采样定理与信号重建

核心思想：在满足一定条件时，连续时间信号可以由其等间隔采样值完全确定并精确重建。这一看似反直觉的性质——采样定理——是连接连续时间与离散时间信号的桥梁，也是数字信号处理的理论基石。

1. 冲激串采样与采样定理

1.1 冲激串采样

用周期冲激串 $p(t)$ 乘以连续信号 $x(t)$ 实现采样：

$$x_p(t)=x(t)\cdot p(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(nT)\delta (t-nT)$$

其中 $p(t)={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT)$，$T$ 为采样周期，${\omega }_s=2\pi /T$ 为采样频率。

1.2 频域分析

时域乘法 = 频域卷积。冲激串的频谱仍为冲激串：

$$P(j\omega )=\frac{2\pi }{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (\omega -k{\omega }_s)$$

采样信号的频谱为原信号频谱的周期搬移：

$$X_p(j\omega )=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X(j(\omega -k{\omega }_s))$$

• ${\omega }_s>2{\omega }_M$：各副本不重叠 → 可通过低通滤波器恢复原信号
• ${\omega }_s<2{\omega }_M$：各副本重叠 → 发生混叠，无法恢复

1.3 采样定理

采样定理：设 $x(t)$ 为带限信号（$X(j\omega )=0$，$|\omega |>{\omega }_M$），若采样频率 ${\omega }_s>2{\omega }_M$，则 $x(t)$ 可由其采样值 $x(nT)$ 唯一确定。

• Nyquist 率：$2{\omega }_M$（采样频率必须超过此值）
• Nyquist 频率：${\omega }_M$（信号最高频率）
• 恢复方法：冲激串 → 理想低通滤波器（增益 $T$，截止频率 ${\omega }_M<{\omega }_c<{\omega }_s-{\omega }_M$）

2. 零阶保持（ZOH）采样

2.1 ZOH 原理

实际中冲激难以生成，常用零阶保持：采样后保持该值直到下一次采样。

ZOH 可等效为冲激串采样 + 矩形脉冲 LTI 系统，其频率响应：

$$H_0(j\omega )=e^{-j\omega T/2}\cdot \frac{2\sin (\omega T/2)}{\omega }$$

2.2 ZOH 重建滤波器

从 ZOH 输出恢复原信号所需的滤波器：

$$H_r(j\omega )=\frac{e^{j\omega T/2}\cdot H(j\omega )}{2\sin (\omega T/2)/\omega }$$

其中 $H(j\omega )$ 为理想低通滤波器。实际中 ZOH 输出本身常被视为足够好的近似。

3. 信号重建（内插）

3.1 带限内插（精确重建）

时域视角：低通滤波 = 与 $\text{sinc}$ 函数卷积：

$$x_r(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(nT)h(t-nT)$$

其中理想低通冲激响应 $h(t)=\frac{\sin ({\omega }_{c}t)}{\pi t}$，取 ${\omega }_c={\omega }_s/2$：

$$x_r(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(nT)\frac{\sin [\pi (t-nT)/T]}{\pi (t-nT)/T}$$

这就是 带限内插公式（$\text{sinc}$ 插值）。

3.2 零阶保持（阶梯近似）

内插函数为矩形脉冲 $h_0(t)$，输出为阶梯状信号。频率选择性差但实现简单。

3.3 一阶保持（线性插值）

相邻采样点以直线连接，内插函数为三角脉冲：

$$H(j\omega )=\frac{2}{T}{\left[\frac{\sin (\omega T/2)}{\omega /2}\right]}^2$$

• 比 ZOH 更平滑（连续但导数不连续）
• 频域更接近理想低通

内插方式	连续性	精度	复杂度
带限内插	$C^{\infty }$	精确	高（需理想滤波器）
一阶保持	$C^0$	较好	中
零阶保持	不连续	粗糙	低

4. 欠采样与混叠

4.1 混叠效应

当 ${\omega }_s<2{\omega }_M$ 时，频谱副本重叠 → 高频分量”折叠”为低频：

• 正弦信号 $\cos {\omega }_{0}t$（${\omega }_s/2<{\omega }_0<{\omega }_s$）欠采样后 → 重建出 $\cos ({\omega }_s-{\omega }_0)t$
• ${\omega }_0$ 越高 → 重建频率 ${\omega }_s-{\omega }_0$ 越低（频率折叠）
• 当 ${\omega }_0={\omega }_s$ 时 → 重建为常数（所有采样值相同）

4.2 相位反转

对于 $\cos ({\omega }_{0}t+\varphi )$，欠采样时不仅频率折叠，还发生相位反转：

$$x_r(t)=\cos [({\omega }_s-{\omega }_0)t-\varphi ]$$

4.3 频闪效应

混叠的一个有用应用：频闪仪。当闪光频率低于旋转圆盘转速的两倍时，圆盘看似以更低的频率旋转，甚至反向旋转（相位反转的直观体现）。

4.4 采样示波器

利用欠采样将高频波形混叠到低频以便显示——每次采样延迟一个微小增量 $\Delta$，实现时域”展开”。

注意：采样定理要求 ${\omega }_s>2{\omega }_M$（严格大于），恰好等于时无法保证恢复（如 $\varphi =\pi /2$ 时采样值全为零）。

5. 连续时间信号的离散时间处理

5.1 C/D 与 D/C 转换

整体架构：CT 信号 → C/D → DT 处理 → D/C → CT 信号

• C/D（连续→离散）：$x_d[n]=x_c(nT)$，等效为冲激串采样 + 归一化
• D/C（离散→连续）：$y_d[n]=y_c(nT)$，等效为冲激串生成 + 低通滤波

5.2 频率关系

DT 频率 $\Omega$ 与 CT 频率 $\omega$ 的关系：

$$\Omega =\omega T$$

DT 频谱与 CT 频谱的关系：

$$X_d(e^{j\Omega })=X_p(j\Omega /T)=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{X}_c\left(j\frac{\Omega -2\pi k}{T}\right)$$

5.3 等效 CT 频率响应

若 DT 系统频率响应为 $H_d(e^{j\Omega })$，则整体等效 CT 系统：

$$H_c(j\omega )=H_d(e^{j\omega T}),|\omega |<{\omega }_s/2$$

核心洞察：带限输入 + 满足采样定理 → 可用 DT 系统实现任意 CT LTI 滤波器。

6. 应用示例

6.1 数字微分器

目标：实现带限微分器 $H_c(j\omega )=j\omega$，$|\omega |<{\omega }_c$。

取 ${\omega }_s=2{\omega }_c$，对应 DT 频率响应 $H_d(e^{j\Omega })=j\Omega /T$，$|\Omega |<\pi$。

DT 冲激响应：

$$h_d[n]=\{\begin{array}{ll}\frac{(-1{)}^n}{n},& n\ne 0\\ 0,& n=0\end{array}$$

6.2 半样本延迟

目标：延迟 $T/2$，即 $H_c(j\omega )=e^{-j\omega T/2}$。

对应 DT 频率响应 $H_d(e^{j\Omega })=e^{-j\Omega /2}$。

DT 冲激响应：

$$h_d[n]=\frac{\sin [\pi (n-1/2)]}{\pi (n-1/2)}$$

当 $\Delta /T$ 非整数时，$y_d[n]$ 不等于 $x_d$ 的简单移位，而是带限内插后的非整数延迟。

7. 离散时间信号的采样

7.1 DT 冲激串采样

用 DT 冲激串 $p[n]={\sum }_k\delta [n-kN]$ 采样：

$$x_p[n]=x[n]\cdot p[n]=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x[kN]\delta [n-kN]$$

频域（完全类比 CT）：

$$X_p(e^{j\omega })=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(e^{j(\omega -k{\omega }_s)})$$

其中 ${\omega }_s=2\pi /N$。无混叠条件：${\omega }_s>2{\omega }_M$。

恢复：理想低通滤波器（增益 $N$，截止 ${\omega }_M<{\omega }_c<{\omega }_s-{\omega }_M$）。

7.2 抽取（降采样 / Decimation）

直接取每第 $N$ 个样本（丢弃零值）：

$$x_b[n]=x[nN]$$

频谱关系：

$$X_b(e^{j\omega })=X_p(e^{j\omega /N})$$

• 效果：频谱在频率轴上展宽 $N$ 倍
• 若原信号为过采样的 CT 信号 → 降采样 = 降低采样率而不混叠

7.3 升采样（插值 / Upsampling）

升采样 = 零插入 + 低通滤波：

1. 在每两个相邻样本间插入 $N-1$ 个零值 → $x_p[n]$
2. 用理想低通滤波器（增益 $N$，截止 $\pi /N$）填充 → $x[n]$

频谱关系：零插入使频谱压缩 $N$ 倍，低通滤波恢复原始带宽。

7.4 非整数倍率变换

若需以非整数因子（如 $9/2$）降采样：先升采样 $2$ 倍 → 再降采样 $9$ 倍。

Example 7.5：$X(e^{j\omega })$ 非零区间 $|\omega |<8\pi /9$，先升 2 → 频谱压缩至 $|\omega |<4\pi /9$ → 降 9 → 频谱扩展至 $|\omega |<4\pi \approx \text{充满整个频带}$。

8. 初学者要点

1. 采样定理是桥梁：${\omega }_s>2{\omega }_M$ 保证 CT 信号可由 DT 信号完全代表，使数字处理成为可能
2. 混叠 = 高频伪装为低频：欠采样使频谱折叠，高频分量”冒充”低频 → 频闪效应/车轮倒转
3. $\Omega =\omega T$ 是核心映射：CT 频率与 DT 频率通过采样周期线性关联，设计 DT 滤波器时必须考虑此缩放
4. 抽取与插值是互逆操作：降采样 = 采样 + 丢弃零值；升采样 = 零插入 + 低通滤波
5. ZOH 和线性插值是实用近似：精确重建需要理想 $\text{sinc}$ 插值，但 ZOH/一阶保持在工程中通常足够

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参见

• 连续时间傅里叶变换 — CTFT 乘法性质与频谱搬移
• 离散时间傅里叶变换 — DTFT 与频率缩放
• 信号与系统的时频特性 — 理想/非理想滤波器
• Laplace变换与z变换 — C/D 与 D/C 的系统函数分析
• 采样理论基础 — Pavan 视角的采样定理与 OSR
• 离散时间信号与系统 — Martin 视角的 DTFT/采样率转换