MOD2 非线性效应与谐波失真

§3.2 认识到 MOD2 的非线性动力学远比 MOD1 复杂，无法精确解析分析。于是采用”准线性”方法：通过对量化器进行统计平均提取其传输特性（QTC），用三次多项式近似 QTC，从而定量预测谐波失真并解释噪声的 U 形分布。

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前后关系

上下文：MOD2仿真与有效量化器增益（§3.1）观测到仿真频谱中包含白噪声模型无法预测的谐波失真。§3.2 引入 QTC 模型来定量分析谐波产生的机制。

后续应用：

• MOD2稳定性与死区分析（§3.3）考察另一个非线性方面——大信号行为
• 高阶ΔΣ调制器与NTF（Ch.4）中量化器非线性对多 bit 和单 bit 设计的影响差异
• MASH ΔΣ调制器（Ch.5）中基于级联的低失真架构可以缓解此问题

交叉引用：

• 量化器理论与线性模型（Ch.2.2）建立了最佳增益模型，但未处理非线性
• MOD1非线性行为与空闲音（Ch.2.5-2.6）展示了 MOD1 的非线性极限环（更严重的非线性行为）

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原理介绍

MOD2 非线性分析的挑战

MOD1 的非线性可以用精确的差分方程（$\eta [n]=u[n-1]+\eta [n-1]-\text{sign}(\eta [n-1])$）完整描述，其 Idle Tone 和死区可从方程直接推导。MOD2 则复杂得多——两个积分器和两路反馈使系统动力学呈现不可解析性。

因此采用近似/经验方法：

1. 统计平均：建立 QTC（量化器传输特性）
2. 多项式近似：用 $f(\nu )\approx k_1\nu +k_3{\nu }^3$ 拟合 QTC
3. 线性化 NTF：以 $k_1$ 作为有效量化器增益
4. 非线性注入：将 $k_3{\nu }^3$ 视为加性失真，被 NTF 整形

QTC：量化器传输特性

QTC 的获取方式：将平均量化器输出 $\overline{\upsilon }$ 作为平均量化器输入 $\overline{\nu }$ 的函数，通过仿真扫描 dc 输入得到。

如图 3.12 所示，QTC 呈压缩特性（compressive）：

• 小信号区域：$\overline{\upsilon }\approx \overline{\nu }$（增益接近 1）
• 大信号区域：$\overline{\upsilon }<\overline{\nu }$（增益下降——饱和）

三次近似拟合参数：

$$f(\nu )\approx k_1\nu +k_3{\nu }^3,k_1=0.6125,k_3=-0.0712$$

$k_3<0$ 表明是软压缩——与图 3.12 的饱和特性一致。

量化器增益降低的影响

使用 $k=k_1=0.6125$ 作为有效量化器增益：

$$NT{F}_1(z)=\frac{(1-z^{-1}{)}^2}{1+k_1{L}_1(z)}=\frac{(1-z^{-1}{)}^2}{1-0.775z^{-1}+0.3875z^{-2}}$$

（此 NTF 与 §3.1 中 $k=0.63$ 时的有效 NTF 略有不同，因 $k=k_1$ 是从 QTC 的小信号增益提取，而 §3.1 的 $k=0.63$ 是从实际动态仿真提取）

谐波失真定量分析

$k_3{\nu }^3$ 失真项被注入在量化器输入端，因此被 $NT{F}_1(z)$ 整形。

对于小幅度正弦输入 $u[n]=A\sin (2\pi f_{0}n/f_s)$：

1. 量化器输入：线性模型下 $\nu [n]\approx (A/k_1)\sin (2\pi f_{0}n/f_s)$
2. 三次项：${\nu }^3=(A/k_1{)}^3\cdot \frac{3}{4}\sin ({\omega }_{0}n)-\frac{1}{4}\sin (3{\omega }_{0}n)$
3. 三次谐波幅度：$\frac{k_3}{4}(A/k_1{)}^3$
4. 经 NTF 整形后的三次谐波失真：

$$\boxed{H{D}_3=\left|\frac{k_3{A}^2}{4k_1^3}\cdot NT{F}_1(e^{j3{\omega }_{0}T})\right|}$$

代入 $A=0.5$，$f_0=f_s/500$，$k_1=0.6125$，$k_3=-0.0712$：

$$H{D}_3\approx -87\text{ dB}$$

实测值约 -82 dB，计算与实测偏差约 5 dB。对于大信号和严重失真的情况，偏差更大。

失真最大化的频率

由于失真项 $k_3{\nu }^3$ 被 $NT{F}_1(z)$ 整形，谐波失真在 NTF 增益最大的频率处最严重——即通带边缘附近。

MOD2 噪声的 U 形分布

图 3.13 显示 MOD2（双电平量化器）的带内噪声功率随 dc 输入的变化呈 U 形分布：

• 与 MOD1 的对比：MOD2 没有 MOD1 那种大量尖峰（Idle Tone），表明 MOD2 更抗空闲音
• 但 $u=0$ 附近仍有微弱残留尖峰（二阶调制器并非完全无空闲音）
• $|u|$ 增大 → 带内噪声增大：量化器增益降低 → 环路增益降低 → NTF 整形效果减弱
• $u\to \pm 1$ 时噪声急剧增大

噪声非平稳性

MOD2 量化噪声的统计特性随时间变化（非平稳）：

• 当 $|u[n]|$ 较大时，量化器增益降低，噪声整形减弱，噪声功率增大
• 当 $|u[n]|$ 较小时，量化器增益恢复，噪声整形增强，噪声功率减小
• 这一依赖于信号幅度的噪声特性在系统级设计中需考虑

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数学推导

HD₃ 的详细推导

线性模型下，量化器输入 $\nu$ 的 STF 近似为 $1/k_1$（因环路中增益 $k_1$ 的影响，信号被比例缩放以维持单位闭环增益）：

$$V(z)=\frac{k_1{L}_1(z)}{1+k_1{L}_1(z)}U(z)+\frac{1}{1+k_1{L}_1(z)}E(z)$$

对于低频信号，$\frac{k_1{L}_1(z)}{1+k_1{L}_1(z)}\approx 1$，故 $\nu \approx u/k_1$。

三次非线性产生：

$$\upsilon =k_1\nu +k_3{\nu }^3+e\approx k_1(u/k_1)+k_3(u/k_1{)}^3+e=u+\frac{k_3}{k_1^3}{u}^3+e$$

$u=A\sin ({\omega }_{0}t)$ 代入：

$$\upsilon {|}_{dist}=\frac{k_3}{k_1^3}\cdot \frac{3A^3}{4}\sin ({\omega }_{0}t)-\frac{k_3}{k_1^3}\cdot \frac{A^3}{4}\sin (3{\omega }_{0}t)$$

三次谐波项 $\frac{-k_3{A}^3}{4k_1^3}\sin (3{\omega }_{0}t)$ 在量化器输入端，经过 NTF 传递到输出时乘以 $NT{F}_1(e^{j3{\omega }_{0}T})$。

三次谐波相对基波的失真：

$$H{D}_3=\left|\frac{-k_3{A}^3}{4k_1^3}\cdot \frac{NT{F}_1(e^{j3{\omega }_{0}T})}{A}\right|=\left|\frac{k_3{A}^2}{4k_1^3}\cdot NT{F}_1(e^{j3{\omega }_{0}T})\right|$$

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关键洞察

1. QTC 模型是 MOD2 非线性分析的实用工具：虽然不如 MOD1 的精确分析严格，但为高阶调制器提供了可操作的设计指南
2. 三次非线性是谐波失真的主要来源：$k_3<0$ 的软压缩特性产生三次谐波（以及少量二次谐波）
3. 失真被 NTF 整形：与量化噪声一样，失真也在环路中被传递函数整形，在通带边缘最严重
4. MOD2 比 MOD1 更抗空闲音但仍不是完美的：U 形噪声曲线而非 MOD1 的大量尖峰，但 $u=0$ 仍有微弱残留
5. 噪声非平稳性是 MOD2 的重要系统级特征：当输入幅度较大时，带内噪声增加——这与理想 ADC 的恒定噪声假设不同

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参考文献

1. S. Pavan, R. Schreier, and G. C. Temes, Understanding Delta-Sigma Data Converters (2nd ed.), §3.2. IEEE Press/Wiley, 2017.
2. J. C. Candy and O. J. Benjamin, “The structure of quantization noise from sigma-delta modulation,” IEEE Trans. Communications, vol. 29, no. 9, pp. 1316-1323, 1981. (MOD1 和 MOD2 噪声结构的开创性论文)
3. S. Hein and A. Zakhor, “On the stability of sigma delta modulators,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 41, no. 7, pp. 2322-2348, 1993.

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