离散控制系统

离散系统中信号在时间上是离散的（采样序列），需要用差分方程和 z 变换描述。计算机控制系统是典型的离散系统。

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采样与保持

采样定理（Shannon 定理）

若连续信号 $x(t)$ 的最高频率为 ${\omega }_{\max }$，则采样频率 ${\omega }_s$ 必须满足：

$${\omega }_s\ge 2{\omega }_{\max }$$

否则产生频谱混叠（aliasing），高频分量折叠到低频，信息丢失。

零阶保持器（ZOH）

将采样值保持到下一个采样时刻：$x_h(t)=x(kT)$，$kT\le t<(k+1)T$

ZOH 的传递函数：

$$G_h(s)=\frac{1-e^{-Ts}}{s}$$

频率响应幅值呈 $\text{sinc}$ 形滚降，引入 $-\omega T/2$ 的相位滞后。

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z 变换

定义

$$X(z)=\mathcal{Z}[x(kT)]=\sum _{k=0}^{\infty }x(kT)z^{-k}$$

常用 z 变换对

$x(kT)$	$X(z)$
$\delta (kT)$	$1$
$1(kT)$（单位阶跃）	$\frac{z}{z-1}$
$kT$（斜坡）	$\frac{Tz}{(z-1{)}^2}$
$e^{-akT}$	$\frac{z}{z-e^{-aT}}$
$\sin (\omega kT)$	$\frac{z\sin \omega T}{z^2-2z\cos \omega T+1}$

基本性质

• 终值定理：$x(\infty )={\lim }_{z\to 1}(z-1)X(z)$
• 初值定理：$x(0)={\lim }_{z\to \infty }X(z)$
• 时移：$\mathcal{Z}[x(kT-nT)]=z^{-n}X(z)$

与 Laplace 变换的关系

$$z=e^{sT}$$

$s$ 平面的左半平面映射到 $z$ 平面的单位圆内。

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脉冲传递函数

定义

离散系统在零初始条件下，输出 z 变换与输入 z 变换之比：

$$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}$$

含 ZOH 的脉冲传递函数

$$G(z)=(1-z^{-1})\mathcal{Z}\left[\frac{G(s)}{s}\right]$$

开环脉冲传递函数

• 串联：$G(z)=G_1(z)\cdot G_2(z)$（各含采样开关时）
• 闭环：$\Phi (z)=\frac{G(z)}{1+GH(z)}$

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离散系统稳定性

稳定条件

所有闭环极点在 $z$ 平面单位圆内：$|z_i|<1$

$w$ 变换（双线性变换）

$$z=\frac{w+1}{w-1}\text{或}w=\frac{z+1}{z-1}$$

将 $z$ 平面单位圆内映射到 $w$ 平面左半平面 → 可使用 Routh 判据。

Jury 稳定判据

直接在 $z$ 域判断多项式 $D(z)=a_0{z}^n+a_1{z}^{n-1}+\cdots +a_n$ 的根是否全部在单位圆内（类似 Routh 判据的离散版本）。

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离散系统稳态误差

终值定理

$$e_{ss}=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)\cdot E(z)$$

静态误差系数

系统型别	阶跃输入	斜坡输入
0 型	$\frac{R}{1+K_p}$	$\infty$
I 型	0	$\frac{R}{K_v}$

与连续系统类似，型别 = $G(z)$ 中 $z=1$ 处极点的个数。

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数字校正

数字控制器设计流程

1. 求含 ZOH 的广义对象脉冲传递函数 $G(z)$
2. 在 $w$ 域设计控制器 $D(w)$（使用 Bode 图等连续方法）
3. 反变换 $w\to z$ 得到数字控制器 $D(z)$
4. 实现为差分方程

最少拍控制

使系统在最少采样周期内达到稳态（无稳态误差）：针对特定输入（阶跃/斜坡）设计。

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物理直觉

z 变换 = 离散版的 Laplace 变换

• $s$ → 连续域分析工具
• $z=e^{sT}$ → 离散域分析工具
• $z$ 平面单位圆 ↔ $s$ 平面左半平面（稳定性区域）

采样 = 信息抽取

• 采样越快 → 信息损失越少 → 离散系统越接近连续系统
• 但计算量增加，且可能引入量化误差
• 工程经验：${\omega }_s=(5\sim 10){\omega }_c$

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与已有知识的关联

• 采样定理 → 采样定理与信号重建（Oppenheim 视角）
• z 变换 → Laplace变换与z变换
• 离散信号基础 → 离散时间信号与系统
• 连续系统对照 → 控制系统数学模型
• 离散稳定性 → 频域分析法与稳定性

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来源：胡寿松 自动控制原理 第八版 深度解析 Ch.7