用场景	数字校准	高线性度 + 中等 SQNR	最高 SQNR
实验验证	McNeill 2005	Lee & Temes 2006	Lee et al. 2008

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关键洞察

1. 噪声不相关性的价值：分裂架构利用工艺失配导致的随机性——两半的量化误差天然不相关，3 dB 的 SQNR 提升来自统计独立而非任何物理改进
2. 交叉耦合 = 噪声整形：交叉耦合量化误差等效于在分裂路径中嵌入一个”免费的”噪声整形滤波器 $(1-z^{-1})$
3. 时间交织的额外 6 dB：半周期偏移使 $(1-z^{-1/2})$ 在低频比 $(1-z^{-1})$ 大 6 dB，这本质上是时间多样性带来的收益
4. 几乎不增加功耗：分裂电路每半的电容/跨导减半（总功耗不变），而交叉耦合和时间交织仅增加少量数字逻辑

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参考文献

1. Pavan, S., Schreier, R., & Temes, G. C. (2017). Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §5.6. IEEE Press/Wiley.
2. McNeill, J., et al. (2005). “Split ADC Architecture for Deterministic Digital Background Calibration.” IEEE JSSC, 40(12), 2437-2445. （分裂 ADC 首次提出，用于数字校准）
3. Lee, K., & Temes, G. C. (2006). “Enhanced Split-Architecture ΔΣ ADC.” Electronics Letters, 42(13), 737-739. （NCS 提出）
4. Lee, K., et al. (2008). “A Noise-Coupled Time-Interleaved Delta-Sigma ADC with 4.2 MHz Bandwidth, 98 dB THD, and 79 dB SNDR.” IEEE JSSC, 43(12), 2601-2612. （NCTI 实验验证）
5. Lee, K., et al. (2009). “An 8.1 mW, 82 dB Delta-Sigma ADC with 1.9 MHz BW and 98 dB THD.” IEEE JSSC, 44(8), 2202-2211. （单路径噪声耦合实验验证）

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